Introducción
En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma
Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él.
Son siempre positivos y sus dimensiones serán L4 (unidades: mm4 o cm4).
En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma
Momento segundo de la superficie
Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje.
Son siempre positivos y sus dimensiones serán ML2 (unidades: kg.m2).
Momento de inercia (de masa)
Momento segundo de una
superficie plana
El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subíndices) se representará por el símbolo I cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.
Los momentos segundos rectangulares de la superficie A respecto a los ejes x e y del plano de la superficie son:
Análogamente, el momento segundo polar de la superficie A respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es
Teorema de Steiner para
momentos segundos de superficie
Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema de Steiner. Demostración:
Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje x´ paralelo a él es
el segundo término es nulo ya que se trata del momento primero de superficie respecto al eje x que pasa por el centroide de la superficie, quedando:
donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide C e es la separación de los ejes x y x´.
Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:
El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta por el cuadrado de la separación de los ejes.
Atención: Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal, o al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él.
Y además se puede demostrar que
donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa por el centroide C y d es la distancia que separa los ejes z y z´.
Análogamente:
Radio de giro de una superficie
El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues,
Y como
Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie, existirá una relación correspondiente entre los radios de giro de la superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie.
Momentos segundos de superficies
compuestas
Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas.
Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.
Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:
Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.
Momentos segundos de superficies planas
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Momentos segundos de superficies planas
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Propiedades de algunas
formas de perfiles
PROBLEMA 1
Determinar el momento segundo de la superficie sombreada respecto a:
El eje x.
El eje y.
Un eje que pase por el origen O del sistema de coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie.
PROBLEMA 2
Una columna está constituida por una sección de alas anchas W610 x 125 y un canal C305 x 45. Determinar los momentos segundos y los radios de giro de la sección recta respecto a los ejes horizontal y vertical que pasan por el centroide de la sección recta.
x
Momentos segundos mixtos
de superficies
El momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a los ejes x e y es:
Así el momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x e y será:
Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto podrá ser positivo, negativo o nulo.
De hecho, el momento segundo mixto de una superficie
respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera será nulo cuando uno de dichos ejes sea eje de simetría.
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