Trabajo de derivadas

1933 palabras 8 páginas
Introducción
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia -valor de la variable dependiente- a medida que su entrada -valor de la variable independiente- cambia. En otras palabras, una derivada puede ser vista como “cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado” (por ejemplo, variación de velocidad). Es decir, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la
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Diferencial de una función derivable:

Una función derivable de la que se conocen los valores f(a) y f´(a). Si se quiere hallar el valor de f en un punto a + h, siendo f(a+h) difícil de calcular. Es posible obtener una aproximación de este valor si en lugar de hallarlo por f se calcula mediante la tangente a la curva en a.

Se construye la recta tangente a y =f(x) en el punto ( a , f(a) ):

El valor aproximado será:

Es decir:

Al término f´(a)·h se le llama diferencial de f en a con incremento h. EJEMPLO 1Se desea calcular aproximadamente.
Consideramos la función.
Su derivada es.
Si tomamos la diferencial de esta función para a = 9 y h = 1 tenemos:
El valor real es: 3´1622776... Con error menor de cinco milésimas. |

Para cada x, donde f es derivable, definimos:

Si calculamos la diferencial para la función identidad:

Es decir, se puede escribir h = dx, y la diferencial queda: df(x) = f´(x) dx llamada diferencial de f; y al término dx se le denomina diferencial de x.

Derivadas y continuidad

Definiciones

* Una función es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.

* Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el abierto (a, b) y es derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

Teorema de continuidad
Si una función es continua en un punto entonces es derivable.

Demostración:

Así se demuestra esto último:

El

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