Exercícios Ponto Reta e Plano

2504 palavras 11 páginas
Exercícios propostos

01. Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir:

r
a) r passa pelo ponto P( −2,−1,3) e tem a direção do vetor u = ( 2,1,1) .
b) r passa pelos pontos A(1,3,−1) e B(0,2,3) .

02. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P pertence à reta r:
a) P( −2,1,1) e r : X = (1,0,0) + h( −1,2,1); h ∈ IR
x = 1 − t

b) P( 2,−1,−7) e r :  y = 2 + 3t ; t ∈ IR
z = −5 + 2t

z
 1 
c) P 2, ,3 e r : x − 1 = 2( y − 2) =
3
 2 
03. Escreva uma equação do plano α nos casos a seguir:
a) α passa pelos pontos A(1,0,2) e B(2, −1,3) e é paralelo ao vetor r v = ( 0,1,2) .


b) α passa pelos pontos A( 3,1,−1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor CD , sendo C(1,2,1) e D(0,1,0) .
c) α passa pelos
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17. Considere as retas r e t, tais que:

 x − y + 3z − 5 = 0
(i ) r passa pelo ponto P(3,1,−1) e é paralela à reta s : 
;
3x + 2y − z + 2 = 0

(ii) t passa pela origem do sistema de coordenadas e seu vetor direção tem ângulos diretores iguais.
Determine:
a) as equações simétricas de r.
b) as equações paramétricas de t.
49

18. Dado o plano π : X = ( 0,0,1) + h(1,−1,−1) + t ( −1,−2,−4); h, t ∈ IR e a reta
AB, sendo A(0,0,0) e B(1,1,1), determine uma equação do plano α que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano π e é paralelo ao plano β : x − 3 = 0.
19. a) Determine o simétrico de P(2,1,3) em relação:
(i) ao ponto Q(3,−1,1) .
x = 1 − 2t

(ii) à reta r :  y = t
; t ∈ IR .
z = 2 + t

(iii) ao plano 2x − 2y + 3z = 2 .
b) Encontre uma equação da reta s simétrica t : x − 2 = y − 1 = z − 3 , em relação ao plano do item a(iii).

da

reta

20. Determine o ângulo das retas s : X = (1,0,0) + h( 2,1,−1) ; h ∈ IR e x −1 r: = y = −z .
2
21. Determine o ângulo da reta r : x = −y = z com o plano α, nos casos a seguir: x = 1 + 2h − t

a) α : 2x − y − z − 1 = 0 ;
b) α :  y = h + t
; h, t ∈ IR .
z = 4 − 2t

22. Determine o ângulo dos planos:
a) α : x + y − 2z = 0 e β : −2x + y + 3z − 2 = 0 ;
x = 2 − h

b) α :  y = 1 + 2t ; h, t ∈ IR e β : −2x + y + 3z − 2 = 0 .
z

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