Monografias.com > Física
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Una Formulación Invariante de la Relatividad Especial




Enviado por A. Blato




    Monografias.com

    UNA FORMULACIÓN INVARIANTE DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL –

    A. Blato

    Licencia Creative Commons Atribución 3.0
    (2017) Buenos Aires
    Argentina

    Este artículo presenta una formulación invariante de la relatividad especial
    que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia inercial. Además,
    una nueva fuerza universal es propuesta.

    Introducción

    La masa intrínseca (m) y el factor frecuencia (f ) de una partícula masiva
    están dados por:

    .
    m = mo
    .
    f =
    1 –
    v · v
    c2
    -1/2
    donde (mo ) es la masa en reposo de la partícula masiva, (v) es la velocidad
    relacional de la partícula masiva y (c) es la velocidad de la luz en el vacío.
    La masa intrínseca (m) y el factor frecuencia (f ) de una partícula no masiva
    están dados por:

    . h?
    m =
    c2

    . ?
    f =
    ?

    donde ( h ) es la constante de Planck, ( ? ) es la frecuencia relacional de la
    partícula no masiva, (?) es una constante universal positiva con dimensión de
    frecuencia y (c) es la velocidad de la luz en el vacío.
    En este artículo, una partícula masiva es una partícula con masa en reposo no
    nula y una partícula no masiva es una partícula con masa en reposo nula.

    1

    Monografias.com

    r ¯ ¯
    Cinemática Invariante

    La posición especial (¯), la velocidad especial (v) y la aceleración especial (a)
    de una partícula ( masiva o no masiva ) están dadas por:
    r
    ¯
    r
    .
    ¯ =

    . d¯
    v =
    dt
    f v dt

    = f v
    ¯
    ¯
    . dv
    a =
    dt
    = f
    dv
    dt
    +
    df
    dt
    v
    ¯
    donde (f ) es el factor frecuencia de la partícula, (v) es la velocidad relacional
    de la partícula y (t) es el tiempo relacional de la partícula.

    Dinámica Invariante

    Sea una partícula ( masiva o no masiva ) con masa intrínseca (m) entonces el
    momento lineal (P) de la partícula, el momento angular (L) de la partícula
    la fuerza neta (F) que actúa sobre la partícula, el trabajo (W) realizado por la
    fuerza neta que actúa sobre la partícula y la energía cinética (K) de la partícula
    están dados por:

    .
    P = mv = mf v

    .
    F =
    dP
    dt
    ¯
    = ma = m f
    dv
    dt
    +
    df
    dt
    v
    .
    W =
    2
    1
    F · dr =
    2
    1
    dP
    dt
    · dr = ?K
    ¯ ¯
    .

    donde ( f, r, v, t, v, a ) son el factor frecuencia, la posición relacional, la
    velocidad relacional, el tiempo relacional, la velocidad especial y la aceleración
    especial de la partícula y (c) es la velocidad de la luz en el vacío. La energía
    cinética (Ko ) de una partícula masiva en reposo relacional es (mo c2 )

    2

    Monografias.com

    t = ? t –
    c2 )
    c
    c2 )
    Magnitudes Relacionales

    A partir de una partícula masiva auxiliar (denominada punto-auxiliar) es posible
    obtener magnitudes cinemáticas (denominadas relacionales) que son invariantes
    bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales.

    Un punto-auxiliar es una partícula masiva arbitraria libre de fuerzas externas (o
    que la fuerza neta actuando sobre ésta es cero)

    El tiempo relacional (t), la posición relacional (r), la velocidad relacional (v)
    y la aceleración relacional (a) de una partícula (masiva o no masiva) respecto a
    un sistema de referencia inercial S están dados por:
    .
    r · ?
    c2
    .
    r =

