Resumen
Sistema de ejercicios que tiene como objetivo desarrollar la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las carreras de Ingeniería, sustentada en la concepción de la sistematización lógica del contenido, por esta razón adquiere un carácter esencial en función de cumplir el objetivo propuesto.
Introducción
Una de las tareas más importantes del proceso de enseñanza aprendizaje es propiciar las condiciones para que los educandos se propicien de conocimientos integradores, motivándolos constantemente en el entorno de cada clase, saber que enseñar no es transferir conocimiento, sino crear las posibilidades para su propia producción o construcción.
Aspectos tales como los métodos de la enseñanza y de la educación para elevar la efectividad del proceso pedagógico, el trabajo educativo con los estudiantes universitarios, la evaluación, la elaboración de textos y materiales docentes, la formación valorar, las concepciones curriculares son, entre otros aspectos, los que hay que abordar en eventos, talleres, foros y conferencias de la educación superior, y al mismo tiempo contribuyen a legitimar la importancia de una Pedagogía para la Educación Universitaria.
Incentivar a los alumnos para que apliquen sus conocimientos en la solución de problemas relacionados con su futura profesión, en función de desarrollar sus motivaciones profesionales, independencia y creatividad. Son dos fenómenos psicológicos no identificables, pero muy vinculados en el desarrollo de la personalidad. La realización de actividades conjuntas condiciona, obligatoriamente, la necesidad de la comunicación entre las personas, en la medida que sea mayor y más eficiente esa comunicación, mejor se cumplen los objetivos de la actividad.
El desarrollo de la personalidad exige de una adecuada y armónica unidad entre las actividades que realiza y la comunicación que establece con los demás. Una de las condiciones para el éxito de la labor pedagógica radica en la calidad de las actividades que realizan los alumnos junto con el profesor y la fluida comunicación que establezcan ambos como también los alumnos entre sí.
Las relaciones interpersonales en el aula afectan la conducta de aprendizaje de los estudiantes, también el profesor interviene en la conducta del alumno, es importante destacar que la inserción de la familia es una de las determinantes de la autoestima de los estudiantes, los padres polarizan la valoración de sus hijos en los rendimientos escolares, también el grupo es otro elemento determinante en la construcción de la autoestima del alumno.
El objetivo general es contribuir a la apropiación de la lógica de la matemática durante el proceso enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las carreras de Ingeniería que así lo requieren, sustentado en un modelo de sistematización lógica del contenido en su propia dinámica.
El Álgebra es una rama de la Matemática, que estudia la forma de resolver las ecuaciones, el algoritmo a seguir para encontrar el valor de la incógnita, es la asignatura que trata con estructuras o entidades más generales que los números, sobre las cuales se definen operaciones similares a las aritméticas que permiten recrear e interpretar fenómenos reales y abstractos en lo que se emplea una gran variedad de símbolos.
Los contenidos algebraicos son una herramienta de gran utilidad en manos del hombre en su afán por conocer y resolver el comportamiento de los fenómenos naturales y sociales. Actualmente, no hay área del saber humano que pueda prescindir de los recursos que nos brinda en la organización, planeación, ejecución, así como en el análisis de diversos procesos, lo que favorece la adopción de medidas y decisiones oportunas, que lleven a una mayor eficiencia de los recursos intelectuales, humanos, naturales y económicos.
El proceso enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal, en las carrera universitarias presenta un conjunto de dificultades diferentes a las que se muestran, por ejemplo, en la matemática I, II, III, pues en estas materias, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos desde otros conocimientos físicos o geométricos dados previamente, pero en el Álgebra Lineal, la mayor parte de los conceptos se dan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene, en la mayoría de los casos, conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que la motiven. La mayoría de los problemas asociados se resuelven con el uso de la definición dada junto con argumentos derivados de la lógica.
Esta situación hace que muchos estudiantes sientan los conocimientos algebraicos demasiados abstractos y que sus contenidos son "objetos" que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad. No obstante, las conformaciones de tales estructuras cognitivas no deben quedar a la espontaneidad del profesor, es decir, lo que él pueda hacer en el orden didáctico, no sólo debe responder a su experiencia y preparación en relación con esta asignatura, sino que requiere de una estrategia con indicaciones en este sentido.
El desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento, es una tarea verdaderamente difícil y no se cuenta en la didáctica de la Educación Superior, con las indicaciones para potenciar el desarrollo de estos y en algunos casos, incidir en su formación, dadas las insuficiencias que presentan los estudiantes que egresen.
La guía de ejercicios propuesta, es sobre resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es un conjunto de ejercicios graduados, que tiene en cuenta el nivel de profundidad de las habilidades, que van desde la memorización de conceptos hasta modelar un problema para su resolución.
Ejercicio resuelto:
1. Calcular las reacciones en los apoyos de la barra si se somete a una fuerza P de 20 kg, según se muestra en el siguiente esquema:
Reacción: es una fuerza de sujeción a un elemento resistente al suelo u otro elemento de grandes dimensiones que sirve de soporte al elemento resistente.
Giros: tomamos como acuerdo que: cuando el giro va en el sentido de las manecillas del reloj, el giro será positivo, por tanto, se debe agregar el signo positivo en la suma de momentos en cada fuerza ejercida contra la viga que vaya en esta dirección, cuando el giro sea contrario a las manecillas del reloj, el giro será negativo, por lo tanto, se debe agregar el signo negativo a todas las fuerzas ejercidas contra la viga que vayan en esa dirección.
Para formar las ecuaciones, lo primero que se realiza es el diagrama de cuerpo libre, este muestra todas las fuerzas que se incluyen en la estructura, incluyendo las reacciones representadas en la figura:
RAX, RAY, RBY son las reacciones de apoyo en el punto A, CX, CY son las componentes de la carga inclinada, según la ley de la estática la sumatoria de los momentos es igual a cero, donde momento es igual a la fuerza por la distancia perpendicular a dicha fuerza, vamos a determinar la ecuación con la sumatoria de los momentos, para ello nos podemos parar en cualquiera de los puntos donde exista una fuerza vertical, nosotros vamos a elegir el punto donde se encuentra la carga (punto C) para no tener que calcular la componente Cy, el ejercicio sería más sencillo de resolver, como nos paramos en el punto C el momento sería igual cero por ser el punto de partida (la distancia es cero), del punto C al punto B hay una distancia de 2m, como el sentido de giro en este punto es contrario a las manecillas del reloj RBY es negativa, en el punto A, RAY es positiva porque el sentido del giro en este punto es a favor de las manecillas del reloj, tomando todo esto en cuenta, la ecuación de los momentos sería:
Se forman la ecuación con la sumatoria de las fuerzas en X igual a cero, teniendo en cuenta que: las fuerzas en x que van hacia la derecha son positivas y las que van hacia la izquierda negativas, después se forma la ecuación con la sumatoria de las fuerzas en Y igual a cero, donde las fuerzas que van hacia abajo son positivas y las que van hacia arriba negativas (según el sentido que indica la flecha), entonces las ecuaciones serían:
Sumatorias de las fuerzas en X:
Para formar esta ecuación recordemos que la sumatoria de las fuerzas en x es igual a cero, entonces según el diagrama de cuerpo libre representado en la figura 1.2 tenemos que la primera fuerza en el eje X es la reacción en el punto A en dicho eje, en este caso sería RAx, observa que la flecha está hacia la derecha, por eso es positiva, para el punto B lo analizaremos a continuación con más detalles:
Por razones trigonométricas en triángulo rectángulo:
Por razones trigonométricas:
La ecuación sería:
Se forma un sistema de ecuaciones con las tres ecuaciones obtenidas:
R(A/B) = 3, R(A) = 3, como R(A/B) = R(A) el SEL es compatible.
Cantidad de incógnitas n = 3, R(A/B) = n por lo que el SEL es compatible determinado.
Ejercicios propuestos:
1- Complete con verdadero o falso según corresponda y justifique.
____ Los sistemas de ecuaciones homogéneos pueden ser incompatibles.
____De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) si se eliminan ecuaciones.
____ En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.
2- Dado el sistema de ecuaciones lineales (SEL)
Responda:
a) ¿Es homogéneo o no homogéneo? Justifique.
b) Escriba la matriz A del SEL (matriz de los coeficientes).
c) Escriba la matriz ampliada del SEL (matriz (A, b)).
d) Calcula un matriz escalón equivalente a la matriz ampliada del sistema (usa las transformaciones elementales).
e) Clasificar el SEL según el teorema de Rouché – Fröbenius
f) Escoja un método de solución y describa los pasos para encontrarla, (escriba el algoritmo de solución, de un método estudiado).
g) De ser posible, encuentre la solución.
3- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a) Escríbalos en notación matricial.
b) Resuélvalos empleando el método de Gauss.
4- Dado el SEL:
a) Clasifique totalmente el SEL. Justifique su respuesta.
b) Halle el conjunto solución con la ayuda del método de Gauss.
c) ¿Es el vector X = (3, 3/2, -1/2) una solución particular del SEL? Justifique su respuesta.
5- Determina el valor de k para que el SEL dado tenga infinitas soluciones.
a) Encuentre una solución particular si se toma a X3=1
6- Determina el valor de K para el que el siguiente sistema:
a) Sea compatible.
b) Tenga infinitas soluciones.
c) Tenga solución única.
7- Considera el sistema:
a) Determina los valores de a para que el sistema tenga solución única.
b) Determinar los valores de a y k, (k en función de a) para que la única solución del sistema sea tal que w=0.
c) Determinar las condiciones para a y k de modo que el conjunto solución sea infinito.
8- Analiza la existencia de soluciones para los diferentes valores de "a" y resuelve:
Determine las condiciones para a y b de modo que:
a) El sistema tenga solución única, determina la componente y de la solución.
b) El sistema no tenga solución.
c) El sistema tenga infinitas soluciones, halla una solución particular tomando z=1
13.1) Argumente que valor deben tomar los coeficientes g y h para que el sistema:
a) Tenga infinitas soluciones.
b) No tenga solución.
c) Obtenga la solución del sistema de ecuaciones (SEL) para g = 3 y h = 4.
9- El equilibrio estático de la viga que se nuestra en la figura, la cual está articulada en un extremo y simplemente apoyada en el otro se puede modelar matemáticamente a través del siguiente sistema de ecuaciones lineales. Para obtener las reacciones de apoyo resuelva dicho sistema aplicando convenientemente uno de los métodos estudiados. Tenga en cuenta que la viga está cargada con una fuerza inclinada de 20 kN, la cual forma un ángulo de 30° con la horizontal.
10- Se necesita construir una estructura aporticada como la que se muestra en la figura siguiente, para el soporte de un tanque de 5000 litros de capacidad. El mismo almacenará agua potable, cuya masa específica es 1 kg/l. Se necesitan conocer los valores de las cargas que llegan a los apoyos para realizar el diseño geotécnico y estructural de la cimentación. Apóyese en las leyes de la estática para modelar el sistema de ecuaciones lineales.
11- Hallar el sistema de ecuaciones lineales homogéneo para el cual: (2,1,0,0), (1,0,1,0), (-1,0,0,1), constituye un sistema fundamental de soluciones.
12- Una compañía ha comprado Central Processing Unit (CPU), monitores y Uninterruptible Power Supply (UPS) por importe de $500 (sin impuesto). El valor de las CPU es $60 menos que el de los display y las UPS conjuntamente. Si por las CPU deben pagar un impuesto del 6%, por los monitores del 12% y por las UPS un 30%, la factura total con impuestos es de $592.4. Calcule la cantidad invertida en cada tipo de periféricos.
13- Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos y está dado por:
19- Se mide el rendimiento de tres sectores de la economía en nuestro país, el sector agropecuario, agroindustrial y de electricidad, el rendimiento de cada sector se distribuye entre los diferentes sectores como muestra la tabla, donde las entradas de una columna representan fracciones de la producción total de un sector. Determine los precios de equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus gastos.
