Transformadas de laplace

2607 palabras 11 páginas
TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja . Si esa ecuación algebraica se resuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la
…ver más…
Para funciones como

Y similares, la abcisa de convergencia es igual Para funciones que aumentan más rápidamente que la función exponencial, sin embargo, no es posible encontrar valores adecuados de la abcisa de convergencia. Por lo tanto, funciones tales como

no tienen transformada de Laplace

Si una función tiene transformada de Laplace, la transformada de la función , donde es una constante, está dada por

Esto es obvio, partiendo de la definición de transformada de Laplace. En forma similar, si las funciones

tienen transformada de Laplace, la transformada de Laplace de la función

está dada por

Nuevamente, la prueba de esta relación es evidente a partir de la definición de la transformada de Laplace.

A continuación, se determinan las transformadas de Laplace de algunas funciones habitualmente encontradas.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea la función exponencial

donde y son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial puede obtenerse como sigue:

como puede verse, la función exponencial produce un polo en el plano complejo.

Puede demostrarse, empleando algunos postulados de la teoría de variable compleja, que esta solución resulta válida para cualquier valor complejo de en el cual es analítica, es decir, con excepción de los polos de

FUNCIÓN ESCALÓN

Sea la función: para para

donde es una

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