CAPÍTULO 1
Exercícios 1.1
1. Seja f: [0, 1] Ǟ ‫ ޒ‬dada por

Ï
Ï 1 ¸
ÔÔ0 se x ÌÓ0, 2 , 1ýþ f ( x) ϭ Ì
1
Ô1 se x ʦ ÏÌ0, , 1¸ý
ÔÓ
Ó 2 þ
Seja P uma partição qualquer de [0, 1]
P : 0 ϭ x0 Ͻ x1 Ͻ x2 Ͻ ... Ͻ xi Ϫ1 Ͻ xi Ͻ ... Ͻ xn ϭ 1 e seja de Riemann de f relativa a esta partição.

n

Â

f (ci ) ⌬xi uma soma

i ϭ1

1
Se nenhum dos c1, c2, ..., cn pertencer ao conjunto ÏÌ0, , 1¸ý, então a soma de
Ó 2 þ
Riemann será zero.
1
Admitindo que algum ou alguns (um, dois ou três) ci pertença ao conjunto ÏÌ0, , 1¸ý,
Ó 2 þ
1
então f(ci) ϭ 1 e f(ci) ⌬xi ϭ ⌬xi (para cada ci ʦ ÏÌ0, , 1¸ý). Portanto,
Ó 2 þ n Â

f (ci ) ⌬xi Ͻ 3 máx ⌬xi .

i ϭ1

Dado ␧ Ͼ 0, existirá ␦ ϭ

␧
(que só depende de ␧) tal que:
3

n

Â

f (ci ) ⌬xi Ͻ ␧ sempre que máx ⌬xi Ͻ ␦.

i ϭ1

Em qualquer caso, temos, independentemente da escolha dos ci e para toda partição P de [0, 1], com máx ⌬xi Ͻ ␦, que n Â

f (ci ) ⌬xi Ϫ 0 Ͻ ␧.

i ϭ1

Portanto, n  máx ⌬x Æ 0 lim i

i ϭ1

f (ci ) ⌬xi ϭ 0 ϭ

1

Ú0 f ( x ) dx.

3.
ÏÔ1 se 0 р x Ͻ 1
a) Seja f ( x ) ϭ Ì4 se x ϭ 1
ÔÓ2 se 1 Ͻ x р 2.

Seja P uma partição qualquer de [0, 2]:
P : 0 ϭ x0 Ͻ x1 Ͻ ... Ͻ xj Ϫ1 Ͻ xj Ͻ ... Ͻ xn ϭ 2
Suponhamos que 1 ʦ [xj Ϫ1, xj]. Temos j Ϫ1

n

Â

f (ci ) ⌬xi ϭ

i ϭ1

n

Â

f2
(c3
i ) ⌬xi ϩ f (c j ) ⌬x j ϩ
1

i ϭ1

1

Â

f2
(c3
i ) ⌬xi , onde f(cj) ʦ {1, 2, 4}
1

i ϭ j ϩ1 2

ϭ xjϪ1 ϩ f(cj) (xj Ϫ xjϪ1) ϩ 2(2 Ϫ xj) ϭ 3 Ϫ (xj Ϫ xjϪ1) ϩ f(cj) (xj Ϫ xjϪ1) ϩ (1 Ϫ xj).
Segue que n Ȋ

Â

f (ci ) ⌬xi Ϫ 3 Ȋ р Ȋ x j Ϫ x j Ϫ1 Ȋϩ 4 Ȋ x j Ϫ x j Ϫ1 Ȋϩ Ȋ 1 Ϫ x j Ȋ р 6 máx