20- Cuando se quema un gas propano, este se combina con oxígeno para formar dióxido de carbono y agua, de acuerdo con la ecuación de la forma:
Realiza el balanceo de la siguiente ecuación encontrado los valores de: X1, X2, X3, X4
21- En la red de la figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) sobre varias calles de un solo sentido en Ciego de Ávila, durante un día, en la hora de la tarde. Determine el patrón de flujo generado para la red.
22- Se tiene un estado tensional de un punto material dado por las componentes del tensor (
) en una estructura de acero:
) en una estructura de a) Determine los valores propios y los subespacios propios del endomorfismo (
).b) Obtenga el estado tensional en el espacio de tensiones principales (Obtener la matriz diagonal).
El sistema de ejercicios se conformó de acuerdo con los objetivos de enseñanza aprendizaje, y las tareas típicas seleccionadas a partir de estos, así como las habilidades y la actividad mental que deben desarrollar los estudiantes en el proceso de solución y empleando la mayor cantidad de habilidades matemáticas, entre ellas: interpretar, identificar, recodificar, fundamentar, calcular, algoritmizar, graficar o modelar.
Fue fundamental la graduación de complejidad del sistema de ejercicios, pues cada uno de ellos tenía algo nuevo, de forma tal que se mueva el pensamiento. No se trata de limitar el número de ejercicios que realizó el estudiante, sino graduar la dificultad para que además de cumplir el objetivo de razonar lógicamente, se haga más ameno el trabajo.
Como se aprecia en la guía, el primer ejercicio es de orden teórico, en el que se contribuye a la fijación de conceptos, pero a la vez, conlleva a que el estudiante razone su respuesta, no se niega el valor de los ejercicios destinados a estimular la identificación y fijación de los conceptos, aunque se aboga por la parte práctica de ellos y por la importancia que tienen para la comprensión de los nuevos contenidos.
En la mayoría de los ejercicios se exige justificar la respuesta de forma escrita, pues la acción de argumentar, tiene estrecha vinculación con la actividad mental de razonar, lo que contribuyó a la apropiación de un lenguaje matemático y a elevar la autoestima de los estudiantes.
Se debe aprovechar al máximo los ejercicios que se resuelven a través del uso de la heurística, esto conlleva a que el estudiante opere con conceptos, proposiciones y procedimientos con métodos adecuados, de manera cada vez más consciente. Ellos requieren de cierta cultura lógica, de la habilidad de relacionar lo dado con lo que se desea calcular o demostrar, de la propiedad de expresar exacta y sucintamente un pensamiento matemático, convirtiéndose en rasgos indispensables que ha de adquirir un futuro ingeniero.
Conclusiones
La modelación que se realiza tiene como propósito la apropiación de la lógica de la matemática y como intencionalidad la motivación matemática profesional, categorías que, en su relación mediante un proceso de sistematización lógica del contenido, posibilitan el perfeccionamiento de la dinámica, teniendo en cuenta además la relación entre la lógica matemática generalizadora y la sistematización integradora.
La aplicación de este sistema de ejercicios contribuye a la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal y desarrolla el razonamiento lógico en los estudiantes, mediante acciones que se organizan en dos niveles dirigidos al desarrollo de la lógica matemática generalizadora e integración sistematizadora, en correspondencia con las dimensiones y relaciones fundamentales reveladas en la modelación que se realiza.
Recomendaciones
El profesor debe de trabajar con vista a la formación del pensamiento lógico Matemático en los alumnos, siendo el alumno su discípulo.
El profesor debe de tener en cuenta la base Matemática que tiene cada estudiante.
El profesor debe de orientar al alumno e incentivar el estudio individual de los estudiantes, oriento el uso de los libros de texto y documentos donde los alumnos profundice el contenido y lo lleve posteriormente a la práctica.
El profesor debe de ser el reflejo de ser el guía para el alumnos, interesado en los aspectos personales que tenga el alumno y la formación del mismo para poder preparar lo para la vida.
REPÚBLICA DE CUBA,
UNIVERSIDAD MÁXIMO GÓMEZ BÁEZ CIEGO DE ÁVILA.
2017.
Autor:
Lic. María Teresa Ruiz García.