El desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética (página 2)
Los problemas que se presentan en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la Matemática, son discutidos en la actualidad, la ETP no es una excepción. Este reconocimiento redimensiona el papel del profesor que labora en este nivel, lo compromete con la función social de la institución escolar y lo induce a aprovechar el potencial de su disciplina como herramienta intelectual primordial para dar respuesta a un sinnúmero de intereses y problemas.
Dentro de los objetivos y contenidos de la asignatura de Matemática para esta educación se encuentran, entre otros:
"Demostrar una concepción científica del mundo y una cultura político-ideológica, mediante el modo en que se argumentan los contenidos matemáticos, las consecuencias con que se sostienen los principios de la batalla de ideas y las ideas de Martí, el Che y Fidel, la forma en que se defienden las conquistas del socialismo cubano y la profundidad con que se rechaza el capitalismo y al poder hegemónico del imperialismo yanqui.
Formular y resolver problemas relacionados con el desarrollo económico, político y social local, nacional, regional y mundial; y con fenómenos y procesos científicos, ambientales, que requieran transferir conocimientos y habilidades aritméticas, algebraicas, geométricas y trigonométricas a diferentes contextos y promuevan el desarrollo de la imaginación, de modos de actividad mental, de sentimientos y actitudes que le permitan ser útiles a la sociedad y asumir conductas revolucionarias y responsables ante la vida." (Ministerio de Educación, Cuba, 2006 d :3)
Esto implica que los conocimientos, habilidades, modos de la actividad mental y actitudes que se desean formar en los estudiantes, se adquieran mediante la resolución de problemas, que propician que los mismos se habitúen a un ambiente interactivo, y a reflexionar, plantear hipótesis y conjeturas de modo que la resolución
de problemas no sea solo el medio para fijar, sino también para adquirir nuevos conocimientos.
Para el logro de estos fines, estos problemas deben ser relevantes, complejos, que contribuyan a la educación ideopolítica, jurídica, laboral y económica, para la salud sexual, estética y ambiental de los estudiantes, preferentemente vinculadas a su entorno natural y social, en una dialéctica entre las formas de trabajo y pensamiento disciplinar e interdisciplinar, problémico y no problémico.
Una de las formas de ordenamiento del contenido matemático para su enseñanza, es atender a los aspectos principales de la transmisión de conocimientos, el desarrollo de habilidades y capacidades generales y específicas y de la educación de los estudiantes, en este caso se refiere a las llamadas líneas directrices que son "… lineamientos que penetran todo el curso escolar, con respecto a los objetivos particulares a lograr, los contenidos que deben ser objeto de apropiación y a los métodos a elegir." (Ballester Pedroso, S. et al., ob. cit.:57)
Específicamente en el primer año de la ETP, quedan determinados como objetivo específico que los estudiantes deben demostrar que son capaces de: "resolver problemas aritméticos de la vida práctica de forma sencilla, en los cuales se utilizan datos relacionados con la obra de la Revolución y en los que sea necesario el trabajo con cantidades de magnitudes y relaciones geométricas." (Ministerio de Educación, Cuba, ob. cit.:5)
Especial significación tiene la habilidad resolución de problemas por vía aritmética dentro del currículo de la Matemática. El trabajo es de especial significación para el desarrollo de capacidades intelectuales y prácticas en los estudiantes.
El perfeccionamiento realizado en la década de los años 80 para los programas de Matemática imprimió un sello más autóctono a las transformaciones, sobre el análisis pormenorizado de la práctica anterior y una mayor adecuación al contexto cubano. Con respecto a las líneas directrices fue uno de los elementos tomados en consideración por los colectivos de profesores de la Metodología de la Enseñanza de la Matemática de los Institutos Superiores Pedagógicos en las nuevas condiciones de la escuela cubana y sobre la base del actual programa de Matemática, entre ellas se destaca la del planteo, formulación y resolución de problemas la cual se aplica en todas las enseñanzas de la siguiente forma:
En el séptimo grado constituye una etapa de tránsito desde la Educación Primaria y de adaptación al nivel de Secundaria Básica. Su programa se concentra en el proceso de consolidación y sistematización de los conocimientos y habilidades matemáticas previas. El nivel de complejidad superior se lo imprimen los enfoques y métodos de la asignatura en su conjunto. En el octavo grado es donde los estudiantes comienzan el estudio de nuevos contenidos matemáticos y en el noveno grado, donde se consolidan y sistematizan los nuevos contenidos matemáticos adquiridos en el nivel, en el nivel medio superior los estudiantes deben desarrollar habilidades en este contenido.
En este sentido se comprende, cada vez con más claridad, que no se trata de que en la escuela se depositen contenidos en los estudiantes como si se tratara de recipientes, sino de desarrollar sus capacidades para enfrentarlos al mundo y, en particular, enseñarlos a aprender. En el caso de la Matemática, el desarrollo de las técnicas de cómputo coloca en primer plano la capacidad de usarla y no la asimilación de conocimientos, y esa utilización consiste, esencialmente, en la resolución de problemas.
Por esta razón, la capacidad de resolución de problemas se ha convertido en el centro de enseñanza de la Matemática en la época actual, por lo que es necesario contar con una concepción de su enseñanza que ponga en primer lugar la capacidad de resolución de problemas y el desarrollo del pensamiento lógico. A partir de estas ideas centrales es que debe ser determinado el contenido de enseñanza.
La formación y desarrollo de habilidades en el proceso enseñanza- aprendizaje.
La actividad de la personalidad es un proceso complejo, la cual posee una estructura general. Según A. N. Leontiev (1979:21), "La actividad humana no existe de otro modo que en forma de acción o cadena de acciones" Las actividades que desarrolla el individuo están encaminadas a satisfacer determinadas necesidades que se concretan en objetivos, las cuales están ligadas a motivos, o sea, el objeto de la actividad.
El término actividad ha sido definido por diferentes autores: en lo filosófico (R. Pupo, 1992), en lo pedagógico (C. Álvarez, 1999), en lo psicológico (A. V. Petrovski, 1978;
A. N. Leontiev, 1979 y S. L. Rubinstein). Desde un contexto psicológico más actualizado V. González (2001: 91) la define como: … aquellos procesos mediante los cuales el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona con la realidad, adoptando determinada actitud hacia la misma.
La definición anterior expresa en lo fundamental la relación sujeto-objeto, teniendo en cuenta sus necesidades y motivos, y donde a través de la actividad el hombre transforma y conoce al mundo. Es necesario, por lo tanto, que estos elementos constituyan referentes básicos al diseñar y dirigir un proceso de enseñanza aprendizaje que le permita al estudiante adquirir una imagen y una concepción científica así como sustentar con fundamentos sólidos la naturaleza de la actividad humana.
Las habilidades ocupan un lugar importante en la realización exitosa de las diferentes tareas del estudiante. El profesor debe tener siempre presente que determinar un objetivo en término de desarrollo de habilidades, implica la necesidad de especificar el tipo de actividad para la cual ellas son requeridas.
El término habilidad, en sentido general, independientemente de las distintas acepciones que cobra en la literatura psico-pedagógica moderna, es generalmente utilizado como sinónimo de "saber hacer". (Smirnov, A., Leontiev, A.N. 1961: 412)
En este sentido, se opina que un estudiante posee determinada habilidad cuando pueda …" aprovechar los datos, conocimientos a conceptos que se tienen, cooperar con ellos para la elucidación de las propiedades sustanciales de las cosas y la resolución exitosa de las determinadas tareas teóricas o prácticas …"
Al hablar de un estudiante con habilidades para resolver determinado problema matemático, se hace referencia a que él pueda, ante todo, establecer el tipo de problema que debe solucionar, determinar las relaciones cuantitativas implicadas, las condiciones del problema, los datos presentados y lo que es necesario hallar, determinar la vía de solución y proceder a la solución del problema.
La existencia de la habilidad en el estudiante solo puede determinarse en el propio proceso de realización de la actividad. Por ejemplo es imposible conocer si un estudiante posee habilidades para solucionar problemas aritméticos si no se le plantean los problemas que él ha de resolver.
La actividad no es solamente la vía con la que se puede determinar la existencia de una habilidad, si no también la condición de su perfeccionamiento; de ahí que el profesor, al dirigir el proceso de formación y desarrollo de habilidades, debe estructurar de manera adecuada la actividad de sus estudiantes teniendo en cuenta tanto las condiciones psicopedagógicas generales como las especificas de su asignaturas.
Las habilidades se relacionan y se identifican de diferentes maneras según los criterios seguidos por varios autores que han incursionado la temática, y que han sido tomados como referentes en investigaciones desarrolladas en Cuba y en el mundo. Luego un rastreo por la literatura e investigaciones realizadas en este contexto posibilita identificar regularidades al respecto, así:
Danilov y Skatkin (1981) relacionan la habilidad en términos de capacidad.
A. Petrovski (1978:188) reconoce la habilidad como actividad.
Para M. López (1990) y V. González (2001) constituyen operaciones.
En el plano didáctico C. Álvarez (1996) y H. Fuentes (1998), caracterizan la habilidad como las acciones que el sujeto (estudiante) realiza.
A pesar de estos criterios, es posible generalizar que la habilidad está relacionada con la actividad que desarrolla el sujeto, la cual transcurre a través de diferentes procesos. A manera de resumen de este aspecto, J. Zilberstein (1999:7), plantea que,… la habilidad se desarrolla en la actividad e implica el dominio de las formas de la actividad cognoscitiva, práctica y valorativa, es decir el conocimiento en acción….
Siendo esta la tendencia de la mayoría de los autores que se adscriben al denominado "Enfoque Histórico-Cultural" de Vigotsky.
Luego en todo este proceso de socialización del ser humano y su integración al medio social en que se desarrolla, las habilidades constituyen formas en que el sujeto puede ejecutar o asimilar una actividad creadora que en el caso particular del contexto investigado se basa en una concepción personológica de la enseñanza, donde el énfasis fundamental debe realizarse en que el estudiante asimile los modos de actuación necesarios para adquirir de manera independiente el conocimiento que después requerirá en su especialización profesional y en su tránsito por la vida.
En tal sentido los doctores E. Machado y Nancy Montes de Oca (2004:8) plantean que:
…las habilidades se forman, desarrollan y manifiestan en la actividad y la comunicación como resultado de la interacción continua entre las condiciones internas del individuo y las condiciones de vida externas, siendo la interacción social con los otros (maestros, estudiantes, padres, etc.) de vital importancia para su desarrollo…
Tal premisa constituye una condición indispensable en un plano psicopedagógico para la formación y desarrollo de las habilidades.
Luego, la autora a partir de los estudios realizados por los doctores E. Machado y N. Montes de Oca, y teniendo en consideración la necesidad de asumir un concepto que sin obviar las premisas psicológicas inherentes al proceso de formación y desarrollo de las habilidades, caracterizará en un plano didáctico y metodológico un
modo de actuación en todo este proceso, en la presente tesis se entienda por habilidad: "nivel de dominio de la acción en función del grado de sistematización alcanzado por el sistema de operaciones necesarias, imprescindibles, esenciales para su ejecución". (Ibídem: 12).
Bajo el concepto anterior se infiere que: la habilidad debe estar condicionada por un objetivo, por lo que es consciente; deben tenerse en cuenta los hábitos y procedimientos que utiliza el sujeto en la actividad, y por tanto, se considera la habilidad como un componente de la actividad que se desarrolle, esta definición precisa además que la habilidad es un dominio de operaciones, es decir, la habilidad es "saber hacer", es operar con el conocimiento, luego: "… las habilidades resultan de la sistematización de las acciones subordinadas a su fin consciente" (Ibídem: 14).
Esta sistematización debe constituir no solo una repetición de las acciones y su reforzamiento, sino también el perfeccionamiento de las mismas. Por otra parte cuando en el concepto anterior de habilidad se establece el término "sistema de operaciones necesarias imprescindibles esenciales para la ejecución de la acción" los autores de referencia incluyen las llamadas invariantes funcionales de la ejecución entendidas como: "… el sistema de instrumentación ejecutora por medio de las cuales tiene que transcurrir la ejecución de la actuación" (Bermúdez Serguera, R., Rodríguez Rebustillo M.,. 1996:7).
En tal sentido la invariante funcional constituye un término teórico metodológico que permite el estudio, con mayor objetividad de una acción, y por extensión de una habilidad. Las invariantes funcionales de una acción no dejan de ser operaciones y por lo tanto, dependen, en el plano inductor de las tareas a las que responden. (Castillo C, Celia y Dominich D, 1997:2)
Para el desarrollo de las habilidades en los estudiantes de la ETP se debe tener en cuenta la caracterización de estos.
Caracterización del estudiante de la ETP.
El ingreso al nivel medio superior ocurre en un momento crucial de la vida del estudiante, es el período de tránsito de la adolescencia hacia la juventud, en pleno desarrollo de la personalidad tomando como referencia que la misma es considerada como: …"el ser humano con sus cualidades socialmente condicionadas e individualmente expresadas, intelectuales, emocionales y volitivas". (Rosental, M, 1984: 228).
Durante varios años diferentes enfoques psicológicos han considerado que las habilidades constituyen elementos estructurales de la personalidad, vinculados a su función reguladora-ejecutora, que se forman, desarrollan y manifiestan en la actividad, asumiendo así, que la teoría de la actividad es el fundamento ineludible para un adecuado enfoque del desarrollo de la misma.
Se debe tener presente que los límites entre los períodos evolutivos no son absolutos y están sujetos a variaciones de carácter individual, de manera que el profesor puede encontrar en un mismo grupo escolar, estudiantes que ya manifiestan rasgos propios de la juventud, mientras que otros mantienen todavía un comportamiento típico del adolescente. Esta diversidad de rasgos se observa con más frecuencia en los grupos de primer año de la: ETP, pues en los estudiantes de segundo año comienzan a revelarse mayoritariamente las características de la edad juvenil. Es por esta razón, que se centra la atención en algunas características de la etapa juvenil, cuyo conocimiento resulta de gran importancia para los profesores de este nivel. Muchos consideran el inicio de la juventud como el segundo nacimiento del hombre; entre otras cosas, ello se debe a que en esta época se alcanza la madurez relativa de ciertas formaciones y algunas características psicológicas de la personalidad.
Con la llegada de la juventud se continúa y amplía el desarrollo que en la esfera intelectual ha tenido lugar en etapas anteriores. Así, desde el punto de vista de su actividad intelectual, los estudiantes de la ETP están potencialmente capacitados para realizar tareas que requieren una alta dosis de trabajo mental, de razonamiento, iniciativa, independencia cognoscitiva y creatividad. Estas posibilidades se manifiestan tanto respecto a la actividad de aprendizaje en el aula, como en las diversas situaciones que surgen en la vida cotidiana del joven.
Resulta necesario precisar que el desarrollo de las posibilidades intelectuales de los jóvenes no ocurre de forma espontánea y automática, sino siempre bajo el efecto de la educación y la enseñanza recibida, tanto en la escuela como fuera de ella.
Los estudiantes en esta etapa de la vida necesitan de una dirección estable en lo cognitivo y en la afectivo- volitivo al decir de Vigotsky (1998: 104)…"hay que recordar que esta interrelación ocurre de modo particular en cada individuo, en cada etapa del desarrollo, constituyendo la Situación Social del Desarrollo, que es la concretización del principio del determinismo en cada edad".
La concepción materialista dialéctica sobre la formación y el desarrollo de la personalidad brinda al educador un enfoque científico para la planificación de su labor pedagógica, especialmente en su labor educativa, en la cual el profesor debe tener en cuenta tanto las condiciones internas (biológicas y psíquicas) como externas que influyen en el desarrollo de la personalidad de cada estudiante.
Requisitos para la formación y desarrollo de habilidades.
Para que los estudiantes alcancen un nivel consciente de dominio de una acción determinada, es preciso que: "…el docente planifique y organice el proceso teniendo en cuenta que su ejecución debe tener como uno de los resultados el desarrollo de la habilidad en los educandos. (Bermúdez Serguera R., Rebustillo M. ob.cit., 186.)
Varios autores en sus investigaciones se refieren a las fases en que transcurre la formación de una habilidad, para garantizar la eficiencia de este proceso la mayoría de ellos sugieren las siguientes:
Planificación: determinación de las habilidades terminales y sus invariantes funcionales.
Organización: establecimiento de cuándo y con qué conocimientos se ejecutarán las acciones y sus invariantes funcionales.
Ejecución: garantizar determinadas condiciones durante el proceso de ejecución del estudiante.
Control: establecer una escala analítico-sintética para la evaluación de las habilidades.
Cada uno de estas fases constituye un detallado proceso en el que el profesor deberá tener en cuenta como aspectos esenciales:
Características de los estudiantes.
Condiciones para la formación de habilidades.
Características propias del contenido de la enseñanza y la relación existente entre el resto de los componentes del proceso, como los objetivos, que de hecho encierran las acciones que devienen posteriormente en habilidades, así como los métodos de enseñanza-aprendizaje, que garantizan las vías para las acciones y su sistematización.
A manera de simplificación didáctica se asume el criterio seguido por la Dra N. Montes de Oca, la cual agrupa las fases (entendidas como proceso flexible, variable, no unidireccional, rectilíneo, ni secuencial) para la formación y desarrollo de las habilidades desde el punto de vista metodológico en dos momentos; el primero, lo denomina preparación de la ejecución, que incluye la planificación y organización; y el segundo, la ejecución; mientras que el control y la evaluación, están presente en ambos momentos como proceso y producto. A continuación se caracterizan cada una de ellas.
Primer momento: preparación de la ejecución
La importancia de esta fase radica en la precisión gradual de los objetivos a lograr desde la asignatura, la unidad y los propios de las clases, teniendo como premisa que la clase en la enseñanza media superior cubana actual tiene un carácter formativo integral, donde se hace necesario establecer formas de trabajo, que garanticen el desarrollo de capacidades intelectuales y manuales, que contribuya a la formación de orientaciones valorativas éticas y morales, sobre la base de las necesidades individuales y sociales y del desarrollo alcanzado por los estudiantes.
En esta fase se garantiza la correcta realización de la fase ejecutora, en ella se precisa el sistema operacional de las acciones, teniendo en cuenta los siguientes elementos:
Qué tarea tiene que realizar.
Los conocimientos previos que sobre la temática posee.
El algoritmo o sucesión de indicaciones que debe realizar y el orden en que las ejecutará.
Los resultados que deberá alcanzar.
Resulta importante el aseguramiento del nivel de partida; además el carácter diferenciado en la atención a cada estudiante -se parte de un diagnóstico inicial-, de acuerdo a las posibilidades reales, pues el ritmo de ejecución de una tarea y las posibilidades no es igual en todos los casos. Es preciso que se establezca la contradicción en el estudiante entre lo que tiene que hacer, a partir de lo que ya conoce y lo que puede hacer, aspectos considerados en la teoría de L. S Vigotsky (1960) y asumidos por la autora de este trabajo.
En correspondencia con lo anterior la formación de una determinada habilidad no se logra en pocas actividades, siendo por el contrario, un proceso largo y complejo, que se realiza progresivamente. Para ello se requiere determinar los objetivos a largo, mediano y corto plazo, así como delimitar los indicadores que permitan evaluar su desarrollo en cada momento.
A manera de resumen de esta etapa, la que sirve de marco teórico previo a la proyección de la propuesta didáctica para la formación y desarrollo de la habilidad objeto de estudio en la Matemática de la enseñanza media superior, cabe significar el papel de la tarea docente como, la vía que se propone para en el plano inductor ejecutar y sistematizar las acciones y operaciones de dicha habilidad.
Segundo momento: la ejecución del proceso
En la ejecución, se realiza la acción a través de su sistema operacional proyectado en la etapa anterior. En la misma se establecen las interrelaciones entre el maestro y el estudiante, es donde se alcanza el nivel de sistematización de las acciones y automatización de las operaciones. Pero para garantizar lo anterior es necesario tener en cuenta la dirección que el maestro realice del proceso pedagógico en función de que los estudiantes alcancen determinados niveles de ejecución planificados para el dominio de la acción. Es preciso diferenciar qué le corresponde hacer al profesor en su papel director en la ejecución del proceso y qué al estudiante como principal protagonista del mismo.
De acuerdo con lo anterior mediante el control y la evaluación se comprueban el logro de los objetivos por parte de los estudiantes en las distintas situaciones. Significa diagnosticar sistemáticamente por el maestro, las peculiaridades del funcionamiento operacional en niveles de dominio elemental.
Lo anterior se pone de manifiesto en todo el proceso, permitiendo la corrección de las operaciones. Por tanto al final se evaluarán, no solamente los resultados alcanzados, sino la relación entre todos los componentes del proceso, de forma tal que en el orden cualitativo se pueda medir un progreso entre inicio-desarrollo-fin.
Un elemento significativo es la participación activa del estudiante
en las valoraciones sobre los resultados de la tarea realizada, y del dominio
de las acciones que conforman la habilidad, lo que solo se alcanzará
si existe por parte del mismo un adecuado autocontrol o auto revisión
de los resultados de las operaciones indicadas para la ejecución consciente
de la acción.
Por otra parte la concepción curricular de la ETP cubana actual, presupone: variadas formas de organización del proceso educativo, el empleo de nuevas tecnologías y la labor educativa más diferenciada, que entre otros aspectos, justifican la necesidad de nuevas formas para el control y evaluación de los procesos y resultados del aprendizaje y educación de los estudiantes.
Teniendo en cuenta además, que el control y la evaluación del aprendizaje, como proceso, en este contexto se caracteriza por tres rasgos fundamentales: integrador, interdisciplinario, y desarrollador.
Es necesario destacar que entre las fases antes mencionadas existe una interrelación dialéctica; en otras palabras no constituyen fases aisladas, forman parte de un todo sistémico en la ejecución del proceso de formación y desarrollo de las habilidades.
Para poder garantizar la formación y desarrollo de las habilidades, como es reconocido en la bibliografía actualizada sobre la temática, es necesario someter la ejecución de la acción a determinados requisitos que aseguren la adecuada sistematización de las acciones y automatización de las operaciones. Varios autores, entre los ya citados (H. Brito, C. Castillo, R. Bermúdez y M. Rodríguez), proponen requisitos tales como:
Frecuencia de la ejecución de la actividad, dada por el número de veces que se realizan la acción y la operación.
Periodicidad, de la ejecución de la actividad, dada por la distribución temporal de las realizaciones de la acción y la operación.
Complejidad de la ejecución expresada por el grado de dificultad de los conocimientos y del contexto de actuación con los cuales funciona la acción y la operación.
Flexibilidad de la ejecución dada por el grado de variabilidad de los conocimientos y del contexto de actuación con los cuales funciona la acción y la operación. (Ibídem: 186).
La integración armoniosa de los requisitos anteriores sienta las bases metodológicas para la consecución del tratamiento sistemático de las habilidades, lo que requiere de un equilibrio consecuente entre ellas.
La formación de habilidades es una condición necesaria para elevar la calidad de los conocimientos de los estudiantes. Esta es la única vía mediante la cual los estudiantes pasarán de ser objetos de la enseñanza, a ser sujetos de la misma. (González V. M, et al., 2001: 120)
Es por ello, que la habilidad se desarrolla a partir de la sistematización de las operaciones, su dominio permite una regulación consciente de la actividad. Los trabajos realizados por O. Ginoris (2001:7), refuerzan el soporte didáctico hasta aquí expuesto; el cual se refiere a cómo estructurar el sistema de conocimientos en los estudiantes a través de las disciplinas y asignaturas. El autor citado refiere:… las habilidades se forman en estrecha relación con los conocimientos y tributan a ellos. En la práctica didáctica cubana se reconoce una indisoluble unidad entre la construcción de los diferentes tipos de conocimientos y las habilidades….. (Este autor le concede gran peso a los conocimientos procesales, sobre todo porque la adquisición de estos conocimientos permite en el sujeto crear un modo de actuación; ellos contienen los sistemas de acciones que conforman las habilidades.
El desarrollo de la habilidad resolver problemas aritméticos en la ETP. Sobre el concepto problema:
En la literatura existen diversas acepciones del concepto problema, atendiendo cada una a diferentes puntos de vista. En esta tesis se asume como concepto de problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. (Campistrous Pérez, L. y Rizo Cabrera, C., 2002: 18).
Situación inicial Exigencia
La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida, tiene que ser desconocida, cuando es conocida deja de ser un problema, las vías más utilizadas en la escuela media son la aritmética y la algebraica.
Este concepto de problema es muy importante para la didáctica, pues en la selección de los problemas a proponer a un grupo de estudiantes hay que tener en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que las personas requieren para su solución. Lo antes planteado significa que lo que es un problema para una persona no lo es necesariamente para otra.
Otro aspecto importante a tener en cuenta es que la persona quiera realmente hacer las transformaciones que le permiten resolver el problema, lo que significa que si no está motivada, la situación planteada deja de ser un problema para ésta al no sentir el deseo de resolverlo. Es conveniente entonces precisar que cuando se habla de resolver un problema esto consiste en la actividad de llegar al resultado, es decir, es la búsqueda de las vías para provocar la transformación deseada y no solo la solución del problema en sí mismo. Esa actividad de búsqueda es la que realmente provoca y estimula el desarrollo de los estudiantes. En resumen, en la solución de problemas hay al menos dos condiciones que son necesarias:
La vía tiene que ser desconocida.
El individuo quiere hacer transformación, es decir, quiere resolver el problema.
¿Qué es la resolución de problemas?
Según Skatkin (1985:102) la resolución de problema es un proceso cognoscitivo complejo que involucra conocimientos almacenados en la memoria a corto y a largo plazo. Este consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo: si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad seria de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cuán seguros estamos que nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad seria de tipo afectiva; mientras que resolver problemas con papel y lápiz siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución podrá servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres factores están involucrados en la actividad de resolución de problemas, la investigación realizada en el área ha centrado su atención, básicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolución.
Según Davinson (1964:218) el proceso de resolución de problemas puede describirse a partir de los elementos considerados a continuación:
Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconocen los pasos precisos para alcanzar lo que se desea.
Un conjunto de elementos que representan el conocimiento relacionado con el problema.
El solucionador de problemas (sujeto) que analiza el problema, sus metas y datos; y se forma una representación del problema en su sistema de memoria.
El solucionador de problemas que opera sobre una representación para reducir la discrepancia entre los datos y las metas. La solución de un problema esta constituido por la secuencia de operaciones que puede transformar los datos en metas.
Al operar sobre los datos y los metas, el solucionador de problemas, utiliza o puede utilizar los siguientes tipos de información:
Información almacenada en su memoria de largo plazo en forma de esquemas o producciones.
Procedimientos heurísticos.
Algoritmos
Relaciones con otras representaciones
El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de encontrar una solución al problema, se denomina búsqueda. Como parte del proceso de búsqueda de la solución, la representación puede transformarse en otras representaciones.
La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el solucionador del problema se da por vencido.
La autora de este trabajo comparte completamente la definición dada por Mazario Triana que se refleja en la introducción.
Papel de la motivación en la solución de problemas matemáticos.
Entre las condiciones necesarias para la solución de problemas es imprescindible que el estudiante quiera resolver el problema. Esto significa que al igual que se debe lograr crear en el estudiante determinados motivos o razones para la acción general de estudiar, hay que crearlos para la acción específica de resolver problemas, induciéndolos a la realización consciente y deseada de esa actividad. Los profesores tienen entonces que prever cómo realizar la motivación mediante una serie de acciones para lograr formar motivos positivos en los estudiantes.
Existen varias razones que pueden ser utilizadas por el profesor en su estrategia para la motivación de sus estudiantes en la solución de problemas prácticos. Entre estas podemos destacar las siguientes:
El papel de la solución de problemas matemáticos en situaciones de la vida que presentan muchas veces aspectos cuantitativos que intervienen en el proceso de solución: los conocimientos sobre la solución de problemas matemáticos son útiles para la vida.
La función desarrolladora de los problemas y su contribución al desarrollo intelectual del estudiante y específicamente sobre la formación de su pensamiento: la solución de problemas es una de las actividades más inteligentes del hombre.
En el proceso de formación de motivos para la solución de problemas no basta con lograr que el estudiante comprenda y valore la utilidad social de esta actividad sino que es necesario que interiorice la significación que puede tener en el desarrollo de su propia personalidad y realice las valoraciones personales sobre esa significación.
La formación entonces de esos motivos no se logra espontáneamente cuando el estudiante reiteradamente resuelve problemas, sino cuando se estructura adecuadamente su enseñanza mediante actividades realmente motivantes para el estudiante, por lo que depende mucho de la forma en que se estructure el sistema de problemas utilizados en clases y de la manera que el profesor desarrolle las actividades y estimule a los estudiantes durante su trabajo.
Las motivaciones en este campo son llamadas motivaciones extramatemáticas. Para que resulten verdaderamente interesantes los problemas que se propongan con ese fin deben cumplir con algunos requisitos:
Estar actualizados.
Ajustarse estrictamente a la realidad.
Ser asequibles para los estudiantes, sin perder de vista que las dificultades que incluyen deben aumentar cada vez.
Procedimiento generalizado para la solución de problemas.
En la literatura psicopedagógica se recogen tres momentos o fases fundamentales en el desarrollo de cualquier actividad. Estas son: orientación, ejecución y control.
La resolución de problemas, considerada como una actividad, está sujeta a esos tres momentos. En este sentido, la literatura relativa a la enseñanza de la resolución de problemas hace un despliegue de esos tres momentos de la actividad y vemos así como G. Polya (1982:19) considera cuatro etapas
Comprender el problema.
Concebir un plan.
Ejecución del plan.
Visión retrospectiva.
Análogamente Werner Jungk considera cuatro etapas: (Jungk, W., 1979:65)
Orientación hacia el problema.
Trabajo con el problema.
Solución del problema.
Consideraciones retrospectivas y perspectivas.
Labarrere (1998:38), por su parte, hace también consideraciones similares añadiendo en la última fase no solo el control del resultado, sino de todo el proceso de solución.
En las orientaciones metodológicas de octavo y décimo grado se dan las siguientes etapas: análisis del texto del problema, búsqueda y elaboración del plan de solución, realización del plan de solución y análisis de la solución hallada.
Es preciso aclarar que estas etapas no se dan en la práctica de manera independiente sino que en realidad se superponen y se relacionan mutuamente, no obstante esta separación que es puramente didáctica puede constituir una base orientadora para acometer las acciones generalizadas en la solución de problemas.
En la primera etapa los estudiantes deben centrar su atención en la interpretación correcta del problema a partir de su lectura, en este caso es importante extraer los datos y las incógnitas así como establecer los nexos entre lo desconocido y lo que se pide. En la interpretación del problema a través de la lectura tiene lugar casi siempre un proceso analítico-sintético a partir del cual es posible analizar el texto de una manera integradora que permite hacer reformulaciones sobre la situación inicial del problema, también es posible descomponer el problema global en subproblemas más simples que conduzcan a la respuesta final. Según Rubinstein este proceso de análisis y síntesis es el procedimiento mediante el cual el pensamiento del hombre se enfrenta a la solución de problemas.
En la segunda etapa se trata de encontrar una vía adecuada para resolver el problema, en ocasiones se impone una traducción del lenguaje común al algebraico para obtener una ecuación que modele el problema. En la búsqueda de la vía de solución los estudiantes pueden auxiliarse mediante el esbozo de esquemas, tablas, gráficas, figuras.
En la tercera etapa se le da solución al problema, ya sea mediante la solución de una ecuación o mediante la realización de determinados cálculos aritméticos, en cualquier caso esta solución debe estar sujeta a una comprobación, la cual debe hacerse con relación a los datos del problema, con esto se debe insistir en que no se trata de verificar si la ecuación ha sido resuelta o no correctamente, lo mismo que los cálculos, ya que aunque esto también debe hacerse, la comprobación debe realizarse con respecto al propio texto del problema. En la comprobación también se debe analizar la factibilidad de la respuestas, analizar si no existen contradicciones, si hay que responder en términos de unidades de magnitudes, analizar si estas son las correctas.
En la cuarta etapa se debe hacer un análisis retrospectivo con respecto a la vía de solución y analizar si existe otra variante más eficiente. Este análisis retrospectivo debe aprovecharse para abordar si es posible generalizaciones en los métodos de trabajo, o sea, relacionar el problema resuelto con otro ya resuelto por una vía análoga, o aprovechar la vía utilizada posteriormente por analogía para resolver otros problemas.
Procedimiento generalizado para la solución de problemas por vía aritmética.
Este procedimiento se fundamenta en las etapas de la actividad sistematizadas desde Leontiev (Orientación, Ejecución y Control), teniendo en cuenta las implicaciones que ella tiene en la resolución de problemas. Para ello se parte de las fases conocidas para la solución de problemas (comprender el problema, concebir un plan, ejecución del plan y visión retrospectiva) y de los procedimientos heurísticos que desde Polya ocupan un lugar apreciable en esta teoría, pero se busca el desarrollo de dos líneas fundamentales:
Completar la teoría de las fases o etapas pues las formas antes referidas resultan demasiado general para la mayoría de los estudiantes.
Se busca que el estudiante deje de ser "objeto de enseñanza" y pase a ser "sujeto" de su aprendizaje, es decir, describir el procedimiento en acciones para el estudiante, incluidas las técnicas que puede utilizar en cada fase y que en el material han sido descritas también en términos de acciones para el estudiante. De este modo el problema se reduce a buscar vías didácticas para que el estudiante interiorice el procedimiento y no de dar indicaciones al profesor de cómo "dirigir" la solución de problemas.
El procedimiento en cuestión comprende las siguientes fases que responden a preguntas establecidas y sistematiza las técnicas a emplear en cada caso. En el gráfico que se muestra a continuación se muestran cada una de estas fases.
Procedimiento a utilizar por el estudiante en la resolución de problemas.
Este procedimiento se puede aplicar empleando técnicas de estimulación tales como:
1.- Técnica de la lectura analítica.
Esta técnica ayuda al estudiante a comprender el problema en la etapa de la orientación y se corresponde con la acción "Releer". También puede ser utilizada en la etapa de "Búsqueda de la idea de la solución". Puede, o debe iniciarse su trabajo desde primer grado, con acciones limitadas dada la naturaleza de los problemas en esas primeras etapas, y contribuye a que los niños pequeños formen los conceptos de "datos", situación inicial, "preguntas o exigencias, entre otras".
Las acciones que componen esta técnica se resumen a continuación:
Para "leer bien":
Leo con detenimiento e identifico lo conocido y lo desconocido. (¿Qué es lo que conozco y que lo que no conozco?)
Identifico las condiciones dadas en el problema. (¿Qué me dicen sobre lo que conozco y sobre lo que no conozco?).
Identifico las relaciones que se establecen entre las partes del problema. (¿Qué tipo de relaciones se establecen entre las partes del problema?).
Estas relaciones pueden ser de parte y todo, proporcionalidad, transitividad, combinatoria, orden, tanto más o menos que entre otras.
Si me es útil hago un modelo. (¿Puedo modelar la situación dada?).
2.- Técnica de la reformulación.
Dentro de las etapas de la orientación y ejecución, en las acciones de "reformulo" y "busco la vía de solución", muchas veces es necesario hacer una reformulación de las condiciones o las exigencias del problema de modo que se acerque más al lenguaje propio del estudiante y, en muchas ocasiones, simplificar la formulación inicial haciéndola más comprensible y facilitando encontrar analogía con otros problemas ya resueltos. El trabajo con esta técnica aunque es propia de los grados del segundo ciclo, debe irse preparando desde los primeros grados, al menos a nivel de "reformulación externa", enseñando al estudiante a decir con sus propias palabras las condiciones, relaciones, y exigencias contenidas en los problemas con los que trabaja.
Las acciones que comprende esta técnica se resumen a continuación:
Para "Reformular".
Intento ver los datos y las condiciones de una forma diferente, es decir, recombinarlos. (¿Puedo asociar de otra forma los datos y las condiciones?)
Identifico la pregunta en el modelo y me apoyo en el para expresarla de otra forma más clara para mí. (¿Puedo reformular la pregunta?).
Descompongo la pregunta en otras más elementales.
Formulo otro problema análogo más comprensible para mí. (¿Puedo reformular de otra manera el problema?)
3.- Técnica de la formulación.
Esta técnica no se utiliza propiamente dentro de las acciones para la solución de problemas sino que es propia de los primeros grados con la intención de contribuir a lograr la comprensión del concepto."Problema" y de las partes que lo componen así como crea condiciones previas importantes para la reformulación en los grados superiores. Las acciones que las componen se resumen a continuación:
Para "Formular un nuevo problema":
Busco el tema (¿Sobre qué voy a hacer el problema?).
Planteo la situación inicial (¿Qué voy a considerar conocido?).
Formulo una o varias preguntas. (¿Qué quiero saber de lo conocido?).
Resuelvo el problema. (¿Cómo llego de lo conocido a lo desconocido?).
4.- Técnica de la modelación.
Esta técnica incluye la enseñanza de cuatro tipos de modelos: lineales, tabulares, conjuntitas, y ramificados, y se acompaña de un sistema de problemas que posibilita su uso. Es una de las técnicas más útiles para ayudar a la comprensión y la búsqueda de la idea de la solución, por lo que se utiliza dentro de las acciones de "releo" y de "busco la vía de solución" del procedimiento generalizado.
Las acciones de esta técnica se resumen a continuación:
Para "Modelar":
Analizo qué tipo de modelo utilizar. ¿Qué tipo de modelo a utilizo?
Decido por donde voy a comenzar a representar la información. (¿Cómo represento la información?)
Hago el esquema. Represento.
Controlo si se corresponde con la situación. ¿Se ajusta la situación?
Lo analizo para ver si me ayuda a comprender mejor el problema o a encontrar la vía de solución. ¿Qué puedo inferir de él?
La técnica de la determinación de problemas auxiliares.
Esta técnica es muy útil en la "búsqueda de la vía de solución" cuando se trata de un problema cuya estructura aritmética esta constituida por subproblemas que deben ser resueltos previamente para poder darle solución a las exigencias finales del problema en cuestión. Debe ser impartida en cuarto grado, aunque desde los primeros grados se pueden crear condiciones para su uso posterior, mediante la reformulación adecuada de los problemas de estructura aritmética simple.
Por el carácter eminentemente heurístico de esta actividad no se formuló en términos de acciones, sino como un procedimiento.
Para "Determinar problemas auxiliares"
Hacer un análisis conjunto de lo que dan y de lo que te piden a partir de la pregunta: ¿Qué necesito saber para contestar la pregunta del problema?
Si no lo sabes, trata de formular un problema auxiliar que puedas resolver con los datos dados y si no puedes repites la pregunta ¿Que necesito saber para…?
Repite la operación hasta que llegues a un subproblema que si puedas resolver con los datos dados y ¡viras para atrás respondiendo todo lo que no pudiste hacer!
En resumen las acciones de las técnicas expuestas anteriormente se pueden resumir en lo siguiente:
Se parte de lo que se busca, es decir de la pregunta, se contrapone con lo que dan y se buscan relaciones inmediatas entre ambas partes. Si no existen, se "penetra" en el problema mediante una nueva lectura analítica y sucesivos problemas auxiliares, procediéndose "desde afuera hacia dentro" hasta llegar a un subproblema que es el "núcleo" y que se resuelve directamente con los datos dados o con una transformación simple de ellos.
La técnica del tanteo inteligente.
Esta técnica se utiliza a nivel de la etapa ejecutora ante la acción "busco la vía de solución" en aquellos tipos de problemas cuya información se puede descomponer en casos, dada su naturaleza y que son analizadas mediante un procedimiento sistemático e inteligente hasta que se encuentra la solución, aunque esta prevista para enseñarla a partir de cuarto grado, se pueden crear condiciones en los grados inferiores mediante actividades que se pueden elaborar con el objetivo de que el estudiante aprenda a hacer la separación en casos y el análisis de condiciones.
Las acciones se resumen a continuación
Para "Tantear"
Analizo si se pueden considerar casos. (¿Puedo separar en casos?)
Decido como organizar los casos. (¿Cómo lo organizo?)
Busco regularidades para reducir, si es posible, los casos. (¿Puedo reducir los casos?)
Investigo que casos cumplen todas las condiciones del problema. (¿Cuáles cumplen todas las condiciones?)
Controlo si consideré todos los casos. (¿Consideré todos los casos posibles?)
La técnica de la comprobación.
Esta técnica corresponde a la etapa de control de la actividad dentro de la acción "hago consideraciones". Debe ser inducida gradualmente desde el primer grado utilizando, en dependencia de la naturaleza del problema, algunas de las siguientes formas
Haciendo un estimado previo y comparándolo con el resultado.
Resolviendo un nuevo problema donde lo desconocido en el problema original sea un dato y se utilicen en su solución relaciones dadas explicitas o implícitamente en el inicial, obteniéndose como resultado un dato original o una relación que por naturaleza del problema este implícitamente dada
Realizando la operación inversa a la realizada en el problema original.
Realizando el problema por otra vía diferente y comprobando los resultados.
Sistematización de los significados fundamentales de las operaciones aritméticas (sobre la base de la relación "parte-todo") con los modelos intuitivos correspondientes.
Para establecer el significado práctico de las operaciones aritméticas es muy útil utilizar la relación parte todo. Esta relación es muy elemental, obvia y relaciona al conjunto completo o todo con sus subconjuntos o partes. Esta relación, establecida entre números o cantidades tiene algunas propiedades como:
La descomposición del todo da lugar a dos o más partes.
La reunión de todos las partes da como resultado el todo.
Cada parte es menor que el todo.
Es importante que se tenga en cuenta que los conceptos de parte y todo son relativos pues en una situación determinada las partes pueden operar a su vez como todo y viceversa.
1.3.3. Algunas barreras que existen para aprender a resolver problemas aritméticos.
Las investigaciones demuestran que existen muchas dificultades en los estudiantes para resolver problemas en general, pero muy en especial cuando la vía de solución es aritmética. Se ha comprobado que los significados de las operaciones aritméticas que tienen tanto los estudiantes como los maestros son por sinonimia, es decir conocen una serie de palabras que se utilizan como sinónimos de las acciones de sumar, restar, multiplicar y dividir y que cuando aparecen en el texto de un problema inmediatamente operan como señal para resolverlos utilizando la o las operaciones que le corresponden. Esta conducta se ha aislado en estudios que se han realizado sobre las estrategias que utilizan los estudiantes al resolver problemas y que se le ha denominado estrategia de usar palabras claves. En la profundización que se ha realizado sobre la causa de este problema, pueden verse algunas muy importantes relacionadas con la metodología de su tratamiento.
A lo anterior se une la importancia que tiene en el proceso de aprendizaje de los estudiantes el significado de lo que aprende en el sentido de que lo reconoce Ausubel con respecto a lo que él denomina aprendizaje significativo: "como ya vimos, la esencia del aprendizaje significativo reside en qué idea expresada psicológicamente son relacionadas de modo no arbitrario sino sustancial (no al pie de la letra) con lo que el estudiante ya sabe señaladamente algún aspecto esencial de su estructura de conocimiento (por ejemplo: una imagen, un símbolo ya con significado, un contexto o una proposición).
Se han elaborado un conjunto de técnicas para la resolución de problemas por vía aritmética que son: la técnica de la formulación, la de la modelación, de la lectura analítica y la reformulación, de la determinación de problemas auxiliares, del tanteo inteligente y la de la comprobación. Cada técnica está descrita mediante un conjunto de acciones que se formulan en forma aseverativa e incluyen una serie de preguntas meta cognitivas, en el lenguaje de los estudiantes que recorren el proceso mental que se realiza y constituye a la vez un importante recurso de control de este proceso.
Por lo general, los procedimientos metodológicos que se dan están dirigidos a acciones que debe realizar el maestro, es decir, es una metodología de enseñanza y no esta dirigida a la búsqueda de procedimientos de actuación para el estudiante. Esto significa que:
La estimulación es indirecta, mediatizada o mezclada con la acción del maestro, que por lo general enseña cómo se encuentra la solución de un problema específico.
No se logran formas de actuación generalizada en el estudiante que son muy necesarias pues representan un desarrollo en sí mismas y son aplicables, en general, para la vida.
Los problemas se utilizan en función de desarrollar habilidades de cálculo y no como objeto de enseñanza en sí mismos. Por otra parte, no enseñan técnicas de trabajo que pueden ser muy útiles en la resolución.
Los parámetros de dificultad establecidos para los problemas son, por lo general, poco precisos por lo que la graduación no es buena y no siempre posibilitan, por ejemplo, reconocer analogías y establecer relaciones entre problemas ya resueltos.
En el caso particular de los problemas aritméticos hay que añadir que no se trabajan adecuadamente los significados prácticos de las operaciones aritméticas y, en consecuencia, se abusa de la búsqueda de palabras claves en los textos de los problemas, logrando con esto que los estudiantes traten mediante ellas de "adivinar" qué operación u operaciones deben realizar y cometan muchos errores, unido al poco desarrollo que está práctica provoca.
Además es importante que cada profesor tenga en cuenta los componentes didácticos y, fundamentalmente en el contenido que imparte, el tipo de tarea docente en correspondencia con el diagnóstico grupal e individual que posee de los estudiantes y con los niveles del desempeño cognitivo de estos para el logro de los objetivos que se propone.
Algo importante en la resolución de problemas es la motivación del estudiante para la actividad, es decir, estar interesado en darle solución al problema, en esto los profesores pueden contribuir siendo creativos en la elaboración de problemas de actualidad con datos reales que pueden tomarse de la prensa escrita u otros documentos y que de hecho pueden contribuir, además, a la función formativa de los ejercicios si se analizan datos de la economía, la producción y el deporte, entre otros.
CAPÍTULO 2:
Sistema de ejercicios para el desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética en los estudiantes de primer año contabilidad de la ETP
Este capítulo refleja el diagnóstico inicial atendiendo a las necesidades básicas de aprendizaje para el desarrollo de habilidades en resolución de problemas y la propuesta de un sistema de ejercicios a través del que se pretende llegar al estado deseado.
2.1: Resultados del diagnóstico inicial.
Para dar respuesta a la segunda pregunta científica planteada en esta investigación, se realizó un diagnóstico para determinar el estado inicial de la variable nivel de desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética en los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad del IPE "Jesús Luna Pérez."
Se emplearon como instrumentos en el diagnóstico inicial los siguientes: prueba pedagógica inicial y guía de observación en clases.
En la muestra se manifiestan las siguientes potencialidades respecto a elevar el nivel de desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética:
Receptivas, que propician en ellos una mayor flexibilidad ante las diferentes situaciones de aprendizaje.
Deseo de elevar su nivel cultural, por lo que muestran el propósito de superarse cada vez más.
Interés por aplicar los conocimientos que adquieren en el politécnico en su futura vida laboral.
Estas características presentes en los estudiantes, deben ser tenidas en cuenta con el fin de cambiar la situación habitual existente.
Para la evaluación de la variable dependiente: nivel de desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética, se aplicaron las siguientes acciones:
Determinación de dimensiones e indicadores.
Modelación estadística de los indicadores mediante variables.
Medición de los indicadores.
Procesamiento estadístico de los datos.
Comparación sobre el objeto de evaluación.
La determinación de dimensiones e indicadores aparecen en la Introducción de la tesis.
En la modelación estadística de los indicadores mediante variables se requirió de la ejecución de las acciones siguientes:
Representar cada indicador mediante una variable.
Tabla 1: Representación de cada indicador mediante una variable.
Determinar los criterios de medición de cada indicador, según los niveles.
Escala de medición de cada indicador. Criterios de medición de cada indicador según los niveles (I, II y III).
Tabla 2.
Tabla 3.
Para la medición de los indicadores de cada dimensión, se utilizaron distintos instrumentos. Estos aparecen especificados en el Anexo 5.
Para el procesamiento estadístico de los datos se tuvieron en cuenta los resultados del estado inicial de la muestra.
En los Anexos 2 y 4, se muestran los resultados, a través de las frecuencias absolutas y relativas de cada nivel por indicador. Estos resultados son los de la prueba pedagógica de entrada (Anexo 1) y de la observación en clases (Anexo 3).
A la muestra se le aplicó la prueba pedagógica (Anexo 1), con el objetivo de comprobar el estado inicial que presentan en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética. La escala de valoración que se tuvo en cuenta para medir este instrumento aparece en la tabla 2 de este capítulo. Los resultados que arrojó la prueba fueron los siguientes:
Dimensión D1: Cognitiva-procedimental.
Indicador 1: Interpretar la situación problémica que se le presenta.
De los veintisiete estudiantes, diez alcanzaron el nivel I, lo que significa que el 37% logró analizar correctamente la situación del enunciado, además de demostrar que poseen los conocimientos previos suficientes para enfrentarse a la solución del problema y hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Cuatro estudiantes, que representan el 14,8% del total de la muestra, alcanzaron el nivel II, lo que significa que aunque analizan la situación del enunciado, no poseen los conocimientos previos y tienen una tendencia acentuada a operar directamente con los datos del problema.
Trece de los veintisiete estudiantes obtuvieron el nivel III, lo que muestra que el 48,1
% de los examinados presentan dificultades con el análisis de la situación del enunciado, no poseen los conocimientos previos que les permiten realizar adecuadamente el ejercicio, presentando dificultades para hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Indicador 2: Elaboración del plan de solución.
En la evaluación de este indicador, se constató que solo cinco estudiantes, que representan el 18,5% del total, obtuvieron el nivel I. Esto muestra que pusieron en práctica procedimientos heurísticos, técnicas o estrategias para la resolución de problemas, así también analizaron los nexos y relaciones entre los datos del problema.
Ocho estudiantes alcanzaron el nivel II. Estos aunque ponen en práctica procedimientos heurísticos, técnicas o estrategias para la resolución de problemas, no analizan los nexos y relaciones entre los datos del problema. De esta manera el 29,6% del total se encuentran en este nivel.
Catorce de los integrantes de la muestra, que constituyen el 51,9 % del total, se encuentran en el nivel III. De esto se infiere que no ponen en práctica los procedimientos heurísticos para la resolución de problemas y tampoco analizan los nexos y relaciones entre los datos del problema.
Indicador 3: Asimilación del algoritmo para la ejecución del plan de solución del problema.
La valoración de este indicador permitió determinar que de los veintisiete estudiantes, cuatro, que representan el 14,8% del total, están en el nivel I. Esto significa que logran establecer analogías entre situaciones y modelos anteriores, tienen un manejo del modelo matemático que corresponde a la situación del problema y aplican el significado de las operaciones aritméticas.
Seis estudiantes, que representan el 22,2% del total de la muestra, se encuentran en el nivel II. Aunque establecen analogías entre situaciones y modelos anteriores y tienen un manejo del modelo matemático que corresponde a la situación del problema, presentan dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas.
El resto de los integrantes de la muestra alcanzaron el nivel III, por lo que se infiere que no establecen analogías entre situaciones y modelos anteriores, no tienen un manejo del modelo matemático que corresponde a la situación del problema y presentan dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas.
Indicador 4: Análisis de los resultados.
Una medición de este indicador muestra que cinco estudiantes, que representan el 18,5% del total quedaron en el nivel I, significando que tienen una visión retrospectiva del proceso y analizaron la respuesta, dándola razonablemente.
Siete estudiantes, que representan el 25,9 % obtuvieron el nivel II, demostrando que aunque realizan una visión retrospectiva del proceso, no analizan si la respuesta es razonable o absurda.
Quince miembros de la muestra, que representan el 55.6 %, quedaron en el nivel III, esto significa que no realizaron una visión retrospectiva del proceso ni llegaron a analizar la respuesta que dieron.
Promediando los datos obtenidos con la aplicación de la prueba pedagógica puede afirmarse que:
seis estudiantes se encuentran en el nivel l, para un 22,2 %.
también seis estudiantes están en el nivel ll, y
quince estudiantes se ubican en el nivel lll, para un 55,6 %.
Este resultado manifiesta un bajo nivel de desarrollo de la habilidad resolver problemas aritméticos. Las cifras analizadas anteriormente y los datos que ofrece el Anexo 2, lo corroboran.
Se realizó la observación en cinco clases de Matemática con el objetivo de constatar el estado en que se encuentran los estudiantes en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética (Anexo 3). Para otorgar la evaluación a cada uno de los indicadores de las diferentes dimensiones, se tuvo en cuenta la escala que aparece en la tabla 3 expuesta anteriormente.
Resultados que arrojó la observación:
Dimensión D1: Cognitiva-procedimental. Indicador 1: Interpretación del texto del problema.
De los veintisiete estudiantes observados, nueve alcanzaron el nivel I, lo que significa que el 33,3 %, lograron analizar correctamente la situación del enunciado, además de demostrar los conocimientos previos necesarios para hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Seis estudiantes, que representan el 22,2 % del total de la muestra, alcanzaron el nivel II, lo que significa que aunque analizan la situación del enunciado, no poseen los conocimientos previos y tienen una tendencia acentuada a operar directamente con los datos del problema.
Doce de los veintisiete estudiantes obtuvieron el nivel III, lo que muestra que el 44,4
% de los examinados presentan dificultades con el análisis de la situación del enunciado, no posee los conocimientos previos y presenta dificultades para hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Indicador 2: Elaboración del plan de solución.
En la evaluación de este indicador, se observó que solo cinco estudiantes, que representan el 18,5% del total, alcanzaron el nivel I. Se observó que pusieron en práctica procedimientos heurísticos para la resolución de problemas, así también analizaron los nexos y relaciones entre los datos del problema.
Siete estudiantes alcanzaron el nivel II. Pudo constatarse en la observación que pusieron en práctica procedimientos heurísticos para la resolución de problemas, pero no analizaron las relaciones entre los datos del problema. De esta manera el 25,9% del total se encuentran en esta categoría.
Quince de los integrantes de la muestra, que constituyen el 55,5 % del total, se encuentran en el nivel III. Pudo observarse en las clases, que estos estudiantes no ponen en práctica procedimientos heurísticos resolución, técnicas o estrategias para la resolución de problemas y no analizaron las relaciones entre los datos del problema.
Indicador 3: Asimilación del algoritmo para la ejecución del plan de solución del problema.
De los veintisiete estudiantes, solo tres, que representa el 11,1 % del total, está en el nivel I. En las clases, se pudo observar que estableció analogías entre situaciones anteriores, tuvo un manejo del modelo matemático, que correspondió a la situación del problema y llegó a aplicar correctamente el significado de las operaciones aritméticas.
Nueve estudiantes, que representan el 33,3 % del total de la muestra, se encuentran en el nivel II. Se observó que aunque establecieron analogías entre situaciones anteriores y tuvieron un manejo del modelo matemático que corresponde a la situación del problema que se les presentó, manifestaron marcadas dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas.
El resto de los integrantes de la muestra que representa el 55,6 % se encuentra en el nivel III. Ellos no establecieron analogías entre situaciones anteriores, y presentaron grandes dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas.
Indicador 4: Análisis de los resultados.
En este indicador tres estudiantes, que representan el 11,1 % se encuentran en el nivel I. Se observó que realizaron una visión retrospectiva del proceso e hicieron un análisis razonable de la respuesta.
Ocho estudiantes, que representa el 29,6 % obtuvo el nivel II, ellos realizaron una visión retrospectiva del proceso, pero no analizaron lógicamente la respuesta que le dio el ejercicio.
Dieciséis miembros de la muestra, que representan el 59,3 %, quedaron en el nivel
III. Esto significa que no realizaron una visión retrospectiva del proceso y la respuesta dada pudo catalogarse de absurda.
Dimensión D2: Motivacional.
Indicador 1: Motivación para resolver el problema.
Se observó que solo seis estudiantes manifestaron estar siempre estimulados para resolver el problema, lo que significa que el 22,2 % se encuentra evaluado de nivel I.
Ocho estudiantes, que representan el 29,6 % fueron evaluados de nivel II en este indicador. Ocasionalmente manifestaron motivación por resolver el problema, la observación constató que se disociaban con facilidad
Trece estudiantes, que representan el 48,1 % se evaluaron de nivel III en este indicador. En este caso ninguno mostró motivación por resolver el problema.
Indicador2: Esfuerzo por resolver el problema, se observó que solo siete estudiantes manifestaron un esfuerzo constante por resolver el problema, lo que significa que el 25,9 % se encuentra evaluado de nivel I.
Diez estudiantes, que representan el 37 %, se encuentran en el nivel II en este indicador. Se pudo observar que en ocasiones se esforzaron por resolver el problema.
El resto de los estudiantes, que representa el 37%, se encuentra en el nivel III en este indicador. En este caso ninguno se esforzó por resolver el problema, se limitaron a la lectura del texto.
Indicador3: Interés por obtener un resultado.
Se observó que solo cinco estudiantes mostraron total interés por alcanzar la respuesta correcta, deseando incluso –con insistencia- ser evaluado por el profesor. Esto significa que solo el 18,5 % se encuentra evaluado de nivel I.
Seis estudiantes, que representan el 22,2 % quedaron en el nivel II en este indicador. En ocasiones mostraron interés por alcanzar la respuesta correcta del problema, se limitaron a realizar algunas operaciones aritméticas y estas tenían incoherencias. Dieciséis estudiantes se encuentran en el nivel III, para un 59.3 %.
Resumiendo, puede plantearse que de todos los resultados obtenidos en la observación en las clases de Matemática, puede afirmarse que el 48,1 % de la muestra, se encuentra ubicado en el nivel III, manifestando un bajo nivel de desarrollo de la habilidad resolver problemas aritméticos, obteniéndose en las dimensiones cognitivo-procedimental y la motivacional altos porcentajes. Las cifras analizadas anteriormente y los datos que ofrece el (Anexo 4) lo ratifican.
De forma general puede plantearse que la muestra presenta como regularidades marcadas insuficiencias en:
La motivación para la resolución de problemas aritméticos,
Los conocimientos teóricos en las fases de la resolución de problemas,
Los conocimientos precedentes que garantizan las condiciones previas para la resolución de problemas,
El análisis del texto del problema. (este se hace superficial y fragmentadamente)
El empleo de los recursos heurísticos para orientarse mejor en el problema,
El dominio del significado práctico de las operaciones aritméticas y de técnicas y estrategias para resolver problemas.
Todo ello, dificulta la comprensión del problema, redundando en que los estudiantes tienden a la ejecución del problema, sin el análisis debido, cometiendo constantemente errores en los pasos sucesivos.
En tal sentido, puede afirmarse que los estudiantes de primer año de contabilidad del IPE "Jesús Luna Pérez", presentan insuficiencias en la formación de esta habilidad matemática; los conocimientos y experiencias que poseen les impiden pasar a un nivel superior de desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos por vía aritmética y esto lo corrobora la base de datos realizada a la muestra que aparece en el Anexo 6.
El profesor debe lograr que el aprendizaje sea significativo. Es por ello que se propone un sistema de ejercicios, con situaciones de la propia realidad donde interactúan los estudiantes, en aras de motivarlos para que transiten hacia niveles superiores en la habilidad resolución problemas por vía aritmética.
2.2- Características del sistema de ejercicios para el desarrollo de la habilidad resolver problemas aritméticos en los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad en la ETP.
Con el objetivo de responder la tercera pregunta científica planteada en esta investigación, se realizó la fundamentación del sistema de ejercicios dirigidos a desarrollar la habilidad resolución de problemas por vía aritmética, planteándose posteriormente la propuesta pertinente.
El término sistema se usa profusamente en la literatura de cualquier rama del saber contemporáneo y en la pedagógica se ha venido incrementando en los últimos años.
En términos generales el término se utiliza:
Para designar una de las características de la organización de los objetos o fenómenos de la realidad educativa.
Para designar una forma específica de abordar el estudio (investigar) de los objetos o fenómenos educativos.(enfoque sistémico, análisis sistémico)
Para designar una teoría sobre la organización de los objetos de la realidad pedagógica.(Teoría General de Sistemas)
Para designar un tipo particular de resultados de la investigación pedagógica.
El concepto básico de la Teoría General de Sistemas es el de sistema y con relación al mismo existen múltiples definiciones: A continuación se presentan algunas de ellas además de la que se define en la introducción de este trabajo, a la cual la autora se acoge.
"Conjunto de elementos que guardan estrechas relaciones entre sí, que mantienen al sistema directa o indirectamente unido de forma más o menos estable y cuyo comportamiento global persigue, normalmente un objetivo." (Osorio F., Marcelo A., 2003:72)
"Un conjunto de entidades caracterizadas por ciertos atributos que tienen relaciones entre sí y están localizados en un cierto ambiente de acuerdo con un criterio objetivo….las relaciones determinan la asociación natural entre dos o más entidades o entre sus atributos" (Rincón, J., 1998:21)
"Conjunto de elementos en interacción. Interacción significa que un elemento cualquiera se comportará de manera diferente si se relaciona con otro elemento distinto dentro del mismo sistema. Si los comportamientos no difieren, no hay interacción y por tanto tampoco hay sistema" (Cazau, P., 2003:46)
"Conjunto de elementos reales o imaginarios diferenciados, no importa porque medios del mundo existente. Este conjunto será un sistema si:
Están dados los vínculos que existen entre estos elementos.
Cada uno de los elementos dentro del sistema es indivisible.
El sistema interactúa como un todo con el mundo fuera del sistema.( Blumenfeld, L.H., 1960:115)
"Cierta totalidad integral que tiene como fundamento determinadas leyes de existencia….El sistema está constituido por elementos que guardan entre sí determinada relación" (Zhamin, V.A., 1979:91)
Como puede apreciarse, más allá de la diversidad de las definiciones existentes, de las orientaciones de sus autores y de los términos utilizados existe consenso al señalar que:
El sistema es una forma de existencia de la realidad objetiva.
Los sistemas de la realidad objetiva pueden ser estudiados y representados por el hombre.
Existen también sistemas que el hombre crea con determinados propósitos.
Un sistema es una totalidad sometida a determinadas leyes generales.
Un sistema es un conjunto de elementos que se distingue por un cierto ordenamiento.
El sistema tiene límites relativos, sólo son "separables" "limitados" para su estudio con determinados propósitos.
Cada sistema pertenece a un sistema de mayor amplitud, "está conectado", forma parte de otro sistema.
Cada elemento del sistema puede ser asumido a su vez como totalidad.
La idea de sistema supera a la idea de suma de las partes que lo componen.
En la enseñanza de la Matemática, un ejercicio es una exigencia para actuar, que se caracteriza por el objetivo y el contenido de las acciones y las condiciones para las acciones.
Un sistema de ejercicios no es solamente una agrupación de ejercicios, este debe cumplir determinados principios, los cuales han sido tomados en cuenta por la autora de esta investigación en la elaboración de la propuesta.
Algunas consideraciones generales que no deben obviarse al hacer la selección de cada uno de los ejercicios que componen el sistema son:
Qué función o funciones rectoras puede realizar cada uno de los ejercicios del sistema y qué objetivos específicos se proponen;
Si es necesario precisamente ese tipo de ejercicio;
Si resulta conveniente utilizar las magnitudes y datos numéricos que aparecen en el ejercicio u otros;
Si los datos numéricos responden a la situación real que se presentan en el ejercicio;
Si el texto del ejercicio es adecuado y puede despertar el interés de los estudiantes, porque su respuesta es interesante o porque el procedimiento para su resolución resulta novedoso y atractivo;
Si pueden los estudiantes resolver el ejercicio de forma independiente y qué conocimientos y habilidades les son necesarias;
En qué aspectos y en qué medida se les debe brindar ayuda;
A qué conclusión se puede llegar sobre la preparación de un estudiante que no pueda resolver el ejercicio;
Cómo este ejercicio está relacionado con los contenidos estudiados y con los que se estudiarán posteriormente;
En qué medida contribuye al aprendizaje desarrollador.
El análisis desde el punto de vista didáctico de la función o funciones que deben cumplir los ejercicios del sistema, teniendo en cuenta las características y el diagnóstico de los estudiantes y los objetivos de la clase o el sistema de clases que se está desarrollando.
La determinación de los ejercicios para el trabajo independiente no debe ser al azar, ni iguales a los desarrollados en clases, pero que los estudiantes los resuelvan sin ningún tipo de dificultad tomando como modelo los resueltos en clases.
El sistema de ejercicios, ha de satisfacer los requisitos siguientes:
Potencialidad desarrolladora.
Representatividad procedimental.
Balance procedimental.
Suficiencia ejecutora.
Representatividad de los errores.
Ordenamiento progresivo de la complejidad de los ejercicios.
Diversidad en la formulación de las exigencias.
La potencialidad desarrolladora del sistema consiste en que los ejercicios componentes exigen una actuación ubicada en la zona de desarrollo próximo de los estudiantes, de manera que su resolución requiere de niveles de ayuda de los otros, especialmente del profesor, en un ambiente donde se combinan el trabajo autónomo y la colaboración.
La representatividad procedimental del sistema está en que las condiciones y exigencias de los ejercicios que conducen a la realización por el estudiante del procedimiento general de la resolución de problemas.
El balance procedimental del sistema se enmarca en una distribución equitativa de los ejercicios integrantes, de manera que se garantice periodicidad y continuidad en la ejecución de las cuatro acciones del procedimiento general de la resolución de problemas.
La suficiencia ejecutora consiste en que los ejercicios sean suficientes para que los estudiantes desarrollen la habilidad de resolver problemas aritméticos.
La representatividad de los errores reside en que los ejercicios del sistema cubren las potencialidades para el trabajo con los estudiantes, a partir de los errores cometidos al resolver los problemas presentados, así como los errores más frecuentes en cada paso ejecutado y aprender de ellos haciendo sus valoraciones.
El ordenamiento progresivo de la complejidad de los ejercicios está dado en que las acciones que requieren las habilidades son ejecutadas con cierto nivel de dominio y relación del procedimiento heurístico general que requiere cada ejercicio que compone el sistema, se manifiesta de este modo la relación de dependencia cognoscitiva entre un ejercicio y otro.
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