    .
    v =
    r +

    v +
    ?2 (r · ?)?
    ? +1 c2

    ?2 (v · ?)?
    ? +1 c2
    – ? ? t

    – ? ?
    1
    ? (1 –
    v·?
    .
    a =
    a –
    ?
    ? +1
    (a · ?)?
    2
    +
    (a × v) × ?
    c2
    1
    ?2 (1 –
    v·? 3
    donde (t, r, v, a) son el tiempo, la posición, la velocidad y la aceleración de
    la partícula respecto al sistema de referencia inercial S, (?) es la velocidad del
    punto-auxiliar respecto al sistema de referencia inercial S y (c) es la velocidad
    de la luz en el vacío. (?) es una constante. ? = (1 – ? · ?/c2)-1/2

    La frecuencia relacional ( ? ) de una partícula no masiva respecto a un sistema
    de referencia inercial S está dada por:
    .
    ? = v
    c · ?
    1 –
    c2
    ? · ?
    1 –
    c2
    donde ( v ) es la frecuencia de la partícula no masiva respecto al sistema de
    referencia inercial S, (c) es la velocidad de la partícula no masiva respecto al
    sistema de referencia inercial S, (?) es la velocidad del punto-auxiliar respecto
    al sistema de referencia inercial S y (c) es la velocidad de la luz en el vacío.

    3

    Monografias.com

    z mzvz = 0 )
    § En los sistemas de referencia inerciales no coincidentes ( ta = ta y/o ra = 0 )
    ( a = punto-auxiliar ) una constante debe ser sumada en la de?nición de tiempo
    relacional tal que el tiempo relacional y el tiempo propio del punto-auxiliar sean
    iguales ( ta = ta ) y otra constante debe ser sumada en la de?nición de posición
    relacional tal que la posición relacional del punto-auxiliar sea cero ( ra = 0 )

    § En el estudio de un sistema aislado de partículas ( masivas y/o no masivas )
    los observadores inerciales deberían preferentemente usar un punto-auxiliar tal
    que el momento lineal del sistema aislado de partículas sea cero (
    ¯
    ?
    ? ?
    r ¯ ¯
    r ¯ ¯
    r ¯ ¯
    Observaciones Generales

    § Las fuerzas y los campos deben ser expresados con magnitudes relacionales
    ( la fuerza de Lorentz debe ser expresada con la velocidad relacional v, el campo
    eléctrico debe ser expresado con la posición relacional r, etc. )

    § El operador (×) debe ser reemplazado por el operador (×) o el operador (?)
    tal como sigue: (a × b = b × a) o (a × b = b ? a)

    § La magnitud masa intrínseca ( m ) es invariante bajo transformaciones entre
    sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

    §Lasmagnitudesrelacionales ( ?,t,r,v,a )soninvariantesbajotransformaciones
    entre sistemas de referencia inerciales.

    § Por lo tanto, las magnitudes cinemáticas y dinámicas (f,¯,v,a,P,L,F,W,K)
    son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales.

    § Sin embargo, es natural considerar la siguiente generalización:

    • Sería también posible obtener magnitudes relacionales ( ?,t,r,v,a ) que serían
    invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no
    inerciales.

    • Las magnitudes cinemáticas y dinámicas ( f,¯,v,a,P,L,F,W,K ) estarían
    dadas también por las ecuaciones de este artículo.

    • Por lo tanto, las magnitudes cinemáticas y dinámicas (f,¯,v,a,P,L,F,W,K)
    serían invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y
    no inerciales.

    4

    Monografias.com

    c2 )
    c
    c2 )
    Transformaciones Vectoriales de Lorentz

    Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S’ cuyos orígenes coinciden en el
    tiempo cero ( para ambos sistemas ) entonces el tiempo (t ), la posición (r )
    la velocidad (v ) y la aceleración (a ) de una partícula (masiva o no masiva)
    respecto al sistema de referencia inercial S’ están dados por:
    t = ? t –
    r · ?
    c2
    r
    =

    v =
    r +

    v +
    ?2 (r · ?)?
    ? +1 c2

    ?2 (v · ?)?
    ? +1 c2
    – ? ? t

    – ? ?
    1
    ? (1 –
    v·?
    a
    =
    a –
    ?
    ? +1
    (a · ?)?
    2
    +
    (a × v) × ?
    c2
    ?2
    1
    (1 –
    v·? 3
    donde (t, r, v, a) son el tiempo, la posición, la velocidad y la aceleración de
    la partícula respecto al sistema de referencia inercial S, (?) es la velocidad del
    sistema de referencia inercial S’ respecto al sistema de referencia inercial S y (c)
    es la velocidad de la luz en el vacío.(?) es una constante. ? = (1 – ?·?/c2)-1/2

