Podemos estudiar EDOs de primer orden
analizándolas cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de
dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que
dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución "sin una solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones
Ejemplo: El campo de direcciones de dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada para dy/dx = sen y, con y(0) = -3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y ?f/?y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:
EDs de primer orden autónomas
dy/dx = f(y)
Una EDO en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es autónoma.
Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es creciente en I. Y si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es decreciente en I.
Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son puntos especialmente importantes.
Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio o punto estacionario.
Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 = 0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x) = c es una solución de dy/dx = f(y).
Una solución y(x) = c constante, se llama solución de equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones constantes de dy/dx = f(y).
Puntos críticos
Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P? (a – bP)
donde a y b son constantes positivas, es autónoma.
De f(P) = P? (a – bP) = 0, obtenemos las soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b.
Colocamos los puntos críticos en una recta vertical (recta fase), que la divide en tres intervalos.
Las flechas en la figura indican el signo algebraico de f(P) = P? (a – bP) en ese intervalo. Si el signo es positivo o negativo, entonces P es creciente o decreciente en este intervalo.
Curvas solución
Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO autónoma dy/dx = f(y), (f y f’ son continuas en un intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una sola curva solución.
Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos críticos, c1, y c2, tales que c1 < c2. Las gráficas de las soluciones de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen R en tres regiones, a los que podemos llamar R1, R2 y R3 como en la figura.
(3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o negativa en Ri, cualquier solución y(x) es monótona en Ri.
(4) Si y(x) está acotada superiormente por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se aproximará a la solución de equilibrio y(x) = c1 cuando x ? ? o x ? -?. Si está acotada c1 < y(x) < c2, se aproximará a y(x) = c1 e y(x) = c2. cuando x ? ? o x ? -?. Y por último, si está acotada inferiormente,
c2 < y(x) , se aproximará a y(x) = c2 cuando x ? ? o x ? -?. .
(1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x) que pasa por (x0, y0), permanecerá en la misma subregión.
(2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor que cero y no puede cambiar de signo en una subregión.
P = 0 y P = a/b son dos puntos críticos, por tanto tenemos tres intervalos para P:R1 : (-?, 0)
R2 : (0, a/b)
R3 : (a/b, ?) Sea P(0) = P0. Cuando una solución pasa por P0, tenemos tres tipos de curvas solución dependiendo del intervalo al que pertenece P0.
En el ejemplo dP/dt = P? (a – bP):
La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1. Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una solución y(x) es creciente en
-? < y < 1 y 1 < y < ?, donde -? < x < ?.
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