Conceptos Matemáticos Preliminares
Transformada de Laplace
Conceptos Matemáticos Preliminares
Aplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)
Función de Transferencia
Permite caracterizar las relaciones entre la entrada y la salida de componentes o de sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.
Def.:La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de Entrada (función excitación), bajo la suposición que todas las condiciones iniciales son cero.
Función de Transferencia
Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.
El concepto de función de transferencia esta limitado a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
La FT es un método operacional apara expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
La FT es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.
Función de Transferencia
La FT incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida: no obstante, no brinda ninguna información con respecto a la estructura física del sistema.
Si se conoce la FT de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema.
Si se Conoce la FT de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, brindando la descripción de las características dinámicas del sistema.
Sistema de Representación de un Sistema de Control
Diagrama de bloques:
G(s)
Bloque Funcional
Punto de Suma
+
–
(Gp:) G(s)
(Gp:) +
(Gp:) –
(Gp:) R(s)
(Gp:) E(s)
(Gp:) C(s)
B(s)
G(s)
(Gp:) +
(Gp:) –
R(s)
E(s)
C(s)
H(s)
Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Cerrado
Señales
x
y=G(s)*x
Punto de Bifurcación
Funciones de Transferencia del Ejemplo anterior
Función de Transferencia
De Lazo Abierto:
Función de Transferencia
Directa:
Función de Transferencia
De Lazo Cerrado:
Función de Transferencia
De Lazo Cerrado con Amplificación
De la Señal de Entrada K:
Representación de un SLC sometido a perturbación
Se pueden considerar las respuestas de las entradas por separado y luego sumarlas.
B(s)
G1(s)
(Gp:) +
(Gp:) –
R(s)
E(s)
C(s)
H(s)
+
+
N(s)
G2(s)
Perturbación
Representación de un SLC sometido a perturbación
Procedimientos para trazar un Diagrama de Bloques
Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente.
Tomar las transformadas de Lapace de éstas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. Cada transformada se representa individualmente en forma de Bloque.
Se integran los elementos en un Diagrama de Bloques completo.
Conversión de Diagramas de Bloques
Suma de Señales:
Conexión en Cascada:
=
Conexión en Paralelo:
Conversión de Diagramas de Bloques
Retroalimentación:
=
Traslado del Sumador:
Traslado del Punto de Salida:
Ejemplo 1: DB de Circuito
R
i
ei
e0
Laplace:
C
–
+
Ejemplo 1: DB Circuito
1/R
(Gp:) +
(Gp:) –
Ei(s)
E(s)
I(s)
E0(s)
(1)
1/Cs
I(s)
E0(s)
(2)
1/R
(Gp:) +
(Gp:) –
Ei(s)
E(s)
I(s)
E0(s)
(3)
1/Cs
E0(s)
Método del Espacio de Estados
Teoría de Control Moderna (1960) Concepto de Estado.
Teoría de Control Moderna vs. Teoría de Control Clásica.
Multivariable vs. Una entrada una Salida
Dominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas.
Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.
Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico.
Método del Espacio de Estados
Vector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0.
Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn,.
Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado)
SISO
MIMO
Método del Espacio de Estados
Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado:
u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema,
y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,
x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado
del sistema, es decir:
Método del Espacio de Estados
Estudiaremos sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales:
Las Matrices deben ser
de tamaño adecuado:
A = Matriz de Estado
B = Matriz de Entrada
C = Matriz de Salida
D = Matriz de Transmisión Directa
Ecuación de Estado
Ecuación de Salida
Representación Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas
Método sencillo para sistemas SISO:
El sistema queda unívocamente determinado si se conocen las condiciones
Iniciales, así:
Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado
Sistemas SISO la función de transferencia es:
Donde A, B, C y D son matrices de:
I es la matriz idéntica correspondiente
Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes matrices:
Relación entre Funciones de Transferencia y Variables de estado
Controlabilidad
Se dice que el estado Xi es controlable en t0 cuando es posible transformar el estado inicial Xi(t0) en el estado deseado Xi(tf) en un tiempo finito, por medio de la selección apropiada de las entradas ?t en el intervalo [t0,tf].
Si todos los estados del sistema son controlables en t0, se dice que el sistema es “completamente controlable” en t0.
Observabilidad
Se dice que el estado Xi es observable en t0 cuando conocido el valor del estado Xi en el tiempo tf, la salida del sistema en el tiempo tf, y conocidas las entradas en el intervalo de tiempo [t0, tf], se puede establecer en forma única cuál era el valor del estado Xi en el tiempo t0.
Si todos los estados del sistema son observables en t0, se dice que el sistema es “completamente observable” en t0.
Técnicas para determinar la Controlabilidad y la Observabilidad
La Controlabilidad de un sistema depende de las matrices A y B
de la representación matricial del modelo.
Un sistema invariante en el tiempo
y con valores característicos de A
no repetidos es completamente
controlable, si y solo si, no hay fila
cero en la matriz :
M: Matriz Modal de A
El mismo sistema será completamente
observable si no hay columnas cero en
la matriz
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