Unidad 5.- algebra lineal

922 palabras 4 páginas
Unidad 5 Transformaciones Lineales
5.1.- Introducción a las transformaciones Lineales.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan
…ver más…
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. * La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio. * El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

5.3.- La matriz de una transformación lineal
Según la teoría de Brevis-Devaud. Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
5.4.- Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.
Rotación por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2 en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como

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