teorema de existencia y unicidad

1274 palabras 6 páginas
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Aplicado a las Ecuaciones Diferenciales
En este artículo mostraremos un ejemplo que te permitirá entender claramente el cómo interpretar el Teorema de Existencia de una solución única aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED) Ordinarias de Primer Orden.
En el caso de las Ecuaciones Diferenciales (ED’s), existen 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de Primer Orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad, y es en esta circunstancia particular, cuando se presentan los casos en donde la solución de las ED’s Ordinarias de Primer Orden, pueden ser:
1.- Una solución Única
…ver más…
Gráfica de la función ejemplo: .
Esta aclaración acerca de que la función , no cubre todo el ancho de la Región es debido a que el teorema habla de la continuidad de la función anterior y su derivada en todo el intervalo, esto nos lleva a aclarar la diferencia entre el intervalo de la región y el intervalo de solución y con la explicación que sigue a continuación quedará clara esta diferencia de una vez por todas.=)
Primero hago remembranza a la definición de continuidad de una función de dos variables:
Continuidad de una función de dos variables
Una función de dos variables es continua en un punto de una región si es igual al límite de cuándo . Es decir, La función f es continua en la región abierta si es continua en todo punto de .
Por esta definición es importante conocer la diferencia entre el intervalo de la región y el intervalo de solución .
La explicación es sencilla y la ilustro como sigue:
Intervalo de solución de una ED Ordinaria de Primer Orden
La solución de un ED Ordinaria de Primer Orden es una función .
1.- Considerada como una función, la solución de una ED Ordinaria de Primer Orden puede tener o no un dominio igual al “ancho” de la región , pero si debe tener un dominio igual al del intervalo de solución .
Es por eso que en la Figura 3, se ve como la función no cubre toda la región en gris , pero si todo el intervalo de solución . Para que esto dicho en este párrafo se haga

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