edo de segunda ordem

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Independência Linear e o Wronskiano
Exercício12Se as funções y1(t) e y2(t) são soluções linearmente independentes de

prove que y3(t) = y1(t) + y2(t) e y4(t) = y1(t) - y2(t) também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Reciprocamente, se y3(t) e y4(t) são soluções linearmente indepentes da equação diferencial, mostre que y1(t) e y2(t) também o são.

Pelo princípio da superposição, é claro que y3(t) e y4(t) são soluções se, e só se, y1(t) e y2(t) forem também soluções. Assim, o que deve ser verificado é a independencia linear dessas funções.
Para isso, sejam M12 a matriz wronskiana das funções {y1(t), y2(t)} e W12 o respectivo determinante wronskiano. Assim, tem-se

Usando uma notação análoga para as funções {y3(t), y4(t)}, tem-se

Com essa notação, deve-se mostrar que W12 é não nulo se, e só se, W34 é não nulo. Para isso, pode-se usar uma interessante relação entre esses determinantes e a matriz inversível A dada por

De fato, observe que as funções y3 e y4 podem ser obtidas por meio da multiplicação, nesta ordem, das matrizes [y1, y2] e A, como está feito a seguir.

Além disso, como a derivada da soma é a soma das derivadas, não é difícil perceber agora que a matriz wonskiana M34 pode ser obtida por meio da multiplicação, nesta ordem, das matrizes M12 e A, como está feito a seguir.

Assim, M34 = M12*A, como foi afirmado. Ora, como o determinante de um produto é o produto dos determinantes, segue-se então que o determinante

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