    Transformación de Frecuencia

    Lafrecuencia( v )deunapartículanomasivarespectoaunsistemadereferencia
    inercial S’ está dada por:
    v = v
    c · ?
    1 –
    c2
    ? · ?
    1 –
    c2
    donde ( v ) es la frecuencia de la partícula no masiva respecto a un sistema de
    referencia inercial S, (c) es la velocidad de la partícula no masiva respecto al
    sistema de referencia inercial S, (?) es la velocidad del sistema de referencia
    inercial S’ respecto al sistema de referencia inercial S y (c) es la velocidad de la
    luz en el vacío.

    5

    Monografias.com

    j Kij
    Fuerza Cinética

    La fuerza cinética Kaij ejercida sobre una partícula i con masa intrínseca mi por
    otra partícula j con masa intrínseca mj está dada por:
    Kaij = –
    mi mj
    M
    ¯ ¯
    (ai – aj )
    ¯ ¯
    donde ai es la aceleración especial de la partícula i, aj es la aceleración especial
    de la partícula j y M ( = z mz ) es la suma de las masas intrínsecas de todas las
    partículas del Universo.
    La fuerza cinética Kui ejercida sobre una partícula i con masa intrínseca mi por
    el Universo está dada por:
    Kui = – mi
    z
    ¯
    mz az
    z mz
    ¯
    donde mz y az son la masa intrínseca y la aceleración especial de la z-ésima
    partícula del Universo.
    De las ecuaciones anteriores se deduce que la fuerza cinética neta Ki ( =
    a
    ¯
    ¯
    ¯
    + Kui ) que actúa sobre una partícula i con masa intrínseca mi está dada por:

    Ki = – mi ai

    donde ai es la aceleración especial de la partícula i.
    Ahora, reemplazando ( Fi = mi ai ) y reordenando, se obtiene:
    .
    Ti = Ki + Fi = 0

    Por lo tanto, la fuerza total Ti que actúa sobre una partícula i es siempre cero.

    Bibliografía

    A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General.

    E. Mach, La Ciencia de la Mecánica.

    C. Møller, La Teoría de Relatividad.

    6

    Monografias.com

    Apéndice I

    Sistema de Ecuaciones I

    [1]

    ? dt ?
    ?
    ? × r ?
    [4]

    ? dt ?
    [2]

    ? dt ?
    [5]
    ?
    ? × r ?
    [3]
    ?
    dr ?
    [6]
    [1]
    1
    µ
    P dt –
    F dtdt
    = 0
    [2]
    1
    µ
    P –
    F dt
    = 0
    [3]
    1
    µ
    dP
    dt
    – F
    = 0
    [4]
    1
    µ
    P –
    F dt
    ?
    × r = 0
    [5]
    1
    µ
    dP
    dt
    – F
    ?
    × r = 0
    [6]
    1
    µ
    dP
    dt
    · dr –
    F · dr
    = 0
    [µ] es una constante arbitraria con dimensión de masa (M)

    7

    Monografias.com

    Apéndice II

    Sistema de Ecuaciones II

    [1]

    ? dt ?
    ?
    ? × r ?
    [4]

    ? dt ?
    [2]

    ? dt ?
    [5]
    ?
    ? × r ?
    [3]
    ?
    dr ?
    [6]
    [1]
    1
    µ
    r
    m¯ –
    F dtdt
    = 0
    ¯
    ¯
    [2]

    [3]

    [4]
    1
    µ

    1
    µ

    1
    µ
    ¯
    mv –

    ma – F

    mv –
    F dt

    = 0

    F dt
    ?
    = 0

    × r = 0
    [5]
    1
    µ
    ¯
    ma – F
    ?
    × r = 0
    [6]
    1
    µ
    mf c2 –
    F · dr
    = 0
    [µ] es una constante arbitraria con dimensión de masa (M)

    8

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter