A Equação de Bessel

Enviado por Alberto Mesquita Filho

1. Sumário
2. Conceituação e ocorrência
3. Solução da Equação (1) em série de potências
4. Solução da equação de Bessel
5. Fórmulas de recorrência das funções de Bessel
6. Função geratriz
7. Ortogonalidade das Funções de Bessel
8. Notas e Referências

Sumário:

O propósito deste artigo é resumir os tópicos essenciais relacionados a uma equação que surge com grande freqüência, em engenharia e/ou física matemática, quando da resolução de equações diferenciais parciais pelo método da separação de variáveis. Embora escrito em forma didática, o artigo é dirigido a estudantes interessados no tema, e que estejam familiarizados com o cálculo avançado. Presta-se também a fornecer subsídios ao leitor que pretenda recordar rapidamente este interessante capítulo da física matemática, bem como a auxiliá-lo na caracterização e/ou memorização de alguns dos "macetes" indispensáveis para a resolução de problemas afins: fórmulas (ou relações) de recorrência, função geratriz e ortogonalidade.

1.     Conceituação e ocorrência

2.     Solução da equação em série de potências

3.     Funções de Bessel

4.     Solução da equação de Bessel para 1

5.     Fórmulas de recorrência das funções de Bessel

6.     Função geratriz

7. Ortogonalidade das funções de Bessel

1. Conceituação e ocorrência

 A equação

é a chamada equação diferencial de Bessel de ordem . A restrição x 0 é essencial, pois não existe solução GERAL para intervalos que contenham x = 0 [1]. Em alguns textos, a equação de Bessel surge sob uma forma mais completa [2],

na qual os parâmetros constantes recebem a seguinte denominação:

d dimensão;
autovalor;
= 2 índice angular;
n ordem da equação de Bessel.

Se d = 2 e = 1, a equação (2) transforma-se na (1).

É comum o aparecimento da equação (2) quando da resolução de equações diferenciais parciais da física pelo método de separação de variáveis. Nestes casos, quando o problema é resolvido em coordenadas cilíndricas obtém-se d = 2, e, quando em coordenadas esféricas, d = 3. Em coordenadas cilíndricas, havendo simetria circular, obtém-se  = 0; caso contrário, para soluções não simétricas,  = 1, 2, 3, ...

No número 1 de Integração [3] fez-se referência ao surgimento da equação de Bessel quando da resolução de um caso particular da equação de Navier-Stokes. Na ocasião, graças ás condições de contorno um tanto rígidas, pudemos chegar á solução sem nos utilizarmos das técnicas que serão aqui apresentadas.