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Operaciones en Punto Flotante




Enviado por Pablo Turmero



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    ¿Qué hacer cuando una aplicación requiere
    operar con números que no son enteros?

    ¿Cómo los representamos?

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    Punto fijo
    Se usa aritmética entera y se imagina el punto
    binario en algún otro lugar que no sea a la derecha
    del bit menos significativo

    Punto flotante
    – Es la representación que se ha adoptado para este
    tipo de números
    – El valor representado se divide en dos partes, un
    exponente y un significand
    Ejemplo:
    exponente = -4
    significand = 1,7

    Representación de números fraccionarios

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    ¿El formato es estándar o existe más de uno?
    – En el pasado el comportamiento de las operaciones de
    punto flotante variaban considerablemente de una familia
    de computadoras a otra.
    – Las variaciones incluían cosas tales como número de bits
    utilizados para el exponente y el significand, el rango del
    exponente, cómo se implementa el redondeo y las acciones
    que se toman ante condiciones excepcionales (underflow,
    overflow).
    – En la actualidad se convergió al formato especificado por
    el estándar IEEE 754
    Existe más de un formato?

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    Signo
    Exponente
    Mantisa
    Bit de signo
    0 para los positivos
    1 para los negativos

    Exponente
    Representación en exceso (exceso = 2N_EXP-1-1)

    Mantisa Normalizada
    Campos del formato

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    – Los analistas numéricos pueden construir bibliotecas de
    cálculo de alta calidad
    – Los diseñadores de computadoras pueden desarrollar técnicas
    para implementar hardware de altas prestaciones
    – Se pueden intercambiar los resultados de los programas
    ejecutados en distintas arquitecturas

    Ventajas de usar el mismo formato

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    La aritmética IEEE difiere con respecto a las anteriores en lo
    siguiente:

    – Cuando se redondea un resultado de medio camino al número
    de punto flotante más cercano, toma el que es par
    – Incluye los valores especiales NaN, infinito y -infinito
    – Utiliza números desnormalizados para representar valores
    menores que 1.0 x 2Emin
    – Redondea al valor más cercano por defecto, pero tiene
    además otros tres modos de redondeo
    – Tiene facilidades para el manejo de excepciones

    Diferencias de la aritmética IEEE

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    – En muchos sistemas de punto flotante si Emin es el exponente
    más chico, un número menor a 1.0 x 2Emin no puede ser
    representado. Por lo que si una operación presenta un valor
    así se lo lleva a cero.
    – En el estándar IEEE los números menores a 1.0 x 2Emin son
    representados usando significands menores que 1 (es lo que
    se denomina como gradual underflow)
    Números desnormalizados (Denormals)

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    Ejemplo 1: se tiene el número x = 1.234 x 10Emin, con un
    significand de cuatro dígitos en base 10 .
    – Si se divide por 10, se redondea a 0.123 x 10Emin
    – Si se divide por 100, se redondea a 0.012 x 10Emin
    – Si se divide por 1000, se redondea a 0.001 x 10Emin
    – Si se divide por 10000, se redondea a 0.000 x 10Emin

    Números desnormalizados (Denormals)

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    Ejemplo 2: se tienen dos números
    x = 1.245 x 10Emin , y = 1.232 x 10Emin,
    con un significand de cuatro dígitos en base 10 .
    – La operación x – y = 0 (sistema sin denormal)
    – La operación x – y = 0.013 x 10Emin (sistema con denormals)

    En el ejemplo se puede observar que en el primer sistema, aún
    cuando x <> y la operación x – y = 0.
    Números desnormalizados (Denormals)

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    Números desnormalizados (Denormals)

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    Parámetros del estándar IEEE 754

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    Representación de valores

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    (Gp:) Operación de multiplicación

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    Sean n1 y n2 dos números binarios en punto flotante:

    n1 = s1 x 2e1 , n2 = s2 x 2e2
    La multiplicación de estos dos números será:

    n1 x n2 = (s1 x 2e1) x (s2 x 2e2)

    = (s1 x s2) x 2e1+e2
    Multiplicación

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    Multiplicar los significands utilizando multiplicación entera
    Redondear el resultado
    Calcular el nuevo exponente

    Multiplicación: Pasos

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    rnd
    sticky
    Producto
    Caso 1: X0 = 0
    El bit más significativo de P es 0. Se desplaza P a
    izquierda un bit, introduciendo en P el bit g de A.

    El bit más significativo de P es 1. Hacer s := s v r
    y r := g, y sumar 1 al exponente.
    Multiplicación: Casos
    rnd
    sticky
    Caso 2: X0 = 1

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