CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A
B
1
7
5
3
9
2
4
8
6
?
?
?
Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOS
Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo:
F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }
Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos.
{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F
¿ Es correcto decir que {b} F ?
NO
Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo correcto es {b} F
CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Sea A = { m;n;p }
Los subconjuntos de A son
{m},
{n},
{p},
{m;n},
{n;p},
{m;p},
{m;n;p},
F
Entonces el conjunto potencia de A es:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};F }
¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?
Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y su conjunto potencia osea P(A) tiene 8 elementos.
PROPIEDAD:
Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2n.
Ejemplo:
Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
N
Z
Q
I
R
C
CONJUNTOS NUMÉRICOS
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A )
B )
C )
D )
E )
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
7
6
5
5
6
UNION DE CONJUNTOS
A
B
El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
Ejemplo:
9
8
7
3
1
4
2
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables
Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
B
AUB
AUB
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
1. A ? A = A
2. A ? B = B ? A
3. A ? F = A
4. A ? U = U
5. (A?B)?C =A?(B?C)
6. Si A?B=F ? A=F ? B=F
7
6
5
5
6
A
B
El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
Ejemplo:
9
8
7
3
1
4
2
INTERSECCION DE CONJUNTOS
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables
Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
A?B
A?B=B
B
A?B=F
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
1. A ? A = A
2. A ? B = B ? A
3. A ? F = F
4. A ? U = A
5. (A?B)?C =A?(B?C)
6. A?(B?C) =(A?B)?(A?C)
A?(B?C) =(A?B)?(A?C)
7
6
5
5
6
A
B
El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
Ejemplo:
9
8
7
3
1
4
2
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
7
6
5
5
6
A
B
El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
Ejemplo:
9
8
7
3
1
4
2
¿A-B=B-A?
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables
Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
A – B
A – B
B
A – B=A
7
6
5
5
6
A
B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).
Ejemplo:
9
8
7
3
1
4
2
DIFERENCIA SIMETRICA
También es correcto afirmar que:
A
B
A-B
B-A
A
B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
A ={1;3; 5; 7; 9}
y
Simbólicamente:
A’ = U – A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
U
A
A
A’={2;4;6,8}
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
2. A?A’=U
3. A?A’=F
4. U’=F
5. F’=U
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMA 4
PROBLEMA 5
FIN
Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; … ;34}
B = { 2 ;4;6;…;26}
C = { 3; 7;11;15;…;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A ? B , C – A
1
Los elementos de A son:
Primero analicemos cada conjunto
(Gp:) …
A = { 1+3n / n?Z ? 0 ? n ? 11}
Los elementos de B son:
(Gp:) …
B = { 2n / n?Z ? 1 ? n ? 13}
n(B)=13
n(A)=12
Los elementos de C son:
(Gp:) …
C = { 3+4n / n?Z ? 0 ? n ? 7 }
a) Expresar B y C por comprensión
B = { 2n / n?Z ? 1 ? n ? 18}
C = { 3+4n / n?Z ? 0 ? n ? 7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C)=8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Hallar: A ? B , C – A
A ? B = { 4;10;16;22 }
C – A = { 3;11;15;23;27 }
Sabemos que A ? B esta formado por los elementos comunes de A y B,entonces:
Sabemos que C – A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces:
Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }
Determinar si es verdadero o falso:
a) F ? G
b) {3} ? G
c) {{7};10} ?G
d) {{3};1} ? G
e) {1;5;11} ? G
2
Observa que los elementos de A son:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Entonces:
es VERDADERO porque F esta
incluido en todo los conjuntos
es VERDADERO porque {3}
es un elemento de de G
es FALSO porque {{7};10}
no es elemento de G
es FALSO
a)F ? G ….
b) {3} ? G …
c) {{7};10} ?G ..
d) {{3};1} ? G …
e) {1;5;11} ? G …
Dados los conjuntos:
P = { x ?Z / 2×2+5x-3=0 }
M = { x/4?N / -4< x < 21 }
T = { x ?R / (x2 – 9)(x – 4)=0 }
a) Calcular: M – ( T – P )
b) Calcular: Pot(M – T )
c) Calcular: (M ? T) – P
3
P = { x ?Z / 2×2+5x-3=0 }
Analicemos cada conjunto:
2×2 + 5x – 3 = 0
(Gp:) 2x
(Gp:) – 1
(Gp:) + 3
(Gp:) x
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(2x-1)(x+3)=0
2x-1=0 ? x = 1/2
x+3=0 ? x = -3
Observa que x?Z , entonces:
P = { -3 }
M = { x/4?N / -4< x < 21 }
Como x/4 ? N entonces los valores de x son : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos de M se obtienen dividiendo x entre 4,por lo tanto :
M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
T = { x ?R / (x2 – 9)(x – 4)=0 }
Cada factor lo igualamos a cero y calculamos los valores de x
x – 4 = 0 ? x = 4
x2 – 9 = 0 ? x2 = 9 ? x = 3 o x =-3
Por lo tanto:
T = { -3;3;4 }
a) Calcular: M – ( T – P )
T – P = { -3;3;4 } – { -3 } ? T – P = {3 ;4 }
M – (T –P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } – {3 ;4 }
M – (T –P)= {1 ; 2 ; 5 }
b) Calcular: Pot( M – T )
M – T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } – { -3;3;4 }
M – T = {1 ; 2 ; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5};
{1;2};
{1;5};
{1;2;5};
{2;5};
F }
c) Calcular: (M ? T) – P
M ? T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } ? { -3;3;4 }
M ? T = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
(M ? T) – P = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } – { -3 }
(M ? T) – P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
4
Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.
(Gp:) A
(Gp:) B
(Gp:) C
(Gp:) A
(Gp:) B
(Gp:) C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
[(A?B) – C]
[(B?C) – A]
[(A?C) – B]
A
B
A
B
C
Observa como se obtiene la región sombreada
Toda la zona de amarillo es A?B
La zona de verde es A?B
Entonces restando se obtiene la zona que se ve en la figura : (A?B) – (A?B)
C
Finalmente le agregamos C y se obtiene:
[ (A?B) – (A?B) ] ? C
( A ? B ) ? C
=
Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C,los que ven por lo menos 2 canales son 230¿cuántos ven los tres canales?
5
El universo es: 420
Ven el canal A: 180
Ven el canal B: 240
No ven el canal C: 150
Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270
A
B
C
a
d
(I) a + e + d + x =180
b
e
x
f
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
(I) a + e + d + x =180
(II) b + e + f + x = 240
(III) d + c + f + x = 270
Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420
???
230
entonces : a+b+c =190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690
?????
???
190
230
190 + 560 + x =690
?
x = 40
Esto significa que 40 personas ven los tres canales
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