Folleto de ejercicios para el tema geometría del espacio
Resumen
El folleto de ejercicios aborda el tratamiento de las habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos, en la asignatura Fundamentos de la Matemática Escolar II que forma parte del plan de estudio de los estudiantes de la carrera Matemática.
El Folleto de ejercicios para ser usado en la asignatura Fundamentos de la Matemática Escolar II, con estudiantes de la carrera Matemática, tiene carácter sistémico y presupone un conjunto de ejercicios estrechamente relacionados, sujetos a un ordenamiento lógico jerárquico. Dichos ejercicios están graduados y responden a los contenidos estudiados, los mismos fueron seleccionados de materiales revisados por la autora.
El aporte fundamental de la investigación radica en concebir teórica y metodológicamente el empleo de un folleto de ejercicios como medio de enseñanza que contribuya al desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos en correspondencia con las necesidades de aprendizaje que tienen los estudiantes de la carrera Matemática. Además, el estudiante, podrá enriquecer su cultura general, así como que podrá vincular estos conocimientos a la vida práctica y en su futuro desempeño laboral.
Tendrá además aporte práctico pues brindará a los estudiantes un material más, el cual podrán aprovechar para enriquecer los contenidos y el desarrollo de habilidades en el tema además de fortalecer la labor metodológica del futuro profesor en la planificación y dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Palabras Caves: Folleto, habilidades, ejercicios.
SUMMARY
The educational material approaches the treatment of the abilities in the work with the calculation of bodies, in the School Mathematics's subject Foundations II that it is part of the plan of the students' of the Mathematical career study.
The Pamphlet of exercises to be used in the School Mathematics's subject Foundations II, with students of the Mathematical career, has systemic character and it presupposes a group of closely related exercises, subject to a hierarchical logical classification. This exercises are graduate and they respond to the studied contents, the same ones were selected of materials revised by the author.
The fundamental contribution of the investigation resides in conceiving theoretical and methodologically the employment of a pamphlet of exercises like half of teaching that contributes to the development of abilities in the work with the calculation of bodies in correspondence with the learning necessities that have the students of the Mathematical career. Also, the student, will be able to enrich her general culture, as well as that will be able to link these knowledge to the practical life and in her future labor acting.
He/she will also have practical contribution because it will offer the students a material more, which you/they will be able to take advantage to enrich the contents and the development of abilities in the topic besides strengthening the future professor's methodological work in the planning and address of the process of teaching-learning of the Mathematics.
Words Dig: Pamphlet, abilities, exercises.
Introducción
En Cuba, después que triunfó la Revolución, se ha propuesto la construcción de una sociedad socialista más justa para el bien de todos. La política educacional trazada desde un inicio por el Partido Comunista de Cuba, y recogida en la Tesis de su Primer Congreso y en su Plataforma Programática, plantea que "la finalidad de la educación ha de ser la formación de convicciones personales y hábitos de conducta, así como el logro de personalidades integralmente desarrolladas, de sujetos que piensen y actúen creativamente, para construir la nueva sociedad y defender las conquistas de la Revolución".[1]
Por ese motivo el proceso de formación de profesores para el nivel medio superior requiere de una preparación constante, que contribuya al desarrollo del pensamiento lógico y de las capacidades intelectuales de estos futuros profesionales, que propicie el desarrollo de conocimientos, habilidades y valores, permitiendo su desempeño como agente transformador de la realidad social en los diferentes contextos de actuación.
La Disciplina Fundamentos de la Matemática Escolar II, brinda métodos y formas que influyen directamente en el desarrollo del futuro profesor y tiene gran incidencia en los programas escolares, pues la tarea esencial de su enseñanza y aprendizaje consiste en que los estudiantes desarrollen aún más sus habilidades y capacidades en la resolución y formulación de problemas con un nivel de dificultad igual o superior a los que se enfrentaron en los niveles de enseñanza precedentes.
En esta asignatura se profundiza la formación matemática adquirida en cursos anteriores, siendo uno de los objetivos generales la formulación y resolución de problemas que permitan sistematizar y profundizar los conocimientos y habilidades matemáticas adquiridas en la Educación Media Básica y Media Superior y otros elementos que forman parte de una cultura matemática, sobre la base de la aplicación de procesos de pensamiento, procedimientos y estrategias de trabajo, así como el desarrollo de cualidades, convicciones y actitudes, inherentes a la ciencia matemática.
