La posibilidad de revancha en la solución dialetéica de la paradoja del mentiroso (página 2)

Partes: 1, 2

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (i)
Recordemos que el dialeteísta tiene como objetivo formular la semántica para un lenguaje en ese mismo lenguaje.

Tal lenguaje debe ser acompañado por un aparato deductivo, adecuado para la semántica (i.e., dicho aparato debe ser por lo menos correcto, y de ser posible también completo, con respecto a la semántica). La demonstración de que el aparato deductivo es adecuado para la semántica procede en una teoría matemática (normalmente en una metateoría, pero en el caso dialetéico en una teoría que también es expresada en el lenguaje en cuestión, y regida por las leyes de inferencia del aparato deductivo correspondiente).

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (ii)
Consideremos, pues, un lenguaje de primer orden con igualdad, L, que contiene vocabulario semántico (e.g., un predicado de verdad), así como vocabulario aritmético, y de teoría de conjuntos.

El siguiente es un esbozo de una semántica para L, proporcionado por el dialeteísta Graham Priest.

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (iii)
Sea VAR el conjunto compuesto por las variables de L, CON el conjunto compuesto por sus constantes. Para cada n, sea FUNCn el conjunto de los símbolos de función n-arios de L, y PREDn el conjunto de los símbolos de predicado n-arios de L.

El conjunto de términos, TERM, es generado recursivamente a partir de las dos cláusulas:
si t ? CON o t ? VAR, entonces t ? TERM
si f ? FUNCn y t1, . . ., tn ? TERM, entonces f(t1 . . . tn) ? TERM.

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (iv)
Una fórmula atómica de L es una expresión P(t1 . . . tn), donde P ? PREDn, y t1, . . ., tn ? TERM.

El conjunto ? de fórmulas bien formadas de L es generado recursivamente del conjunto de fórmulas atómicas, de la manera usual.

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (v)
Una interpretación de L es una estructura M = ?W, P, I, @, U, R, ??, en donde:

W es una clase de mundos, P ? W es una clase de mundos posibles, I ? W es una clase de “mundos imposibles”, W = P ? I, y P e I no tienen elementos en común.
@ ? P es el mundo actual
U es un dominio de objetos no vacío
R es una relación ternaria entre mundos

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (vi)
? es una función de interpretación para los símbolos no lógicos de L, tal que
si c es una constante, ?(c) ? U
si f ? FUNCn, ?(f) es una función n-aria en U, i.e. ?(f): Un ? U
si P ? PREDn y w ? W, entonces ?(P, w) = ???(P, w), ??(P, w)?, en donde ??(P, w) ? ??(P, w) = Un. Así, ??(P, w) y ??(P, w) son conjuntos de n-tuples de los miembros de U, y pueden concebirse como la extensión y antiextensión de P en w.

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (vii)
Por último, una función ?? VAR?U asigna miembros del universo U a las variables individuales de L.

Una fórmula bien formada ? de L es evaluada en un mundo w, en ralación a una asignación ? a sus variables libres.

Semántica dialetéica para un lenguaje formal de primer orden (viii)
Los valores de verdad de ? son miembros del conjunto {0, 1}.

La verdad y falsedad en una interpretación no son expresados en terminos funcionales, sino relacionales. Una evaluación VM es una relación cuaternaria relacionando una fórmula bien formada, un mundo, una asignación a las variables, y un valor de verdad.

Así, ? es verdadera en M si es relacionada por VM al valor de verdad 1 en el mundo w bajo la asignación ?, i.e., Vw(?? ?? 1). Similarmente, ? es falsa en M si es relacionada por VM al valor de verdad 0 en el mundo w bajo la asignación ?, i.e., Vw(?? ?? 0). Por último, ? es verdadera y falsa en M si es relacionada por VM a los valores de verdad 1 y o en el mundo w bajo la asignación ?, i.e., Vw(?? ?? 1) y Vw(?? ?? 0).

El mentiroso dialetéico formalizado (i)
Procediendo en L, definamos una función ternaria h tal que h(???, w, ?) = {x: Vw(?, ?, x)}.

Esto es, h es una función que toma como argumento (el nombre de) cada wff of L, en un mundo, bajo una asignación de valores a sus variables libres, y arroja el conjunto de todos los valores de verdad con los cuales la wff está relacionada en ese mundo.

Que podemos expresar tal función en L está garantizado por el hecho de que tenemos en el trasfondo una teoría aritmética y una teoría de conjuntos.

El mentiroso dialetéico formalizado (ii)
Y puesto que tenemos como teoría de trasfondo la aritmética, el lema de diagonalización de Gödel garantiza la existencia de una wff A de L tal que:

A ? (h(?A?, @, s) = {0}).

El mentiroso dialetéico formalizado (iii)
Consideremos ahora dos principios, enunciados para todas las wffs cerradas ?? mundos w, y asignaciones ?:

(1) Vw(??????, 1) ? ?

(2) h(???, w, ?) = {1} ? h(???, w, ?) = {0}
? h(???, w, ?) = {1, 0}

El mentiroso dialetéico formalizado (iv)
El principio (1) es el esquema de verdad en una interpretación.

