Ecuaciones en derivadas parciales
Tanto para EDPs como para sistemas de EDPs, el orden será el mayor orden de derivación presente.
u(x,y) será solución de la ecuación en derivadas parciales (EDP) si cumple idénticamente la relación anterior en una cierta región D ? ?n.
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Recordatorio: Fórmulas de integración en derivadas parciales
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La solución general consiste en un conjunto infinito de superficies.
Ecuaciones lineales
Lineal de primer orden:
Lineal de segundo orden:
Si D(x,y) = 0 estamos frente a una ecuación homogénea.
Si G(x,y) = 0 estamos frente a una ecuación homogénea.
(Gp:) u(x,t =10)
(Gp:) x
Distribución de temperatura u(x,t) a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera.
Algunos ejemplos de EDPs clásicas:
Roca
Estrato de suelo, v
Movimiento de entrada
(sismo)
Movimiento de salida
(respuesta)
Propagación de
ondas sísmicas
Cuerda
vibrante
Ecuación de Laplace
Este modelo se presenta en problemas independientes del tiempo relacionados con potenciales electrostáticos, gravitacionales,…
Vamos a resolverla mediante
Reducción de EDP o sistemas de EDPs de orden superior a uno a sistemas de EDPs de primer orden
Siempre es posible la reducción mediante un adecuado cambio de variable. Por ejemplo:
EDP de segundo orden cambio de variable EDP transformada
Si suponemos que la solución es de al menos clase C2,
las derivadas cruzadas
son iguales:
La EDP se
convierte
finalmente
en el sistema:
Principio de superposición
El conjunto de soluciones de una ecuación lineal
homogénea es un espacio vectorial y las soluciones
de la ecuación completa asociada con ella forman
un espacio afín definido sobre tal espacio vectorial.
Bibliografía:
Ecuaciones en derivadas parciales, Ignacio Parra et al.
García-Maroto Editores
Ecuaciones diferenciales II
Manuel Mañas Baena y Luis Martínez Alonso
Introducción a las EDPs
C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A. I. Muñoz (URJC)
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Ecuación casi-lineal
Casi-lineal de primer orden:
Casi-lineal de segundo orden:
Si C(x,y,u) = 0 estamos frente a una ecuación homogénea.
Si D(x,y, u,…) = 0 estamos frente a una ecuación homogénea.
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Ecuación semi-lineal de primer
y segundo orden en dos variables
La parte principal (las derivadas de orden más alto que determinan el orden de la EDP) es lineal.
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Podemos estudiar EDOs de primer orden
analizándolas cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de
dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que
dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución: una visión geométrica
de las EDOs
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)
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