Todo lo anterior debe lograrse en el tema correspondiente a la Geometría del Espacio, ya que el comportamiento de situaciones de la realidad pueden ser organizadas a través de estas, sus propiedades, esbozo de las figuras para su análisis y el cálculo correspondiente a determinados cuerpos.
En la prueba pedagógica inicial que como parte del diagnóstico de contenido que se le aplico a los estudiantes, se pudo constatar las limitaciones que tiene el contenido de cálculo de cuerpos. Las dificultades estuvieron dadas por la identificación de los elementos del cuerpo, reconocer la fórmula, esbozar y calcular el cuerpo geométrico; es decir, lo que evidencia poco dominio del contenido y por ende pobre desarrollo de habilidades.
Sin embargo, para el tratamiento de este contenido el programa brinda una numerosa bibliografía básica y complementaria en la cual aparecen todos los libros de texto de matemática y cuadernos complementarios de la Educación Secundaria Básica y Media Superior, donde la tipología de los ejercicios que allí aparecen es para calcular cuerpos geométricos, pero como las demás habilidades afectadas están incluidas dentro de esta el estudiante no logra resolver los ejercicios.
Por tanto el objetivo de este trabajo es proponer un folleto de ejercicios que contribuya al desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos en los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Educación en la especialidad Matemática de la Facultad de Ciencias Pedagógicas de la UNAH.
El aporte fundamental de la investigación radica en concebir teórica y metodológicamente el empleo de un folleto de ejercicios como medio de enseñanza que contribuya al desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos en correspondencia con las necesidades de aprendizaje que tienen los estudiantes de la carrera Matemática. Además, el estudiante, podrá enriquecer su cultura general, así como que podrá vincular estos conocimientos a la vida práctica y en su futuro desempeño laboral.
Tendrá además aporte práctico pues brindará a los estudiantes un material más, el cual podrán aprovechar para enriquecer los contenidos y el desarrollo de habilidades en el tema además de fortalecer la labor metodológica del futuro profesor en la planificación y dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
La puesta en práctica del folleto de ejercicios brinda a los estudiantes un material más, el cual podrán aprovechar para enriquecer los contenidos y el desarrollo de habilidades en la Matemática, preparando a los futuros profesores en el trabajo con el cálculo de cuerpos con ejercicios relacionados con la vida práctica, lo que incide positivamente en la calidad de la enseñanza de la Matemática.
Desarrollo
Consideraciones acerca de las habilidades en la Geometría del Espacio
La importancia de la enseñanza de la Geometría del Espacio para la formación multilateral de los estudiantes es sin dudas presupuesto irrevocable. En la ciencia Matemática, al igual que en otras ciencias, la práctica es el criterio de la verdad. La validez de las teorías matemáticas se confirma mediante la posibilidad de aplicarlas en procedimientos técnicos, económicos, sociales u otras ramas del saber humano.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de esta rama de la Matemática transcurre y se desarrolla desde la enseñanza primaria hasta la enseñanza preuniversitaria, en forma permanente deben estar presentes: el significado geométrico de los conceptos y teoremas ocupando un lugar principal siempre que sea posible, ya que contribuye de manera esencial a lograr una representación mental clara de los conceptos, los que serán elaborados cuidadosamente, de ahí que la preparación del profesor debe de ser constante.
El vínculo con las restantes áreas matemáticas deben explicitarse en función de los conocimientos y las habilidades que integran el contenido de esta asignatura en la escuela, deben preparar al estudiante, futuro profesor, para la realización de una operación de cálculo, realizar demostraciones, construcciones geométricas, todo lo cual se alcanza a través de actividades que requieren de los niveles más altos de abstracción para la comprensión y ejecución de determinada actividad.
Las habilidades matemáticas específicas que deben desarrollar los estudiantes en el tema de Geometría del Espacio correspondiente a la disciplina Fundamentos de la Matemática Escolar II son:
Esbozar cuerpos geométricos.
Identificar cuerpos geométricos.
Identificar los elementos de los cuerpos.
Reconocer su fórmula.
Calcular problemas relacionados con cuerpos geométricos.
Un esbozo es una representación que puede adoptar la forma de un bosquejo, un boceto, una ilustración o figura. En la enseñanza de la Matemática nos referimos a un esbozo geométrico como aquel que se construye a partir de figuras geométricas construidas sobre la base de sus propiedades, para la representación de situaciones matemáticas y la modelación del medio que nos rodea.
El esbozo de los cuerpos geométricos, en particular prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, a partir de sus propiedades y proporciones. Se mantienen su vinculación a la resolución de problemas y al logro de una adecuada orientación espacial.
Para identificar un cuerpo geométrico se debe reconocer, observar y analizar la figura de estudio a partir de sus características, los elementos que presentan y su definición, se compara y se establecen relaciones de la figura de estudio con otra figura ya conocida.
Las operaciones de cálculo se presentan en todos los niveles de enseñanza de la escuela cubana actual ya que contribuye al desarrollo de la personalidad del hombre como ser social y su preparación para enfrentar la vida y poder resolver numerosos problemas que le plantea la práctica. Por tal razón, la exigencia sobre el desarrollo de las habilidades de cálculo constituye uno de los objetivos centrales en nuestras escuelas.
Para calcular cuerpos geométricos se deben tener en cuenta las habilidades anteriores, teniendo en cuenta su forma y tamaño se debe asociar las operaciones de área y volumen, utilizando la fórmula correspondiente a la figura que se presenta y aplicar las operaciones de cálculo: seleccionar las reglas de cálculo necesarias, efectuar los cálculos y comprobar los resultados.
La importancia que tienen estas habilidades en el estudio del cálculo de cuerpo es que desarrollan el pensamiento lógico, muestra su aplicación en diferentes situaciones de la vida, propicia la sistematización de los ejercicios justificando la importancia de la Matemática y el tema.
El folleto como medio de enseñanza en el proceso de enseñanza-aprendizaje
Los medios de enseñanza constituyen para el profesor una fuente inagotable de representación y modelación del mundo material. Con la utilización correcta de los medios de enseñanza se puede lograr los objetivos de la educación con mayor calidad; las situaciones docentes adquieren más interés y el proceso de enseñanza-aprendizaje se hace más efectivo.
Existe una gran variedad de criterios y puntos de vista de los autores en cuanto a la clasificación de los medios de enseñanza. Los materiales docentes, por ejemplo, son materiales impresos que tienen la función básica de trasmitir a los estudiantes la información acerca de los diferentes contenidos de estudio mediante el lenguaje escrito impreso por medio de máquinas. Los materiales docentes y el libro de texto son los materiales impresos más utilizados por el profesor y los estudiantes dentro y fuera del aula y en todas las fases del proceso docente educativo.
Los folletos también son medios de enseñanza y que complementan al libro de texto. Según el diccionario de la Lengua Española, folleto es "Obra impresa, no periódica, que no consta de bastantes hojas para formar libro. Con arreglo a la Ley de 12 de Mayo 1960, el número de páginas ha de ser entre cinco y cuarenta y ocho, excluidas las cubiertas".[2]
Para la fundamentación teórica del folleto de ejercicios se tuvo en cuenta:
Desde la Filosofía: se sustenta en el enfoque dialéctico materialista y el humanismo socialista porque recoge lo positivo de lo viejo (textos anteriores) y ofrece nuevas soluciones a los problemas, concretados en ejercicios clasificados por niveles de desempeño, así como el uso de distractores en sus enunciados. Coloca al sujeto (estudiante) en el centro del problema para situarlo a la altura de su tiempo al propiciar su independencia cognoscitiva en tanto los ejercicios del folleto pueden ser utilizados para el trabajo independiente.
Desde la Sociología: se sustenta tanto desde lo social, en las relaciones del estudiante con el grupo, con el profesor y el medio en el proceso de enseñanza-aprendizaje, así como en lo personológico, ya que cada estudiante manifiesta de forma individual cómo avanza en el desarrollo de habilidades.
Desde la Psicología: tiene en cuenta la zona de desarrollo próximo en cuanto al vínculo de lo afectivo y lo cognitivo (al vincular al estudiante con su entorno lo motiva y propicia un crecimiento de sus conocimientos). Hay relación entre lo interno y lo externo (los debates y la interacción con el folleto propician el desarrollo de habilidades, la independencia cognoscitiva y el crecimiento personal de los estudiantes).
Desde la Didáctica el uso del medio de enseñanza le permite al profesor ahorrar tiempo en la orientación de las tareas dentro y fuera de la clase. Además, permite la aplicación del enfoque y procedimiento metodológico general de la Matemática.
