Regla de decisión óptima: Máxima probabilidad a posteriori (MAP)
Esta regla se puede expersar, haciendo uso del teorema de Bayer, en términos de las probabilidades a priori de las señales transmitidas y de las funciones densidad de probabilidad:
pk es la probabilidad a priori del símbolo mk , fx (x|mk) es la función densidad de probabilidad condicional y fx(x) es independiente de la señal transmitida. Luego la regla MAP expresada en logaritmica natural:
El espacio de observaciones Z se divide en M regiones de decisión que se denominarán Z1….Zm . La regla MAP se puede expresar como sigue: Un vector de observaciones X pertenece a la región Zi si
El correspondiente vector de la métrica es:
Lo que lleva a redefinir la regla MAP: El vector de observaciones pertenece a la región Zi si la distancia euclídea ||x-sk|| es mínima para k=i
De donde se puede deducir la regla equivalente: Un vector X pertenece a la región Zi si
La probabilidad de error:
Recuperación Coherente en el receptor:
El receptor óptimo consiste en dos subsistemas:
1. Subsistema detector
?N(t)
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x(t)
(Gp:) ?1(t)
(Gp:) ?2(t)
(Gp:) x1
(Gp:) x2
xN
Decodificador de la señal transmitida:
(Gp:) Acumulador
(Gp:) Acumulador
(Gp:) Acumulador
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) X
(Gp:) s1
(Gp:) s2
(Gp:) sM
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) S
e
l
e
c
t
o
r
Detección de señales con fase desconocida, detección no coherente:
Hasta ahora se ha supuesto que el receptor tiene total conocimiento de la señal transmitida.
Se puede encontrar incertidumbre y aleatoriedad en algunos parámetros de la señal.
La principal causa de esta incertidumbre es la distorsión producida por el médio de transmisión.
Una causa muy frecuente es la transmisión sobre múltiples caminos de longitud variable. Esto causa una aleatoriedad en la fase de la señal portadora.
Por ejemplo, consideramos un sistema de comunicación digital en el cual se transmiten señales iguales de la forma:
Donde E es la energía de la señal, T es la duración del intervalo de señalización y la frecuencia fi es un múltiplo entero de 1/2T . No hay sincronización de fase entre el emisor y el receptor.
Si el canal es AWGN la señal recibida es de la forma:
La fase ? se considera tambien como una variable aleatoria unifórmemente distribuida entre 0 y 2? radianes.
El sistema de detección estudiado previamente no es útil para el caso de detección no coherente.
De forma intuitiva veamos las modificaciones necesarias en el receptor:
Si suponemos que las funciones ortonormales o correladores son de la forma
En ausencia de ruido encontramos que la salida del primer correlador es y la salida del segundo correlador es
de manera que si elevamos al cuadrado y sumamos el resultado es independiente de la fase. A este sistema se le denomina receptor en cuadratura de fase.
(Gp:) Raiz
cuadrada
(Gp:) cuadrado
(Gp:) cuadrado
(Gp:) x
(Gp:) +
(Gp:) x
x(t)
Métodos de Modulación sin memoria:
Señalamiento por desplazamiento de amplitud (ASK): También se le denomina PAM digital. La forma de onda de la señal es:
Am con 1<=m<=M denota el conjunto de M posibles amplitudes .
La energía de la señal es:
En este caso N=1, la función ?(t) es de la forma:
Y sm de la forma
Las correspondientes constelaciones de señales para M=2, M=4 y M=8 son:
0
1
00 01 11 10
000 001 011 010 110 111 101 100
Se pueden hacer dos observaciones:
El vector de señal tiene una única dimensión, que representa la amplitud de la señal.
Los puntos de la señal se seleccionan de manera simétrica respecto del origen.
La señal PAM modulada es una señal de banda lateral doble de modo que se requiere dos veces el ancho de banda requerido para la transmisión en banda base .
La asignación de bits se puede realizar de diferentes formas, una posible forma es aquella en la cual las amplitudes de las señales adyacentes difieren sólo en un bits. A este asignación se le denomina codificación Gray.
La distancia euclídea entre un par de puntos de señales es:
Señales moduladas en fase
En modulación digital de fase la onda de señal tiene la forma:
Donde g(t) es la forma del pulso y ?m =2?(m-1)/M son las M posibles fases de la portadora que contienen la información transmitida.
La energía de la señal es de la forma:
La señal modulada se puede representar como combinación de dos funciones ortonormales ?1 y ?2
La constelación de señales para M=2,4 y 8 es
0
1
10
00
01
11
011
001
000
100
101
111
110
010
Como en el caso ASK, la asignación de bits se puede hacer de diferentes formas, pero tambien se ha utilizado una codificación Gray.
La distancia euclídea entre los puntos de la señal es:
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