Impulsados por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas exactos de grandes áreas, la trigonometría pasó a ser una importante rama de las matemáticas.
La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus (1436-1476) se publicó en 1533. Éste contribuyó igualmente a la introducción de los números arábigo-hindues y de algunos simbolismos no muy diferentes a los usados hoy día.
Siglo XV
Hacia finales del siglo XVI Europa Occidental ya había recuperado, difundido y asimilado la mayor parte de las obras matemáticas de la antigüedad que se han conservado hasta hoy.
También, había asimilado los conocimientos aritméticos del mundo árabe y había iniciado el estudio de la resolución de las ecuaciones cúbicas y cuartas .
La época ya estaba madura para llevar a cabo rápidos avances que superarán las contribuciones tanto antiguas como medievales y renacentistas.
Siglo XVI
hizo importantes contribuciones a la aritmética, álgebra y geometría.
En la época de Viète el álgebra, derivada de la aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas y se necesitaban razonamientos geométricos para justificar métodos algebraicos,
pero como
Novedad: Propone la utilización del álgebra para resolver problemas.
François Viète ( o Vieta) (1540-1603)
A partir de 1591, Viète, que era muy rico, empezó a publicar a sus expensas la exposición sistemática de su teoría matemática, a la que llama logística especiosa (de specis: símbolo) o arte del cálculo sobre símbolos.
Se anotan todas las magnitudes presentes, así como sus relaciones, utilizando un simbolismo adecuado que Viète había desarrollado. (notación complicada)
Se resume el problema en forma de ecuación (etapa zetética).
Escribe las magnitudes conocidas como consonantes (B, D, etc.) y las magnitudes desconocidas como vocales (A, E, etc.).
François Viète
2. El análisis porístico permite transformar y discutir la ecuación. Se trata de encontrar una relación característica del problema, la porisma, a partir de la cual se pueda pasar a la siguiente etapa.
3. El análisis rético, volvemos al problema inicial del que exponemos una solución por medio de una construcción geométrica basada en la porisma.
Entre los problemas que Viète aborda con este método, hay que citar la resolución completa de las ecuaciones de segundo grado de forma ax2 + bx = c y de las ecuaciones de tercer grado de forma x3 + ax = b con a y b positivos.
François Viète
Fue uno de los primeros que utilizó la palabra «análisis» como sinónimo de «álgebra», y fue uno de los primeros analistas en el sentido más moderno del que estudia procesos infinitos.
Fue el primero que dio una expresión numérica para que era teóricamente exacta bajo la forma de un producto infinito que puede escribirse como
François Viète
John Neper (1550-1617), hacendado escocés, Barón de Murchiston, administraba sus extensas propiedades y aprovechaba el tiempo para escribir sobre temas variados. Sólo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática, principalmente los relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría.
Observó que las sucesiones de potencias enteras de una base entera, no resultaban útiles para el cálculo debido a los grandes huecos que existen entre los términos sucesivos y que hacen la interpolación demasiado imprecisa .
Siglo XVI
Para solucionar el problema basta tomar las potencias enteras de un número muy próximo a uno.
Neper decidió tomar como base
Ciertamente los términos de la progresión (decreciente) de potencias enteras crecientes, están muy próximos entre sí;
J. Neper
Para conseguir un cierto equilibrio y evitar el uso de decimales, multiplicó Neper todas las potencias por 10^7. Así consideró
Los valores del exponente L fueron inicialmente llamados «números artificiales», pero más tarde se decidió por la palabra logaritmo,
palabra compuesta de las dos palabras griegas logos (o razón) y arithmos (o número).
J. Neper
Así pues L será el “logaritmo” de Neper del número N (que él llama «seno»). Nótese que si L=10^7, el valor de N/10^7 no se diferencia mucho de
Esto es, si dividiéramos, tanto los números (N) considerados como sus logaritmos (L), por 10^7, tendríamos prácticamente un sistema de logaritmos de base 1/e (log_(1/e)(A)= – ln (A)).
J. Neper
Sea un segmento AB y una semirrecta CD E dados .
Sea un punto P que parte de A y se mueve a lo largo de AB con velocidad variable que decrece en proporción a su distancia a B. Supongamos que un punto Q parte al
mismo tiempo de C y se mueve a lo largo de la semirrecta CDE con velocidad uniforme igual a la velocidad inicial del punto P.
Neper llama a la distancia CQ el logaritmo de la distancia P B.
Principios geométricos
Llamando x=PB e y= CQ y si AB y la velocidad inicial de P igual a 10^7, entonces, tenemos
x’(t)=-x, y’(t)= 10^7, x_o = 10^7 , y_o =0.
Dado que y’(t)=y’(x).x’(t), tenemos que
y’(x)= – 10^7/x , y por tanto
y=-10^7 ln (cx),
donde la constante c= 10^(- 7) se determina partir de las condiciones iniciales.
así pues,
y/10^7=log_(1/e) (x/10^7)
Esto es, CQ=y=N y PB=x=L
Equivalencia de las definiciones
Si
El logaritmo de N_1.N_2 no es igual a la suma de L_1 y L_2, sino de N_1N_2/10^7, ya que
Pero, estas diferencias se refieren únicamente a un corrimiento de la coma decimal, según los casos
Por ejemplo si N=10^7 entonces L=0
log 10^7=0
J. Neper
Observó que todos los números (él los llama «senos») en la razón de 2 a 1 tienen una diferencia entre sus logaritmos de 6.931.469,22, mientras que los que están en la razón 10 a 1 tienen como diferencia de logaritmos 2 3. 025.842, 34.
En estas diferencias podemos ver, sí corremos adecuadamente la coma decimal, los logaritmos naturales de 2 y de 10. Por lo tanto, resulta razonable utilizar el nombre de «neperianos» para los logaritmos naturales, incluso a pesar de que estos logaritmos no son exactamente los que inventó Neper.
J. Neper
Toma como base 1+10^(-4), multiplica por 10^8 y los exponentes por 10.
Llama a 10L el número rojo correspondiente al número negro N.
Si dividiéramos en este sistema todos los números negros por 10^8 y todos los números rojos por
10^5, tendríamos virtualmente un sistema de logaritmos naturales.
J. Bürgi (1552-1632): Logaritmos naturales
En 1616, Henry Briggs (1561-1630) visitó a Neper en Edimburgo, con el motivo de discutir la sugerencia de cambiar los logaritmos de Neper para que el logaritmo de uno fuese cero y el logaritmo de diez fuese uno. Recuérdese que el logaritmo de 10^7 será 0
Con este dato, Briggs fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivamente. De que (raíz de 10) =3,162277 obtiene que: log 3,162277= 0.5
Así calculó otros logaritmos.
En 1624 publicó los logaritmos del 1 al 100.000, siempre con 14 cifras decimales.
Estos logartimos sí gozan de las propiedades usuales.
Logaritmos
Tanto S. Stevin como J. Kepler y G. Galilei necesitaban para sus problemas prácticos los métodos de Arquímedes, pero todos ellos querían evitar las sutilezas lógicas del método exhaustivo.
Fueron en gran medida las modificaciones resultantes de los antiguos métodos infinitesimales las que condujeron finalmente al cálculo infinitesimal propiamente dicho,
El análisis infinitesimal
Stevin, ingeniero de Brujas, demostró que el centro de gravedad de un triángulo está situado sobre una mediana.
Inscríbanse en el triángulo en cuestión ABC un cierto ' número de paralelogramos de la misma altura y cuyos lados sean dos a dos paralelos a la base del triangulo uno de los lados y a la mediana trazada desde el vértice opuesto a este lado.
Simon Stevin (1548-1620),
Inscribamos en el triángulo una cantidad, infinita de tales paralelogramos, y como a mayor número de paralelogramos menor será la diferencia entre la figura inscrita y el triángulo.
Usando el principio arquimediano de que figuras bilateralmente simétricas están en equilibrio.
La conclusión que se impone es la de que el centro de gravedad del triángulo debe estar situado sobre la mediana
S. Stevin
En su Astronomia Nova del año 1609 anunció sus leyes astronómicas
1º Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos que contiene la elipse.
2ª ley astronómica: “el radio vector que va desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”.
Kepler necesitaba la idea de infinitos elementos infinitamente pequeños para aplicarlos a la astronomía, especialmente en conexión con sus órbitas elípticas .
Johan Kepler (1571-1630)
Para demostrar su 2ª ley, supuso que el área en cuestión estaba formada por triángulos infinitamente pequeños con un vértice en el Sol y los otros dos vértices en puntos infinitamente próximos sobre la órbita del planeta.
Con éste método pudo calcular distintas áreas.
Johan Kepler
Por ejemplo, el área del círculo puede calcularse de esta manera teniendo en cuenta que las alturas de los triángulos:
Infinitamente estrechos son «casi iguales» al radio del círculo.
La suma de las b_i coincide con la longitud l_c de la circunferencia C, el área A vendrá dada por la fórmula
A = 1/2 l_c r =pr²
Johan Kepler
Entonces, siguiendo a N. Oresme, podemos considerar el área de la elipse y el área del círculo como formadas por todas las ordenadas correspondientes a los puntos de ambas curvas,
pero como la razón de las componentes de estas dos áreas es la razón constante b/a , las áreas totales deben estar en la misma razón,
Johann Kepler
Dado que el área del círculo es pa², entonces el área de de la elipse
área= pab ,
Este resultado es correcto, pero en lo que se refiere a la longitud de elipse lo único que pudo hacer Kepler fue dar la fórmula aproximada
l=p(a+b)
Johann Kepler
Kepler pasó a ocupar el puesto de matemático del emperador Rodolfo II. Una de sus obligaciones era la de redactar horóscopos;
El año 1612 había sido un año de vino excepcionalmente bueno, y Kepler consideró un método general para el cálculo de volúmenes que consistía en considerar los sólídos como compuestos de una cantidad infinita de elementos de volumen infinitesimalmente pequeños, y proceder entonces de una manera idéntica a como hemos explicado más arriba para el cálculo de áreas.
Johann Kepler
Galileo escudriña los cielos con su telescopio y hace rodar bolas por planos inclinados.
Los resultados de los estudios de Galileo fueron dos famosos tratados, uno de ellos astronómico y el otro físico, y aunque no eran estrictamente de tipo matemático, se hacen en ambos muchas consideraciones matemáticas, y frecuentemente éstas se refieren a las propiedades de lo infinitamente grande y de lo infinitamente pequeño.
G. Galileo (1564-1642)
Estas obras son diálogos, en la primera acerca de los méritos relativos las dos concepciones del universo, la ptolemaica y la copernicana, diálogo que sostienen tres amigos: Salviati (un intelectual bien informado científicamente), Sagredo (un inteligente profano en la materia) y Simplicio (un obtuso aristotélico).
G. Galileo (1564-1642)
En la segunda el autor utiliza a veces lo infinitamente pequeño de una manera que roza lo caprichoso, como cuando Salviati intenta convencer a Simplicio, de que es igual de fácil dividir un segmento en un número infinito de partes que en un número finito.
En primer lugar consigue que Simplicio admita que uno no necesita para ello separar las partes, sino simplemente señalar los puntos de división. Si, por ejemplo, doblamos un segmento para formar un cuadrado o un octógono regular, hemos conseguido evidentemente dividirlo en cuatro o en ocho partes iguales.
G. Galileo (1564-1642)
Salviati saca entonces la conclusión de que si doblamos el segmento dándole la forma de una circunferencia, entonces
«hemos reducido a una presencia actual aquel número infinito de partes que según vos afirmabais, estaban contenidas en el segmento sólo potencialmente, mientras estaba recto»,
ya que la circunferencia es lo mismo que un polígono de un número infinito de lados.
Galileo
Salviati hace observar a Simplicio que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre
todos los números naturales y los cuadrados perfectos
Por medio del sencillo truco de ir contando los cuadrados perfectos, cada número natural queda inevitablemente asociado a uno y sólo un cuadrado perfecto y viceversa.
Galileo, del infinito en geometría al infinito en aritmética
Galileo se ve aquí cara a cara con la propiedad fundamental de un conjunto infinito:”
una parte propia puede tener el mismo número de elementos que el conjunto total”.
No saca esta conclusión, sino que llega incluso a afirmar que no podemos decir que un número infinito es mayor que otro número infinito, y ni siquiera que un número infinito es mayor que un número finito.
Galileo
Discípulo aventajado de Galileo, jesuato que vivió en Milán y en Roma antes de ocupar el cargo de profesor de matemáticas en Bolonia en 1629, escribió sobre aspectos muy diversos tanto de matemática
pura como aplicada, geometría, trigonometría, astronomía, óptica, etc.
Fue el primer matemático italiano que apreció en todo su valor los logaritmos. En su obra Directorium 'universale uranometricum de 1632 publicó tablas de senos, tangentes, secantes y senos cosenos, junto con sus logaritmos, con ocho cifras decimales.
B.Cavalieri (1598-1647)
Puede ser considerado como uno de los precursores del análisis infinitesimal moderno ya que no sintió ningún escrúpulo acerca de las obvias deficiencias lógicas que se escondían detrás de tales métodos, al contrario que había hecho Arquímedes.
La idea central su obra “La Geometria indivisibilibus continuorum (1635)”,
Un área se puede considerar formada por segmentos rectilíneos o «indivisibles», y que un volumen sólido se puede considerar análogamente como compuesto de secciones o áreas que son indivisibles ' o volúmenes «quasi-atómicos» .
B. Cavalieri
El planteamiento general del método de los indivisibles viene expresado con toda claridad en el “Principio de Cavalieri”:
Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen.
B. Cavalieri
En estos indivisibles está también el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción rigurosa moderna de paso al límite. Así probó la fórmula
En el enunciado y demostración de Cavalieri se comparaban potencias de segmentos que son paralelos a la base en un paralelogramo, con las correspondientes potencias de los segmentos en uno cualquiera de los
dos triángulos en que una diagonal divide el paralelogramo.
Cavalieri
Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos triángulos por la diagonal CF
y sea HE un indivisible del triángulo CDF que es paralelo a la base CD.
Entonces, tomando BC = EF y trazando BM paralela a CD es fácil ver que el indivisible BM en el triángulo A CF será igual al HE en el CDF.
Cavalieri
Sea AFDC el paralelogramo dividido en dos triángulos por la diagonal CF
Por lo tanto, podemos poner en correspondencia biunívoca los indivisibles del triángulo CDF con indivisibles iguales dos a dos del triángulo ACF, y en consecuencia los dos triángulos son iguales.
Cavalieri
Dado que el paralelogramo es la suma de los indivisibles en los dos triángulos, resulta claramente que la suma de las primeras potencias de los segmentos en uno de los dos triángulos es la mitad de la suma de las primeras potencias de los segmentos en el paralelogramo;
.
Cavalieri
Utilizando un razonamiento análogo, consigue demostrar en su obra posterior “Exercitationes geometricae sex” de 1647, la importante generalización de que para las potencias n-ésimas en general de dichos segmentos, la razón ha de ser 1/n+1 .
Bibliografía:
1. Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Ed. Alianza Universidad Textos. Madrid, 1986 .
2. M. Kline. Mathematical thought from ancient to modern times.Oxford University Press, New York, 1972. Versión española en Alianza Editorial Madrid, 1992.
Cavalieri
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