Objetivo general del Folleto: Contribuir al desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos en los estudiantes de la carrera Matemática-Física y de esta manera fortalecer el contenido matemático que le sirve de sustento.
Está conformado por la portada donde aparece el título del folleto. El prólogo donde explica lo que contiene el material y cómo puede el estudiante orientarse para su utilización. El índice brinda al estudiante la posibilidad de buscar con rapidez lo que él ha seleccionado para estudiar.
El cuerpo del folleto que consta de una introducción, donde se abordan los conceptos de Geometría, Geometría del Espacio y Cuerpo Geométrico que se utilizan en el capítulo. En el epígrafe 1 aparece un resumen de los contenidos de Prisma y Pirámide, además de ejercicios propuestos. En el epígrafe 2 aparece un resumen de los contenidos de Cilindro, Cono, Esfera y los ejercicios propuestos. Al final aparecen las respuestas a los ejercicios como vía para comprobar la veracidad de las soluciones obtenidas en su resolución. La bibliografía recoge todos los textos donde el estudiante puede encontrar estos contenidos.
Los ejercicios son variados y nacen de la realidad objetiva y llevan al estudiante a aprender con elementos propios de la vida cotidiana. Además con la utilización de los ejercicios se logra abarcar diversas esferas del desarrollo individual y colectivo del individuo, teniendo como meta el desarrollo de la cultura general integral del estudiante en esta enseñanza.
Características de los ejercicios del folleto:
Integrador e interdisciplinario: Radica en que las acciones que contienen los ejercicios propuestos implican, de una manera u otra, la necesaria unidad de los contenidos que se tratan con las formas y los métodos que deben emplear los estudiantes para darle solución, de ahí su carácter integrador.
Su gradualidad: A partir de los resultados obtenidos con el diagnóstico inicial, los ejercicios fueron concebidos de forma tal que no provoquen en los estudiantes un cambio brusco e inmediato. Se analizaron los ejercicios aumentando el nivel de complejidad de los ejercicios.
Contextualizado: Al elaborar los ejercicios se tuvo en cuenta el contexto en que el estudiante: el aula, la comunidad y la sociedad en general. Se parte además, de analizar los escenarios socioeconómicos actuales.
Desarrollador: Los ejercicios que se proponen conducen a los estudiantes, guiados por su profesor, y teniendo en cuenta sus potencialidades, sus motivaciones intrínsecas y extrínsecas, a alcanzar un mayor desarrollo de habilidades en la Geometría del Espacio.
Toda vez que les permite profundizar en sus saberes, crecer sistemáticamente en relación con hábitos, habilidades, modos de actuación, que irán cambiando positivamente y apoyarán entonces, la transformación de la personalidad del estudiante. Además, dar solución a los ejercicios, propiciará que el estudiante adquiera la independencia cognoscitiva necesaria mediante la interacción con los demás integrantes de su grupo.
Axiológica: Al logro de la formación integral del hombre nuevo están encaminados los ejercicios propuestos. Con la realización de la mayor parte de los ejercicios se fortalecen los principios y las convicciones, que como estudiantes de estos tiempos deben poseer: ser dignos, aceptar la crítica, ser solidarios y ayudarse mutuamente.
Los ejercicios de la propuesta se insertaron en conferencias, clases prácticas, en estudios independientes y seminarios. Estos ejercicios están encaminados a una meta predeterminada: Desarrollar habilidades en el cálculo de cuerpos. Comenzar por los más simple hasta llegar a lo más complejo, estos se caracterizan por su variedad, lo que obliga al estudiante a utilizar diferentes modos de actuación, pasando de lo simple a lo complejo, de lo particular a lo general, para promover el esfuerzo y estimular el desarrollo, como planteara el psicólogo L. Vigotsky.
Ejemplos de ejercicios que conforman el folleto para el desarrollo de habilidades son los siguientes:
1. Dada la siguiente figura:
a) ¿Qué cuerpo geométrico es?
b) Llena los espacios en blanco con los elementos que a continuación te damos.
radio altura generatriz bases superficie lateral
2. Dadas las siguientes proposiciones, di cuál es verdadera:
_ El área total de un prisma recto se calcula multiplicando el perímetro de una de sus bases por la altura del prisma.
_ El área total del prisma se calcula sumando las áreas de las caras laterales del prisma.
_ El área total del prisma es la suma de las áreas de sus bases.
