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Errores y análisis numérico




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2

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    En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los:
    MÉTODOS NUMÉRICOS
    Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA
    MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar
    APROXIMACIÓN
    SOLUCIÓN ANALÍTICA: Puede NO tener
    Puede ser DIFÍCIL o COSTOSA (objetivos)
    MÉTODOS NUMÉRICOS
    Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL

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    MÉTODO NUMÉRICO
    Resolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES.
    OBJETIVO
    (Gp:) Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema.
    (Gp:) ALGORITMO
    (Gp:) RECORDEMOS

    (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO
    (Gp:) Es un
    (Gp:) ALGORITMO
    (Gp:) diseñado para dar respuesta
    (Gp:) problema con una PRECISIÓN prescripta.
    (Gp:) NUMÉRICA
    (Gp:) a un
    (Gp:) DIREMOS

    (Gp:) CÁLCULO NUMÉRICO
    (Gp:) EVALÚA los
    (Gp:) MÉTODOS NUMÉRICOS
    (Gp:) diseñados.
    (Gp:) OBJETIVO

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    El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera.
    DIREMOS
    ¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución “exacta”) son los resultados?
    O
    ¿Qué tanto ERROR se ha introducido?
    (Gp:) NOS PREGUNTAMOS
    (Gp:) Si el cálculo aproxima a la solución “exacta”:

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    (Gp:) TRATAMIENTO INFORMACIÓN
    (Gp:) RESUMIMOS

    (Gp:) ENTRADA
    INFORMACIÓN
    (Gp:) PROCESO
    INFORMACIÓN
    (Gp:) SALIDA
    INFORMACIÓN

    NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES
    (Gp:) DATOS
    (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO
    (Gp:) RESULTADOS

    FUENTES DE ERROR
    Distintos ERRORES en cada ETAPA.
    (Gp:) ERROR

    (Gp:) ERROR

    (Gp:) ERROR

    Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL.
    ¿Cómo MEDIMOS el ERROR?

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    MAGNITUD DEL ERROR
    CUANTIFICAMOS el ERROR:
    Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor real, entonces:
    e = | VA – VV |
    eR = | ( VA – VV ) / VV | con la condición VV ? 0
    ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO
    ERROR ABSOLUTO
    ERROR RELATIVO ABSOLUTO
    eP = 100.| ( VA – VV ) / VV |(%) con la condición VV ? 0

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    CIFRAS SIGNIFICATIVAS
    EJEMPLOS
    MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO
    (Gp:) Siendo VA una aproximación de VV (de la definición de ERROR RELATIVO)
    (Gp:)
    Si d es el mayor número natural tal que | ( VA – VV ) / VV | < 10-d/2

    VA es una aproximación a VV con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS
    (Gp:) VA = 3.14 y VV = 3.141592 ?
    (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000507 < 10-2/2

    VA es una aproximación a VV con 2 cifras significativas.
    (Gp:) VA = 999 996 y VV = 1 000 000 ?
    (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.000004 < 10-5/2

    VA es una aproximación a VV con 5 cifras significativas.
    (Gp:) VA = 0.000012 y VV = 0.000009 ?
    (Gp:) |(VA – VV)/VV| = 0.25 < 10-0/2

    VA es una aproximación a VV con 0 cifras significativas.

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    (Gp:) PROCESO
    (Gp:) MÉTODO NUMÉRICO
    (Gp:) ALGORITMO COMPUTACIONAL

    FUENTES DE ERROR
    ERRORES
    ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo).
    (Gp:) Tiempo

    ERROR DE REDONDEO (espacio).
    ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO.
    Es decir:
    TIEMPO FINITO (ALGORITMO)
    ESPACIO FINITO (COMPUTADORA)
    (Gp:) INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL
    (Gp:) Introducimos restricciones:

    (Gp:) Espacio

    RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.

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    FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
    ERROR DE TRUNCAMIENTO

    SURGEN debido a la limitación en TIEMPO.
    Debemos realizar un número finito de acciones.

    EJEMPLOS:
    Evaluar funciones con la Serie de Taylor.
    Proceso iterativo convergente.
    Evaluar por intervalos.
    Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS.
    NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO
    TRUNCAR

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    FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
    ERROR DE REDONDEO

    SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio).
    Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos.
    En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA.

    X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10n , 1=d1=9 y 0=di=9

    d1 d2 d3 …. dm: mantisa n: exponente

    Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n

    Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.

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    El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777
    Errores
    REDONDEO TRUNCADO
    REDONDEO SIMÉTRICO
    El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4.
    Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene

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    ERROR NUMÉRICO TOTAL
    ERROR NUMÉRICO TOTAL
    Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo.
    DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA
    ERROR DE TRUNCAMIENTO
    ERROR DE REDONDEO
    Error de truncamiento
    Significa
    número de operaciones
    Error de redondeo

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    There are 10 types of people in the world:

    those who understand binary

    and

    those who don't.
    2

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