El desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética (página 3)
La diversidad en la formulación de las exigencias de los ejercicios radica en el cambio de la formulación de la exigencia, que conduce a la aplicación de un mismo procedimiento cuando se utilizan varios ejercicios en que está presente esta exigencia.
El sistema de ejercicios aprovecha situaciones conocidas por los estudiantes, convirtiendo así a los problemas que tienen que resolver en un reflejo de la realidad, de las relaciones entre objetos, procesos y fenómenos, situando al estudiante en contacto con situaciones que reflejan con objetividad la economía, la política, la sociedad, propiciando también la recopilación e información de datos.
Los ejercicios que componen el sistema, presentan una estructura básica acorde a la de un ejercicio de nuevo tipo, constituida por una situación inicial asociada a una interrogante.
Las respuestas a estas interrogantes conducen al análisis de propiedades comunes y diferentes al establecimiento de nexos y relaciones entre conocimientos que eventualmente pudieran parecer aislados hasta organizar un sistema. La pregunta es un estímulo para que los estudiantes puedan expresar libremente, con la fluidez que le sea posible, todo lo que saben y puedan hacer inferencias en relación con la situación planteada.
Los ejercicios tienen como objetivo general desarrollar la habilidad resolver problemas aritméticos aplicando el programa heurístico para la resolución de problemas.
Las situaciones presentadas en los ejercicios propuestos requieren de conocimientos y habilidades de operaciones de cálculos, sus relaciones y propiedades, el significado de las operaciones aritméticas, el tanto por ciento, fracciones típicas y magnitudes.
Se incorporan algunos problemas que requieren habilidades en el procesamiento y análisis de información de datos tomados de la prensa y de otras fuentes de información de carácter local, que coadyuvan a extraer conclusiones de la obra de la Revolución.
Partiendo de las características y potencialidades de los estudiantes que conforman la muestra de esta investigación, se incluyen además ejercicios con textos, los que también requieren de acciones concretas a partir del procedimiento heurístico general, donde se hace pertinente la necesidad de la realización de impulsos adecuados, planteando primero exigencias más elevadas y luego decreciendo.
Para el desarrollo de esta habilidad se elaboró además una guía didáctica (Anexo
20) con el objetivo de sistematizar y desarrollar la secuencia de acciones que debe seguir el estudiante al resolver un problema aritmético, esta puede ir enriqueciéndose, según las posibilidades cognitivas del estudiante, hasta lograr su autoindependencia.
El sistema de ejercicios está compuesto por un total de 18 ejercicios, distribuidos en los tipos siguientes:
Ejercicios dirigidos al uso del significado del cálculo porcentual; así como en otros problemas diversos de aplicación.
Ejercicios dirigidos al significado de las operaciones aritméticas.
Ejercicios dirigidos a la recopilación, procesamiento y análisis de la información.
Aunque cada uno de los ejercicios tiene sus características específicas, todos están concebidos en forma de sistema.
Luego de un estudio de las Orientaciones Metodológicas y el Programa de Matemática, que se recibe en el primer año de contabilidad, de las principales dificultades y potencialidades que presentan los estudiantes que integran la muestra, el sistema de ejercicios elaborado predeterminado a partir de estos elementos, se aplica durante la realización de:
Trabajo independiente dentro y fuera de las clases.
Todo el sistema de ejercicios se aplica en la Unidad 1: Aritmética. Trabajo con variables. Ecuaciones. Problemas. Esta es la primera unidad del Programa de primer año de la ETP.
Sistema de ejercicios de ejercicios para el desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética en los estudiantes de primer año de la ETP.
Los ejercicios del 1 al 4 se aplican en clases como trabajo Independiente. Algunos estudiantes serán evaluados de forma individual por parte de la profesora en sus asientos, otros a través del intercambio de libretas y posteriormente de forma general se realizará una pregunta escrita en la quinta clase correspondiente a problemas.
Ejercicio 1.
La Empresa Metalmecánica necesita financiar la compra de piezas de repuestos para una de sus líneas de producción, obteniendo del Banco de Créditos y Comercio (BANDEC) un préstamo de $100 000,00. Esta cantidad tiene que ser devuelta dentro de un año, pero la empresa tiene que pagar $1000,00 mensuales durante ese tiempo.
a)- ¿Cuánto dinero adicional entregará la empresa a BANDEC? b)- ¿Cuánto dinero entregará en total?
c)- Consulta el ejercicio con tu profesor de Matemática Financiera y llega a conclusiones.
Respuesta:
a)-$12 000, 00.
b)- $112 000,00.
c)- La respuesta del a) es el interés simple y la del b) es el monto simple.
Ejercicio 2.
La tabla siguiente expresa el precio promedio nacional de algunos productos en los mercados agropecuarios en el año 2009.
a)-Si compras 5 libras de boniato, 6 de tomate, 15 de arroz y 7 de frijoles y pagas con un billete de $100.00. ¿Cuánto te devuelven?
Respuesta: a)-$11,55.
Ejercicio 3.
Almacenes Universales tiene $ 9 500.00 para adquirir cuatro tipos de mercancías. Para la compra de la primera mercancía cuenta con $ 2 300.00; para la segunda mercancía tiene $ 500.00 menos que para la primera. Para la compra de la tercera dispone de tanto como las dos anteriores.
a)- ¿Podrá hacer la cuarta compra invirtiendo $1 200.00? b)- ¿Por qué?
Respuesta:
a)-.Sí
b)- Porque quedan $ 1300. 00.
Ejercicio 4.
Una empresa tiene un presupuesto mensual de $200 000,00 y emplea el 60 % en materias primas, el 25 % en mano de obra y el resto en depósito bancario. ¿Cuánto emplea en cada cosa?
Respuesta:
Materias primas: $120 000,00. Mano de obra: $50 000,00.
Cuenta Bancaria: $30 000,00.
Los ejercicios del 5 al 10, se orientan como trabajo independiente fuera de la clase. Algunos van dirigidos a la recopilación, procesamiento y análisis de la información, al uso del significado de las operaciones y pretenden sistematizar el desarrollo de la habilidad. Los mismos quedan orientados por la profesora en la clase tres de resolución de problemas en forma de trabajo práctico que tendrá que ser entregado en clase siete de esta temática.
Realiza individualmente los siguientes ejercicios.
Ejercicio 5.
Cuba cuenta con 74 000 médicos vinculados al sistema de salud, de ellos el 24% se encuentran cumpliendo misión internacionalista y el resto presta atención a la población (uno por cada 200 habitantes).
a)- ¿Cuántos médicos se encuentran cumpliendo misión internacionalista? b)- Calcula un estimado de la población de Cuba.
Respuesta: a)- 17 760.
b)- 11 248 000.
Ejercicio 6.
De los casi 855 000 000 de adultos analfabetos que hay en el mundo, cerca de 2/3 partes son mujeres.
a)-¿Cuántos hombres analfabetos hay en el mundo?
b)-¿Qué por ciento representan las mujeres del total de analfabetos? Respuesta:
a)- 285 000 000.
b)- 66,67 %.
Ejercicio 7.
Al cierre de abril del 2009 en el gran país del norte habían en paro forzado 14 000 000 de trabajadores y 9 000 000 laborando sólo a tiempo parcial, a los que habría que sumar otros 2 000 000 que ya no acuden a las oficinas de empleo porque perdieron sus esperanzas de ganar dignamente el pan con el concurso de sus mentes y brazos.
a)-¿Qué cantidad de desempleados y subempleados hay en la mayor nación industrial y económica de la Tierra?
b)-¿Qué por ciento representan los trabajadores que se encuentran en paro forzado del total de desempleados y subempleados?
Respuesta:
a)- 25 000 000.
b)- 36 %.
Ejercicio 8.
Como consecuencia de la crisis económica que afecta el mundo los precios internacionales de las materias primas y productos que Cuba exporta han bajado considerablemente, ejemplo de ello lo tenemos en el níquel que en el 2007 llegó a cotizarse a 51 000 dólares la tonelada y hoy se tasa en 13 335 dólares.
a)-¿Qué por ciento de disminución de ingresos, por este concepto, pierde Cuba?
b)- Sí en un año Cuba exporta alrededor de 350 000 toneladas de níquel. ¿Cuántos dólares pierde debido a la crisis económica mundial?
Respuesta: a)- 74 %.
b)- 13 182 750 000.00 dólares.
Ejercicio 9.
La figura muestra un tablero de ajedrez.
a)- ¿Qué por ciento representan las casillas de la diagonal sombreada respecto al total?
b)- Si se conoce que el área de cada casilla es de 1.0u2, determina el área que
ocupan las casillas sombreadas de la columna f, y la fila 6.
Respuesta a)- 12, 5%.
b)- 5, 0 U2.
Ejercicio 10.
La Empresa de Construcción del municipio de Fomento compra 80 piezas de pre- fabricado a $ 200.00 cada una. Vende 30 piezas a $ 450.00 y 10 a $ 350.00 cada una.
a)- ¿En cuánto debe vender cada una de las que quedan para que la ganancia total sea de $ 8 000.00?
Respuesta: a)- $ 175.00.
Los ejercicios del 11 al 18 se han planificado para el horario de clases, se evalúan todos los estudiantes, seis o siete individualmente por los asientos, otros cuando lo realizan en la pizarra y los restantes a través del intercambio de libretas supervisados por los monitores.
Ejercicio 11.
La empresa Cubatabaco para el cumplimiento del plan de entrega para el Estado, vende un tercio de tabaco que pesa 1 085 libras. Se le descuenta el 5% del peso total, por concepto de la banda que se utiliza para su protección. Si se sabe además que cada Kg. importa $ 3.60 y que tiene un 7.5% de descuento del importe total por concepto de transportación.
a)-¿Cuánto cobra en efectivo esta empresa? Respuesta:
a)- $ 1581.75.
Ejercicio 12.
La gráfica muestra la producción de la Empresa de Productos Lácteos de Sancti Spíritus en el año anterior:
¿Qué por ciento de la producción corresponde a helados?
Si la producción total fue de 2103 toneladas de lácteos. ¿Cuántas toneladas de yogurt se lograron producir?
¿En cuánto toneladas excede la cantidad producida de queso crema a la de helados?
Sí del total de yogurt producido 231.33 toneladas se vendió como producto liberado. Calcule y trace el sector correspondiente a esta venta.
%
Respuesta: a)-16%.
b)-De yogurt 1282.8 toneladas.
c)-Excede la cantidad producida de queso crema a la de helado en d)- 147.21toneladas.
e)-39.60 (Trazarlo a partir de 180 O).
Ejercicio 13.
La siguiente gráfica representa el comportamiento diario del consumo eléctrico real del municipio Fomento desde la 1:00 a.m. hasta 12:00 m.
a) ¿Cuál es el consumo a las?
– 11.30 am
– 6.30 pm
– 8.30 pm
b)-¿Cuál es el consumo de energía en el horario pico de la mañana y de la tarde?
c)- A partir de los datos que te arrojó el inciso b) llega a conclusiones en relación a la necesidad del ahorro en este horario.
d)- ¿En qué por ciento disminuyó el consumo eléctrico en el horario de 6:30 pm a 8:30 pm?
e)- ¿Cuál es el consumo promedio en los horarios picos? Respuesta:
a)-11.30 am 6,0 mw/ h.
6.30 pm 8,0 mw/ h.
8.30 pm 4,0 mw/ h.
b)- 6,0 mw / h y 8,0 mw/ h. c)- Inferir.
d)- En 50%.
e)- 7,0 mw/ h.
Ejercicio 14.
El costo de un film para fotografías a color, con el que se pueden obtener 12 copias es de $ 1, 08. Adicionalmente por el revelado de las 12 fotografías se cobra $ 1,92. a).- Una tienda decide vender 3 films por el precio de $ 2.00. El costo del revelado se mantiene en 1,92 por cada film. Calcular el costo total de cada fotografía en esta tienda.).-
b)- Una segunda tienda mantiene el costo de cada film en 1,08 pero ofrece una reducción del 25 % en el costo del revelado. Calcular el costo total de cada fotografía en esta tienda.
c).- Calcular el tanto por ciento de reducción en el costo total, de la segunda tienda con respecto a la primera.
Respuesta: a).- 0.22 ¢
b).- 0.21¢
c).- 16 %
Ejercicio 15.
El 30 de mayo del 2008 el periódico Granma publicó las proyecciones del Centro de Estudios de Población y Desarrollo de la Oficina Nacional de Estadísticas (ONE). En su artículo "Más allá de peinar canas", se plantea que para el 2025 habrá alrededor de 74 000 personas menos con respecto a los 11 236 790 reportados el 31 de diciembre del 2007. Además se señala que la sociedad se irá envejeciendo en esta fecha con relación a las personas de 60 años o más y que estas representan el 16,6
% de la población actual y en el 2025 serán el 26, 1 %. a)- ¿Cuántas personas habrán para el 2025?
b)- ¿Cuántas personas de 60 años o más hay en la actualidad? c)- ¿Qué por ciento representará el otro sector poblacional.
d)- ¿Cuál será la densidad poblacional en Cuba para el año 2025? Compárala con la actual?
e)- Investiga en la Oficina Nacional de Estadística de Fomento, cuál fue el número de habitantes de este municipio en el año 2007.
f)- Calcula la densidad poblacional.
g)- ¿Qué por ciento representa la población de Fomento en relación con los 11 236 790 reportados el 31 de diciembre del 2007 en Cuba?
Respuesta:
a)-11 162 790 personas.
b)-1 865 307 personas de 60 años o más en la actualidad. c)-El otro sector poblacional representa el 83,4%.
d)-Densidad poblacional para el 2025 en Cuba es de 101 habitante por Km2.
e)-Número de habitantes del municipio de Fomento en el año 2007, es de 33 168 habitantes.
f)- Representa un 0,3% la población de Fomento en relación con los 11 236 790 reportados el 31 de diciembre del 2007 en Cuba.
Ejercicio 16.
Los estudiantes del IPE "Jesús Luna Pérez" se movilizaron a la recogida de café en el Plan turquino en La Hormiga, por tres días, Leusiel recolectó el martes el 25 % de su aporte total, el miércoles un 1/3 de su meta y el jueves cumplió con 30kg.
a-) ¿Cuántos Kg. debía recolectar Leusiel en los tres días?
b-) ¿Qué por ciento representa del total lo recolectó el jueves? c-) ¿Cuánto se recolectó el martes?
d-) ¿Cuál es el promedio de Kg. recolectado por día?
e-) Sí una lata pesa 13,5 kg. ¿Cuántas latas recolectó en total? Respuesta:
a)-72 Kg. debía recolectar en los tres días. b)-41,6%.
c)-18 Kg.
d-) 24kg.
e-) 5,33 Latas.
Ejercicio 17.
A los empleados de la empresa Electrocaribe se les oferta un aumento de salario y pueden acogerse a cualquier de las dos opciones siguientes:
Opción A: Ofrece un aumento de un 8 % de su salario semanal.
Opción B: Ofrece un aumento de un 5 % de su salario semanal más un extra de $ 3,75 semanal.
Antonio gana $ 95,00 semanal. Exprese el aumento del salario de Antonio según ambas acciones.
a.1) Según la opción A. Respuesta: 7,60 a.2) Según la opción B. Respuesta: 8,50
Exprese el aumento de salario de Antonio como un tanto por ciento de su salario actual. Respuesta: 8,95 %
Ernesto calcula que su salario sería igual bajo cualquiera de las dos opciones. Calcula su salario actual semanal.. Respuesta: 125.
Respuesta:
a) Según la opción A: 7,60 Según la opción B: 8,50
b)- 8,95 %
c)- 125.
Ejercicio 18.
El almacén de la DME asigna mesas a tres escuelas del A, B, y C, a los cuales se les hizo la entrega de la siguiente forma:
1er viaje – 270 mesas para A y B. 1ro viaje – 220 mesas para B y C. 3er viaje – 250 mesas para A y C.
Si en cada envío cada escuela recibe la mitad de las mesas asignadas: a).- Diga el total de mesas entregadas.
b).- ¿Cuántas entregas se realizaron?
c).- ¿Cuántas mesas se recibieron en cada escuela? Respuesta:
a)- 740 mesas.
.b) 6 entregas.
c) Recibió A-300, B-240 y C-200 mesas.
Los ejercicios del 11 al 18 permiten recomprobar este objetivo en forma escrita en la clase número 12 correspondiente a este tema (última de la unidad para este objetivo).
2.4- Validación de la efectividad en la práctica pedagógica del sistema de ejercicios.
Para comprobar la efectividad del sistema de ejercicios se analizó el comportamiento de la variable dependiente en la etapa final de la investigación, tomando como punto de partida los resultados del diagnóstico inicial, que fueron expuestos en el epígrafe 2.1.
Como instrumentos aplicados durante el diagnóstico final se encuentran una guía de observación en las clases de Matemática y una prueba pedagógica de salida.
A continuación se presenta el análisis de los resultados obtenidos en cada uno de ellos.
A la muestra se le aplicó la prueba pedagógica de salida, (Anexo 7) con el objetivo de comprobar el estado final que presentan en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética después de introducir la variable independiente. La escala de valoración que se tuvo en cuenta para medir este instrumento aparece en la tabla 2 de este capítulo.
Juicios de valor sobre el nivel de desarrollo alcanzado por los estudiantes después de la implementación del sistema de ejercicios.
Los resultados que arrojó la prueba fueron los siguientes:
Dimensión D1: Cognitiva-procedimental.
Indicador 1: Interpretación de la situación problémica.
De los veintisiete estudiantes, veintidós alcanzaron el nivel I, lo que significa que el 81,5% logró analizar correctamente la situación del enunciado, poseen los conocimientos previos necesarios y llegaron a determinar correctamente los datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Tres estudiantes, que representan el 18,5 % del total de la muestra, alcanzaron el nivel II, aunque analizaron la situación del enunciado, su tendencia fue a operar directamente con los datos del problema, no determinando los datos adicionales que necesitaban para la solución del mismo.
Dos de los veintisiete estudiantes quedó en el nivel III, lo que muestra que solo el 11,1 % de los examinados presentó dificultades con el análisis de la situación del enunciado, no posee los conocimientos previos al respecto y presenta dificultades para hallar todos los datos adicionales que les son necesarios.
Indicador 2: Elaboración del plan de solución.
En la evaluación de este indicador se constató que veintiún estudiantes, que representan el 77,8 % del total, alcanzaron el nivel I. Esto muestra que aplicaron los recursos heurísticos y estrategias para la resolución del problema, elaborando un plan de solución análogo a problemas similares planteados anteriormente.
Cuatro estudiantes alcanzaron el nivel II. Estos aunque ponen en práctica procedimientos heurísticos, técnicas o estrategias para la resolución del problema, no analizaron los nexos y relaciones entre los datos del problema y no aplicaron correctamente el significado de las acciones. De esta manera el 14,8 % del total se encuentran en este nivel.
Dos de los integrantes de la muestra se encuentran en el nivel III. Esto significa que no llegaron a poner en práctica los procedimientos heurísticos para la resolución de problemas, tampoco llegaron a analizar las relaciones entre los datos del problema que necesitaban para solucionarlo, estos representan el 14,8 %.
Indicador 3: Asimilación del algoritmo para la ejecución del plan de solución del problema.
La valoración de este indicador, permitió determinar que de los veintisiete estudiantes, diecinueve, que representan el 70,4 % del total, están en el nivel I. Esto significa que logran establecer analogías entre situaciones y modelos anteriores, tienen un manejo del modelo matemático, que corresponde a la situación del problema y aplicaron el significado de las operaciones aritméticas. Estos estudiantes determinaron correctamente el orden de las operaciones de cálculo, en los incisos b) y c) realizaron correctamente la conversión de las unidades de medida.
Seis estudiantes, que representan el 22,2 % del total de la muestra, se encuentran en el nivel II. Esto significa que aunque establecen analogías entre situaciones y modelos anteriores y tienen un manejo del modelo matemático que corresponde a situación del problema, presentan dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas, cometiendo errores de cálculo en las operaciones a realizar.
Dos integrantes de la muestra alcanzaron el nivel III, por lo que se infiere que no establecieron analogías entre las situaciones y modelos anteriores, tampoco tuvo un manejo del modelo matemático que correspondió al problema, presentando dificultades en la aplicación del significado de las operaciones aritméticas.
Estos estudiantes aún no han llegado a asimilar conscientemente el algoritmo para la ejecución del plan de solución del problema. Durante todo el proceso investigativo los mismos manifestaron un desinterés total por la Matemática en general, a ello se une la dependencia absoluta que tienen del profesor y el resto de sus compañeros de aula, para resolver los problemas matemáticos en general.
Indicador 4: Análisis de los resultados.
Una medición de este indicador muestra que dieciocho estudiantes, que representan el 66,7 % del total quedaron en el nivel I, significando que no solo evaluaron la solución del problema, sino también la vía por la que se llegó al resultado del problema, demostrando así tener una visión retrospectiva del proceso. Analizaron las relaciones establecidas en el enunciado y compararon la posible solución estimada fue razonable o absurda.
Siete estudiantes, que representan el 25,9 % obtuvieron el nivel II.
Dos integrantes de la muestra, que representan el 7,4 %, quedó en el nivel III, esto significa que no comprobaron el problema, es decir, que no establecieron relaciones entre el enunciado del problema y las estimaciones previas realizadas. No realizaron una visión retrospectiva de los procedimientos y vías utilizadas para la resolución del problema.
Resumiendo los datos obtenidos con la aplicación de la prueba pedagógica de salida, puede afirmarse que el mayor por ciento de la muestra se encuentran entre el nivel I y ll, manifestando un avance en el nivel de desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética. Las cifras analizadas anteriormente y los datos que ofrece el Anexo 8, lo confirman.
Para corroborar la validez del sistema de ejercicios se realizó además la observación a tres clases de Matemática (Anexo 3) con el objetivo de constatar el nivel en que está -luego de introducida la variable independiente- la habilidad resolución de problemas por vía aritmética. Para otorgar la evaluación a cada uno de los indicadores de las diferentes dimensiones se tuvo en cuenta la escala que aparece en la tabla 2.
Los resultados que arrojó la observación aparecen en el Anexo 9.
Un análisis cualitativo de los datos obtenidos en la observación, permiten aseverar que el mayor por ciento de los integrantes de la muestra se encuentran ubicados en el nivel I y ll, por lo que se infiere que han llegado a:
Analizar la situación del enunciado.
Hallar los datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
Poner en práctica procedimientos heurísticos en la resolución del problema, y aplican distintas técnicas y estrategias.
Analizar los nexos y relaciones entre los datos del problema.
Establecer analogías entre situaciones y modelos anteriores.
Manejar del modelo matemático que corresponde a la situación del problema.
Aplicar el significado de las operaciones aritméticas.
Atendiendo a la dimensión motivacional se pudo observar que el mayor por ciento de los estudiantes manifiesta:
Estar siempre estimulado para resolver los problemas.
Esfuerzo por resolver los problemas.
Interés por alcanzar la respuesta correcta.
Comparación entre los resultados del diagnóstico.
Para realizar el análisis comparativo de los resultados en la evaluación de los indicadores, antes y después de aplicado el sistema de ejercicios dirigidos a elevar el nivel de desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética en los estudiantes del primer año de contabilidad, se elaboraron tablas y gráficos (Anexos11-19) que permitieron arribar a las siguientes conclusiones parciales:
En la dimensión cognitivo-procedimental donde se midieron como indicadores la interpretación de la situación problémica, la elaboración del plan de solución, la asimilación del algoritmo para la ejecución del plan de solución del problema y el análisis de los resultados, doce estudiantes quedaron evaluados en el nivel III inicialmente. Posterior a la introducción de la variable independiente, solo dos estudiantes están evaluados en el nivel III, los que aún manifiestan insuficiencias en los indicadores medidos. Esto significa que veinticinco estudiantes lograron alcanzar los niveles I ó II.
En la dimensión motivacional, donde se midieron como indicadores la motivación para resolver el problema, el esfuerzo por resolverlo y el interés por obtener un resultado, inicialmente estaban en el nivel lll quince estudiantes, ahora solo dos estudiantes se encuentran en este nivel. Esto significa que los restantes veinticinco estudiantes lograron alcanzar los niveles I ó II.
De forma general los gráficos 8 y 9 de los Anexos 18 y 19, donde se comparan los porcentajes por niveles medidos a partir de la Base de datos, durante el inicio y final, se aprecian avances en las dos dimensiones, lo cual corrobora la validez del sistema de ejercicios aplicado a los estudiantes de primer año de Contabilidad del IPE "Jesús Luna Pérez".
Los estudiantes que no lograron alcanzar los niveles deseados en el desarrollo de la habilidad resolución de problemas por vía aritmética, han llegado a reconocer sus errores para resolver estos problemas matemáticos, además de encontrarse con espacios para la reflexión y el debate acerca de cómo proceder para solucionar estas insuficiencias.
Conclusiones
La valoración de los fundamentos teórico-metodológicos referentes al problema objeto de estudio, permite reconocer que la resolución de problemas como habilidad matemática, no puede convertirse en la realización de ejercicios rutinarios, sino en un proceso en que el estudiante haga suyo los modos de acción y se inicie en la sistematización continua de conocimientos y habilidades, incluyendo dentro de estas últimas los procedimientos heurísticos que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas aritméticos.
A partir de la combinación de los instrumentos aplicados, se constató que los estudiantes que conforman la muestra, han acumulado una experiencia cognitivo- afectiva, que constituye una potencialidad que el profesor debe tener presente, sin embargo los conocimientos precedentes que garantizan las condiciones previas para la resolución de problemas aritméticos son insuficientes para el desarrollo de esta habilidad.
La propuesta se caracteriza por el empleo de ejercicios con textos que constituyen un reflejo de las relaciones entre objetos, procesos y fenómenos, los que permiten motivar a los estudiantes al situarlos en contacto con situaciones que reflejan con objetividad la economía, la política y la sociedad, más cercana a su entorno. El sistema de ejercicios permite ejercitarlos para lograr la asimilación del algoritmo dirigido a resolver problemas matemáticos por vía aritmética, mediante la realización de problemas cada vez más complejos.
La aplicación del sistema de ejercicios, en la práctica pedagógica, mostró el paso de los estudiantes de primer año contabilidad del IPE "Jesús Luna Pérez" de Fomento, hacia niveles superiores en el desarrollo de la habilidad resolución de problemas matemáticos por vía aritmética, permitiendo una transformación del problema que se evidenció en que el mayor por ciento de los integrantes de la muestra se encuentran en el nivel I, en los indicadores evaluados. La validación reflejó un cambio cuali-cuantitativo positivo al comparar el estado inicial y final de la variable dependiente.
Recomendaciones
1. Extender esta experiencia a los restantes años de la carrera de contabilidad y otras especialidades de la ETP, así como al preuniversitario y la enseñanza obrera – campesina, reajustándola a las características psicopedagógicas de los estudiantes con que se trabaja.
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Anexos
Anexo 1.
Prueba pedagógica aplicada a los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad del "Jesús Luna Pérez" durante el diagnóstico inicial
Objetivo: Comprobar el estado inicial que presentan los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad del IPE en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética.
Cuestionario:
En 100 m3 de aire hay 21 m3 de oxígeno. ¿Qué por ciento de oxígeno hay en una habitación que contiene 300 m3 de aire?
A 21 % b 300 % c 63 % d_ 7 %
Tres brigadas de una escuela al campo trabajaron el fin de semana
para terminar de recoger un campo de papas y lo lograron. La primera brigada
recoge un tercio del total de sacos, la segunda brigada el 40 % del resto
de los sacos y la tercera recogió 120 sacos. ¿Cuántos
sacos recogieron la primera y la segunda brigada?
Anexo 2.
Resultados de la prueba pedagógica de entrada.
Anexo 3.
Guía de observación.
Objetivo: Constatar el estado en que se encuentran los estudiantes en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética en las clases de Matemática.
Anexo 4.
Resultados de la observación (antes de introducir la variable independiente)
Anexo 5.
Instrumentos aplicados para la medición de los indicadores.
Anexo 6.
Base de datos con los valores de los indicadores en la
etapa inicial.
Anexo 7.
Prueba pedagógica aplicada a los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad del "Jesús Luna Pérez" durante el diagnóstico final.
Objetivo: Comprobar el estado final que presentan los estudiantes de primer año de la especialidad contabilidad del IPE en la habilidad resolución de problemas por vía aritmética.
Cuestionario:
Diamela gastó $ 9. 00 en la compra de sellos que cuestan 0.50 centavos unos y 0.25 centavos otros, el número de sellos que cuestan 0.25 centavos es cuatro veces mayor que los que cuestan 0.50 centavos.
a).- ¿Cuántos sellos de cada clase se compraron? b).- ¿Cuántos sellos hay en total?
c).- ¿Qué % representan los sellos comprados a 0.50 centavos
del total de sellos?
Anexo 8.
Resultados de la prueba pedagógica de salida.
Anexo 9.
Resultados de la observación (después de introducir la variable independiente)
Anexo 10.
Base de datos con los valores de los indicadores en la etapa final.
Anexo 11.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 1, Indicador 1, evaluados al inicio y final.
Tabla 1
Grafico1: Comparación de los porcentajes por niveles
de la escala de la Dimensión 1, Indicador 1.
Anexo 12.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 1, Indicador 2, evaluados al inicio y final.
Tabla 2
Gráfico 2: Comparación de los porcentajes por niveles de la escala de la Dimensión 1, Indicador 2.
Anexo 13.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 1, Indicador 3, evaluados al inicio y final.
Tabla 3
Gráfic preparación de los porcentajes por
niveles de la escala de la Dimensión 1, Indicador 3.
Anexo 14.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 1, Indicador 4, evaluados al inicio y final.
Tabla 4
Gráfico 4: Comparación de los porcentajes
por niveles de la escala de la Dimensión 1, Indicador 4.
Anexo 15.
Tabla y gráfico de comparación entre los
resultados de la Dimensión 2, Indicador 1, evaluados al inicio y final.
Tabla 5
Gráfico 5: Comparación de los porcentajes
por niveles de la escala de la Dimensión 2, Indicador 1.
Anexo 16.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 2, Indicador 2, evaluados al inicio y final.
Tabla 6
Gráfico 6: Comparación de los porcentajes
por niveles de la escala de la Dimensión 2, Indicador 2.
Anexo 17.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la Dimensión 2, Indicador 3, evaluados al inicio y final.
Tabla 7
Gráfico 7: Comparación de los porcentajes
por niveles de la escala de la Dimensión 2, Indicador 3.
Anexo18.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la evaluación de la dimensión cognitivo-procedimental medidos a partir de la Base de Datos durante el inicio y final
Tabla 8.
Gráfico 8: Comparación de los porcentajes por niveles medidos a partir de la Base de Datos durante el inicio y final, en la evaluación de la dimensión cognitivo-procedimental.
Anexo 19.
Tabla y gráfico de comparación entre los resultados de la evaluación de la dimensión motivacional medidos a partir de la Base de Datos durante el inicio y final.
Tabla 9
Gráfico 9: Comparación de los porcentajes por niveles medidos a partir de la Base de Datos durante el inicio y final, en la evaluación de la dimensión motivacional.
Anexo 20.
Guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de Matemática.
Estimado estudiante: Te presentamos a continuación una guía,
que te ayudará a seguir un orden lógico en las acciones que debes
desarrollar para darle solución a los problemas aritméticos.
Para analizar el enunciado:
Después de la lectura cuidadosa del enunciado, debes preguntarte:
¿Cuáles son los elementos del problema que más te han llamado la atención?
¿Has comprendido todas las palabras del enunciado del problema?
¿Lo puedes relacionar con algún concepto, disciplina, experiencia, situación problema anterior?
¿Puedes expresar de qué trata el problema?
¿Debes repetir la lectura del enunciado del problema para comprenderlo?
¿Puedes precisar los elementos del mismo que te generan dificultad en su comprensión?
¿Qué se pide hallar o ya conoces la demanda de la tarea? ¿Se trata de obtener una cosa o varias?
¿Qué datos puedes extraer del problema?
¿Consideras que los datos del problema son suficientes para resolverlo, están de acuerdo con los que has manejado en alguna experiencia previa?
¿Existe alguna relación entre estos datos?
¿Puedes representar estos datos o la situación que se te presenta a través de un gráfico, tabla, etc., que te ayude a resolverlo?
¿Consideras que necesitas para resolver el problema algún dato que no aparece en el mismo?
¿Qué conocimientos matemáticos o de otras disciplinas consideras convenientes para resolver el problema?
¿Conoces algún algoritmo o estrategia para resolver el problema?
Por último, piensa de otra forma o escribe de otra forma el problema, para facilitarte que puedas comprenderlo.
Para generar y diseñar el plan:
Analizado el problema, ¿Consideras qué puedes resolverlo?
¿Has resuelto este problema o alguno muy similar con anterioridad?
¿Podrías determinar de qué tipo de los estudiados es este problema?
En caso de ser afirmativa la respuesta anterior, ¿Qué relación puedes establecer entre ellos? ¿Cuáles son los elementos que los diferencian? ¿Te puede facilitar o servir esta relación para resolverlo?. ¿Puedes auxiliarte en los mismos razonamientos o necesitas considerar algún cambio para obtener su solución?
En caso de ser diferentes, entonces debes considerar: volver sobre tus pasos a las preguntas iniciales y, continuar con las valoraciones siguientes:
De las partes que consideras más fáciles. ¿Podrías resolver alguna parte intermedia, u otra parte?
Trata de representarte una situación similar a la del problema para posibilitar que pueda surgir alguna idea para la solución o trata si es posible de expresarla cuantitativamente y retoma las ideas gráficas. Todos estos elementos analizados con profundidad, en ocasiones pueden sugerir un camino de solución.
¿Conoces algún teorema, fórmula, propiedad, algoritmo que relacione todos los datos?
Recorre las ideas del problema retrospectivamente, suprime lo que te parece innecesario a los datos, en busca de alguna idea.
Si llegas a concluir que no puedes resolver el problema, entonces cuestiónate: puedes probar un nuevo intento de resolución, concluyes que los datos o situación del problema es contradictoria, carente de sentido o difíciles de comprender. En resumen, está fuera de tus posibilidades resolverlo. Entonces, agotados estos recursos, se debe recurrir a algún compañero, material didáctico, libro de texto o al profesor en busca de orientación. En estos casos es recomendable que compare las limitaciones que se te presentaron, con las ideas o sugerencias que incorporaste a partir de las sugerencias que se te plantearon.
Para ejecutar el plan:
Antes de iniciar la resolución del problema, revisa nuevamente los datos, las unidades en que están expresados y los conceptos, ideas, estrategias, modelo que aplicarás. Trata de superar las dificultades que puedan aparecer.
Si te encuentras alguna dificultad, regresa al principio de la situación, rectifica los posibles errores e intenta de nuevo.
Si te encuentras con situaciones muy difíciles, valora otra vía de solución, o si se requiere de un dato adicional para continuar.
Si consideras por terminada la tarea de solución del problema, revisa nuevamente todos los elementos considerados en su solución, antes de pasar a validar la respuesta obtenida.
Para revisar y evaluar la ejecución:
Cuando consideres concluido el problema, nunca te plantees definitivamente que todo esta correcto. Recorre antes todo el proceso, cerciorándote paso a paso de que no cometiste errores.
Escribe ordenadamente y con claridad todo el proceso de resolución seguido, destaca entre cuadros o subraya lo que consideres más importante, partiendo del enunciado comprueba que la respuesta obtenida es la que se te pide, para esto:
Valora si la solución del problema es lógicamente posible, es decir, si tiene sentido en el contexto del problema.
Añade a la solución del problema una explicación literal breve que indique lo que has hallado.
Valora si es posible obtener otro resultado o solución, si se puede resolver de otra forma o con un enfoque más general.
Intenta explicar el problema a otra persona.
Utiliza la experiencia y conocimientos adquiridos en el planteamiento y solución de nuevos problemas.
Anexo 21.
Ejemplos de problemas resueltos aplicando algunas de las técnicas explicadas en el capítulo 1.
Ejemplo 1:
Juan tenía $20.00 y compró varios artículos por $ 8.57. Si todavía tiene $ 5.50 más que su hermana. ¿Cuánto tiene la hermana?.
Para la solución nos hemos apoyado en la modelación lineal en este caso de la siguiente forma
¿Qué necesito saber para resolver el problema?
¿Cuanto más tenía Juan que la hermana al principio? ( el exceso), como no o tengo, determino el problema auxiliar para hallar el exceso:
¿En cuánto excede lo que tenía Juan a lo de su hermana?
$ 8.57+$ 5.50 = $14.07
La situación ahora es que conozco lo que tenía Juan y el exceso de Juan sobre su hermana, luego puedo saber lo de la hermana restando: $ 20.00- $14.07 = $5.93 Ejemplo 2
Dice Armando que tiene 50 ¢ en 13 monedas de 5 ¢ y 2¢. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo?
Veamos dos formas de proceder utilizando en ambos caso en tanteo y una modelación tabular muy útil para esta técnica.