_ El área total de un prisma se calcula por la formula At = 2Ab + Al.
_ El área total de un prisma se calcula sumando las áreas de las bases con el área lateral del prisma.
3. La altura de una pirámide recta es igual a 12 dm y su base es un rombo cuyas diagonales miden 18 dm y 32 dm.
a) Esboza dicha figura.
b) Calcula su volumen.
4. ¿Cuánto costará el cobre necesario para construir 2 000 pernos como el de la figura, si la libra de este material vale $2,00? La cabeza es una semiesfera y su cuerpo un cilindro. Las dimensiones está dadas en pulgadas y la pulgada cúbica de cobre pesa 0,32 Lbs.
Se puede constatar la utilización y efectividad de la aplicación del folleto en el control de las tareas orientadas en el aula de forma oral y en la pizarra. La realización de determinadas tareas del folleto puede ser controlada y analizada por el monitor, pero es evidente que este control por parte del profesor es determinante, pues tiene que saber valorar cuál es el desarrollo de habilidades que ha alcanzado cada uno de sus estudiantes y seguir estimulándolos para que sean capaces de llegar a niveles superiores del conocimiento por esta vía.
Este folleto ofrece múltiples ventajas para los estudiantes; ellas son:
Se ahorra tiempo en la orientación de las tareas dentro y fuera de la clase.
Es un material no sólo para resolver ejercicios, sino para esclarecer dudas en el contenido.
El estudiante se siente reflejado y lo ayuda en su desempeño.
Al aplicar el Folleto elaborado por las autoras se constataron resultados superiores. En el desarrollo de las clases se pudo evidenciar de manera muy clara como los estudiantes resuelven los ejercicios que se les orientan en la clase y realizan las tareas de las mismas. La participación en clases ha mejorado considerablemente, los estudiantes se sienten motivados.
Al concluir la investigación, se logró alcanzar resultados superiores a los obtenidos inicialmente, estos resultados constatados con la prueba pedagógica final, dan la medida de un acercamiento al aplicar la propuesta.
Los resultados permiten afirmar que el folleto de ejercicios propuesto cumple con el objetivo para el cual fue diseñado, ya que con su aplicación se logró el desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos.
De modo general, se sostiene el criterio, de que la propuesta de la investigación realizada contribuye al desarrollo de habilidades y su perfeccionamiento en el trabajo con el cálculo de cuerpos, teniendo en cuenta que el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje, depende en gran medida de los medios de enseñanza que se emplean en las clases.
Conclusiones
1. Los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Educación en la especialidad Matemática-Física presentan grandes dificultades en el trabajo con el cálculo de cuerpos donde el estudiante todavía no posee habilidades para resolver ejercicios de dicho tema. Las dificultades estuvieron dadas en: la identificación de los cuerpos geométricos, de los elementos del mismo, reconocer la fórmula, esbozar y calcular el cuerpo geométrico, lo que evidencia poco dominio del contenido y por ende pobre desarrollo de habilidades.
3.- Después de profundizar en el estudio de la categoría medio de enseñanza como componente esencial del proceso de enseñanza-aprendizaje, se identificaron como características que debe poseer un folleto de ejercicios para que contribuya al desarrollo de habilidades ser sistemático, contextualizado, participativo, abierto y desarrollador, debe plantear resúmenes de contenidos, contener ejercicios propuestos con sus correspondientes respuestas.
4.- Los resultados obtenidos después de la aplicación del folleto, permiten afirmar que este es efectivo para el objetivo que fue concebido, resolvió satisfactoriamente las carencias detectadas y corroboró que contribuye al desarrollo de habilidades en el trabajo con el cálculo de cuerpos en los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Educación en la especialidad Matemática.
Bibliografía
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Notas:
[1] Plataforma Programática PCC, 1976
[2] REAL ACADEMÍA ESPAÑOLA. Diccionario de la Lengua española. __ Madrid: Ed. Espasa Calpe, S. A., 1970. __ p.627
Autor:
M.Sc. Yanelis Díaz Núñez.
Institución: Facultad de Ciencias Pedagógicas, UNAH, Cuba.
Coautores: M.Sc. Arlenis Martínez Ortega.
Institución: Facultad de Ciencias Pedagógicas, UNAH, Cuba.
M.Sc. Anayen Reyes González.
Institución: Facultad de Ciencias Pedagógicas, UNAH, Cuba.