17
Uno de ellos describe la máxima eficiencia posible de un método de corrección de errores ( codificación ) frente a los niveles de ruido y de corrupción de los datos. No dice nada sobre como implementar dicha codificación . En definitiva brinda el limite para la TX de bits (basándose en la Ley de los Grandes Números )
Teoría de Shannon
18
C. E. Shannon, Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 and 623-656, July and October, 1948
A method is developed for representing any communication
system geometrically. Messages and the corresponding signals are
points in two “function spaces,” and the modulation process is a
mapping of one space into the other. Using this representation, a
number of results in communication theory are deduced concerning
expansion and compression of bandwidth and the threshold
effect. Formulas are found for the maximum rate of transmission
of binary digits over a system when the signal is perturbed by
various types of noise. Some of the properties of “ideal” systems
which transmit at this maximum rate are discussed. The equivalent
number of binary digits per second for certain information sources
is calculated.
19
C. E. Shannon (January 1949). "Communication in the presence of noise" Proc. Institute of Radio Engineers vol. 37 (1): 10–21.
THE recent development of various methods of modulation such as PCM and PPM which exchange
bandwidth for signal-to-noise ratio has intensified the interest in a general theory of communication. A
basis for such a theory is contained in the important papers of Nyquist and Hartley on this subject. In the
present paper we will extend the theory to include a number of new factors, in particular the effect of noise
in the channel, and the savings possible due to the statistical structure of the original message and due to the
nature of the final destination of the information.
The fundamental problem of communication is that of reproducing at one point either exactly or approximately
a message selected at another point. Frequently the messages have meaning; that is they refer
to or are correlated according to some system with certain physical or conceptual entities. These semantic
aspects of communication are irrelevant to the engineering problem. The significant aspect is that the actual
message is one selected from a set of possible messages. The system must be designed to operate for each
possible selection, not just the one which will actually be chosen since this is unknown at the time of design.
If the number of messages in the set is finite then this number or any monotonic function of this number
can be regarded as a measure of the information produced when one message is chosen from the set, all
choices being equally likely. As was pointed out by Hartley the most natural choice is the logarithmic
function. Although this definition must be generalized considerably when we consider the influence of the
statistics of the message and when we have a continuous range of messages, we will in all cases use an
essentially logarithmic measure.
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Modelo de un Sistema de Comunicaciones
21
“If the rate of Information is less
than the Channel capacity then there
exists a coding technique such that
the information can be transmitted
over it with very small probability of
error despite the presence of noise.”
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Información
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Definición : unidades
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1 Bit
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Fuente de memoria nula
26
Memoria nula (cont)
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Entropía
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Entropía (cont)
La entropía de un mensaje X, que se representa por H(X), es el valor medio ponderado de la cantidad de información de los diversos estados del mensaje.
H(X) = – ? p(x) log2 p(x)
Es una medida de la incertidumbre media acerca de una variable aleatoria y el número de bits de información.
El concepto de incertidumbre en H puede aceptarse. Es evidente que la función entropía representa una medida de la incertidumbre, no obstante se suele considerar la entropía como la información media suministrada por cada símbolo de la fuente
29
Entropía: Fuente Binaria
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a) La entropía es no negativa y se anula si y sólo si un estado de la variable es igual a 1 y el resto 0 .
b) La entropía es máxima, mayor incertidumbre del mensaje, cuando todos los valores posibles de la variable X son equiprobables (empíricamente fácil).
Si hay n estados equiprobables, entonces pi = 1/n.
Luego:
H(X) = – ? pi log2 pi = – n(1/n) log2 (1/n) = – (log2 1 – log2 n)
i
H(X)máx = log2 n
Propiedades de la entropía
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Si existe una segunda variable Y que influya sobre X, esto nos entregará importante información adicional.
H(X/Y) = – ? p(x,y) log2 p(x,y)
x,y
Luego:
H(X/Y) = – ? p(y) ? p(x/y) log2 p(x/y)
y x
La entropía se reduce: hay más orden y menos incertidumbre.
Entropía condicional
Donde p(x,y) = p(y)p(x/y) y la relación p(x/y) es la probabilidad de que se obtenga un estado X conocido el valor de Y.
32
Sea X = {x1, x2, x3, x4} con p(xi) = 0.25
Sea ahora Y = {y1, y2, y3} con p(y1) = 0.5; p(y2) = 0.25; p(y3) = 0.25
Luego H(X) = 4 log2 4 = 2.0 y H(Y) = 2 log2 4 + log2 2 = 1.5
Además hay las siguientes dependencias entre X e Y:
Si Y = y1 ? X = x1 o x2 o x3 o x4 (cualquiera con igual probabilidad)
Si Y = y2 ? X = x2 o x3 (cualquiera con igual probabilidad)
Si Y = y3 ? X = x3 o x4 (cualquiera con igual probabilidad)
y=3 x=4
Como H(X/Y) = – ? p(y) ? p(x/y) log2 p(x/y)
y=1 x=1
H(X/Y) = – p(y1)[p(x1/y1)log2p(x1/y1) + p(x2/y1)log2p(x2/y1) + p(x3/y1)log2p(x3/y1) + p(x4/y1)log2p(x4/y1)]
– p(y2)[p(x1/y2)log2p(x1/y2) + p(x2/y2)log2p(x2/y2) + p(x3/y2)log2p(x3/y2) + p(x4/y2)log2p(x4/y2)]
– p(y3)[p(x1/y3)log2p(x1/y3) + p(x2/y3)log2p(x2/y3) + p(x3/y3)log2p(x3/y3) + p(x4/y3)log2p(x4/y3)]
Calculando, se obtiene H(X/Y) = 1.0 + 0.25 + 0.25 = 1.5. La entropía de X ha bajado en medio bit con el conocimiento de su relación con Y.
Ejemplo
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Extensión de una Fuente de Memoria Nula
34
Fuente de Markov
35
Fuente de Markov (cont)
36
36
Establecer una correspondencia entre los símbolos de una fuente y los símbolos del alfabeto de un código.
Codificación de Fuente
Proceso encaminado a lograr una representación más eficiente de la información ( eliminar redundancia)*.
37
Condiciones del código
37
singular
separable (Únicamente decodificable)
instantáneo
38
38
m1 — 01 m1 — 0 m1 — 0 m1 — 0
m2 — 01 m2 — 01 m2 — 01 m2 — 10
m3 — 10 m3 — 001 m3 — 011 m3 — 110
a
b
c
d
(Gp:) No singular
(Gp:) singulares
(Gp:) no separable
(Gp:) separables
(Gp:) instantáneo*
39
Condición de los prefijos
39
La condición necesaria y suficiente para que un código sea instantáneo es que sus palabras cumplan la condición de los prefijos:
No exista palabra que sea prefijo de otra palabra de longitud mayor
40
40
Códigos
(Gp:) No Singulares
(Gp:) Singulares
(Gp:) No separables
(Gp:) Separables
(Gp:) No
instantáneos
(Gp:) Instantáneos
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