Primera forma: Considero el mayor número posible de monedas de 2 ¢ (12 monedas) y voy probando. Ver esquema
Esta idea de que aumenta de tres en tres es desde el principio, pues el aumento es de 5 ¢ – 2 ¢ = 3 ¢ y puede llegar rápidamente a la solución
Segunda forma: Considero el mayor número posible de
monedas de 5¢ que son 9 (más de nueve no cumple la condición)
Aquí se puede llegar más rápido a la solución si se dan cuenta de que las monedas de 2 ¢ tienen que ser múltiplos de 5 y, entonces sólo hay dos cosas que probar:
5 monedas o 10 monedas de a 2¢
Ejemplo 3
En una empresa farmacéutica se producen pastillas. Una caja llena pesa 230 g y vacía pesa 70 g. ¿Cuántas pastillas contiene la caja si cada pastilla pesa 2g?
Este problema se puede resolver investigando primero cuanto pesan las pastillas en total (problema auxiliar 320g-70g = 160 g.
Después como se tiene el peso total y lo que pesa cada caja se puede saber la cantidad que hay: 160: 2 = 80 pastillas
Si quiere comprobar, se puede considerar como dato que son 80 las pastillas y cada una pesa 2 g.
Como la caja pesa 70 g, se debe obtener lo que pesa la caja llena, si coincide con el dato originalmente es correcto lo que se hizo
80.2g = 160 g
Ejemplo 4
Dos autos salen a las 9 a.m. de dos puntos, A y B (B está al este de A); distan entre ellos 60 Km. y van ambos hacía el este. El de A va a 25 Km. /h y el de B a 15 Km./h
¿A qué hora se encuentran y a que distancia de A y B ?
El objetivo de este ejercicio es explicar el procedimiento siguiendo a as tres fases en la solución de problemas
Lo leo y no lo comprendo, lo vuelvo a leer y me apoyo en una modelación lineal que es lo más aceptable por la naturaleza del problema.
En la modelación lineal plasma todos los datos incluyendo las incógnitas
Primero: Hora del encuentro, y a qué distancia de A y de B se produce el encuentro en forma de interrogación.
¿Cómo puedo resolverlo?
Analizando el modelo me doy cuanta que la diferencia del camino recorrido entre los dos en cada hora es de 25 Km.- 15 Km. = 10 Km. o resuelvo, por analogía.
Luego para alcanzarlo en los 60 Km que los separa decorarían 6 h, o sea, dividiendo ambas magnitudes, por tanto si salieron a las 9 am se encontraron a las 3 PM.
Analizo: Si A, va a 25 Km. /h en 6 h a recorrido 25.6 = 150 Km distancia
de B es
15.6 = 90 Km.
Analizo la situación a través del control
¿Es correcto lo que hice? R/ sí
¿Existe otra vía ?R/ Sí, aplicando la Física
Aplico técnicas de la comprobación para concluir la solución del problema.
Ejemplo 5
La edad de un padre y la de su hijo suman 90 años, si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años. ¿Cuáles son sus edades?
R/ 1- Para la interpretación leo y releo y pruebo la modelación lineal, identifico los datos y las variables.
P—padre.
P1 y P2 partes de la edad del padre. H—hijo.
36 diferencia entre las edades de P y H.
Otra vía.
90 +36 = 126. (Duplo de la cantidad mayor) 2 P = 126 P = 63
Otra vía. (Algebraica) ecuación lineal.
(36 + H) + H = 90 36 + 2 H = 90 2 H = 90 – 36 2 H = 54 H = 27
Edad del hijo. Edad del padre, P = 36 + H P = 36 + 27 P = 63.
Otra vía. (Sistema de ecuaciones lineales)
P + H = 90 Donde 2 P = 126 P = 63 y 63 + H = 90 H = 27 P – H = 36
Otra vía. (Por tanteo inteligente)
Edad del Padre (P) | Edad del hijo (H) | Diferencias de edades (36) | Suma de la edades (P + H) |
54 | 36 | 18 (no) | 90 |
58 | 32 | 26 (no) | 90 |
62 | 28 | 34 (no) | 90 |
64 | 26 | 38 (no) | 90 |
63 | 27 | 36 (si) | 90 |
La estrategia es ir aumentando de una cantidad en otra e ir diminuyendo la edad del hijo para ir acotando la solución.
Visión perspectiva de problema.
La suma de dos números más su diferencia es igual al duplo del mayor. (90 + 36) = 2 (mayor).
La suma de dos números menos su diferencia es igual al duplo del menor. (90 – 36) = 2 (menor).
DEDICATORIA
A mis padres, que siempre me orientaron hacia el estudio.
A mi esposo, hijo y hermana, sin los cuales hubiera sido imposible llegar al final de este trabajo.
A todos mis compañeros que han contribuido a esta faena. A la Revolución Cubana, por brindarme la posibilidad de continuar superándome.
AGRADECIMIENTOS
A mis padres que desde el más allá me incitaron y apoyaron en los momentos difíciles,
A mi esposo, por estar siempre a mi lado.
A mi hijo, por el cariño y el amor que me brinda.
A mi hermana, cuñado y sobrinas por poder contar siempre con ellos.
A mis amistades, quienes me escucharon y se dotaron de paciencia en mis momentos de paranoia.
A mis compañeros de trabajo, por tenderme la mano de forma incondicional.
A todos los que de una forma u otra me han prestado alguna ayuda por pequeña que parezca.
A todos mi eterno agradecimiento.
Muchas gracias.
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
Autor:
Lic. Aracelis Josefa Bonachea Endemaño.
FOMENTO.
2009
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