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Modelos Autorregresivos de Media Móvil




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2


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    Proceso Ruido Blanco
    Una secuencia de variables aleatorias {at } tal que
    . . . .
    1 2 3 4 k

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    La Descomposicion de Wold
    Sea {Zt} una serie temporal estacionaria y no deterministica. Entonces

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    Algunos Notas sobre la Descomposicion de Wold

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    Que no dice la descomposición de Wold?
    at no tiene por que seguir una distribucion normal y por tanto no tiene por que ser iid
    Aunque P[at|Zt-j]=0, esto no implica que E[at|Zt-j]=0 (piensa en las posibles consecuencias!!!!)
    Los shocks a no necesitan ser los “verdaderos” del sistema. Cuando lo serán????
    La unicidad del resultado solo dice que la representacion de Wold es la unica representacion lineal donde los shocks son errores de prediciones. Representaciones no-lineales o representaciones en terminos de errores que no sean de prediccion son perfectamente posibles.

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    Ejemplo de lineal versus no-lineal
    Suponga que Yt=Xt2 + Zt con Xt y Zt N(0, 1) e independientes entre ellas.
    La mejor prediccion dado Xt es E[Yt|Xt]=Xt2.
    La mejor prediccion lineal o projeccion lineal dado Xt es
    a + b Xt donde se puede comprobar que a=1 y b=0.
    Si calculamos el error cuadratico medio de las dos predicciones:
    E[Yt-Xt2]2=E[Zt]2 =1
    E[Yt-1]2=E[Xt4]+E[Zt]2-1=3
    Que prediccion es mejor?
    .

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    Nacimiento de los modelos ARMA
    Bajo condiciones generales, el polinomio de retardos infinito de la descomposicion de Wold puede ser aproximado por el cociente de dos polinomios de retardos finitos:

    Entonces

    AR(p)
    MA(q)

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    Procesos MA(1)
    Sea
    un ruido blanco de media cero
    Esperanza
    Varianza
    Autocovarianza

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    Proceso MA(1) (cont)
    Autocovarianzas de ordenes mayores
    Autocorrelacion

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    Proceso MA(1) (cont)
    MA(1) es un proceso estacionario en covarianzas porque
    MA(1) es ergodico porque
    Si fuera Gaussiano, entonces seria ergodico para todos los momentos

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    Grafico de la funcion
    1
    -1
    0.5
    -0.5
    Ambos procesos comparten
    la misma funcion de autocorrelacion
    MA(1) no es identificable, excepto para

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    Invertibilidad
    Definición: Un proceso MA(q) definido por la ecuación
    se dice que es invertible si existe una secuencia de constantes
    y

    Teorema: Sea {Zt} un MA(q). Entonces {Zt} es invertible si y solo si
    Los coeficientes {pj} están determinados por la relación

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    Identificación de un MA(1)
    Si identificamos el MA(1) a través de la estructura de autocorrelaciones, necesitamos decidir que valor de q elegir, el mayor que uno o el menor que uno. Si requerimos que se cumpla condicion de invertibilidad (pensad por que???) elegiríamos el valor q<1.
    Otra razón por la cual elegimos el valor menor que uno se encuentra en la varianza de los errores de las dos representaciones alternativas:

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    MA(q)
    Momentos
    MA(q) es
    Estacionario en covarianzas y
    ergodico, por las mismas
    por las que lo es un
    MA(1)

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    MA(infinito)
    Es estacionario en covarianzas?
    El proceso es estacionario en covarianzas, si se cumple que

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    Procesos Causales y Estacionarios
    Definición: Un AR(p) definido por la ecuación
    se dice que es causal, o una función causal de {at}, si existe una secuencia de constantes
    y

    Causalidad es equivalente a

    Definicion: Una solucion estacionaria {Zt} de la ecuacion existe (y es la unica sol. estacionaria) si y solo si

    Desde ahora en adelante solo trataremos como modelos AR causales

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    AR(1)
    Substituyendo hacia atras
    pogresión geometrica
    Recordad:
    es la condición para causalidad
    y ergodicidad

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