El principio (2) expresa un hecho acerca de la semántica de L: que cada oración es simplemente verdadera, simplemente falsa, o verdadera y falsa.

El mentiroso dialetéico formalizado (v)
Pero los principios (1) y (2) no pueden aceptados por el dialeteísta.

Supongamos que lo fueran. Supondríamos así la verdad de sus instancias:

(1’) V@(?A?, s, 1) ? A

(2’) h(?A?, @, s) = {1} ? h(?A?, @, s) = {0}
? h(?A?, @, s) = {1, 0}.

El mentiroso dialetéico formalizado (vi)
Si (2?) es verdadero, alguno de sus tres disyuntos tiene que ser verdadero. Hay, pues, tres casos:

Caso 1: Supongamos que h(?A?, @, s) = {1}. Luego V@(?A?, s, 1), por la definición h. En tal caso, A se sigue, gracias a (1?). Pero A es interderivable con h(?A?, @, s) = {0}, por construcción. En cuyo caso {1} = {0}, luego 1 = 0, por la extensionalidad de los conjuntos.

El mentiroso dialetéico formalizado (vii)
Caso 2: Supongamos que h(?A?, @, s) = {1, 0}. El mismo argumento que el caso anterior nos lleva a la conclusión que 1 = 0.

Caso 3: Supongamos que h(?A?, @, s) = {0}. Como tenemos que A ? (h(?A?, @, s) = {0}), podemos derivar A, y a partir de esto derivar V@(?A?? s, 1), gracias a (1?). Pero en tal caso 1 ? h(?A?, @, s), por la definición de h, luego 1 ? {0}, y en consecuencia
1 = 0.

El mentiroso dialetéico formalizado (viii)
Nótese que el problema aquí no es que 1 = 0 lleve a la trivialidad aritmética: los numerales ‘1’ and ‘0’ denotan valores de verdad de forma convencional, y podrían ser reemplazados por otros nombres, e.g. las palabrass ‘VERDADERO’ Y ‘FALSO’.

Lo que sí es un problema es que, de acuerdo con la semántica de L, todas las oraciones del lenguaje se relacionan con 1, o con 0 (o con ambas). Si 1 = 0, todas las oraciones se relacionan con 1, luego cualquier oración puede ser afirmada, por (1).

Igualmente desastroso es el hecho de que, si 1 = 0, todas las oraciones serían verdaderas y falsas.

La respuesta de Priest
Confrontado con argumentos similares al anterior, Priest ha adoptado una solución solomónica: rechazar (1) y (2).

Comentarios sobre la respuesta de Priest (i)
Primero que todo, el rechazo de (1) y (2) parece motivado únicamente por la necesidad de evitar la trivialidad, y por ende no menos ad hoc que las soluciones clásicas al mentiroso simple.

Por lo demás, el rechazo de (1) es desconcertante: si (1) fuera falsa, eso sería porque hay una oración que es afirmable, pero no está relacionada con el valor 1 en ningún mundo bajo ninguna interpretación, o porque hay oraciones que son por lo menos verdaderas en todos los mundos bajo todas las interpretaciones, pero nos son afirmables.

Es decir, que, o hay falsedades lógicas que son afirmables, o hay verdades lógicas que no lo son.

Comentarios sobre la respuesta de Priest (ii)
Uno podría pensar que el rechazo de (1) tiene algo que ver con el comportamiento de el esquema de verdad en una interpretación en mundos imposibles.

Esto sería un error: el argumento anterior demuestra que la instancia de (1) en la cual el mundo en cuestión es el mundo actual conlleva a la trivialidad.

Comentarios sobre la respuesta de Priest (iii)
En consecuencia, Priest rechaza no sólo a (1), pero a su restricción al mundo actual:

V@(??????, 1) ? ??

Pero un objetivo de Priest es el de poder deducir, en L, todas las instancias del esquema de verdad general

True(???) ? ?,

i.e., el esquema que garantiza la intersubstitutividad de toda oración con la oración en la cual la verdad es predicada del nombre de dicha oración.

Comentarios sobre la respuesta de Priest (iv)
Lo anterior significa que Priest rechaza la equivalencia

V@(??????, 1) ? True(????

es decir, Priest rechaza la equivalencia entre verdad en una estructura y verdad simpliciter.

Comentarios sobre la respuesta de Priest (v)
Miremos ahora el rechazo por parte de Priest de:

(2) h(???, w, ?) = {1} ? h(???, w, ?) = {0} ? h(???, w, ?) = {1, 0}

El principio (2) expresa un hecho semántico de L: que todas sus oraciones son simplemente verdaderas, simplemente falsas, o verdaderas y falsas. Si este hecho no puede ser expresado en L, el lenguaje es expresivamente pobre, y no goza de ventaja frente a los lenguajes clásicos en este sentido.

Comentarios sobre la respuesta de Priest (v)
Priest expresa dicho hecho semántico de tal manera que, cuando se construye la correspondiente versión formalizada del mentiroso dialetéico, esta oración “afirma de si misma” que es simplemente falsa, pero la oración en sí puede ser simultáneamente evaluada como verdadera.

El caso es análogo al encontrado en el lenguaje natural: el dialeteísta no puede expresar de manera confiable hechos semánticos acerca de las oraciones de su lenguaje.