A Equação de Bessel (página 2)

É interessante notar que tanto a equação (1) quanto a (2) pertencem ao tipo de equações estudadas na teoria de Sturm-Liouville, podendo ser escritas na forma:

[s(x)y']' + [(x) - q(x)]y = 0

onde (x) é a chamada função peso. Sob esta forma, a equação (1) fica:

com s(x) = (x) = x, q(x) = 2/x e = 1.

2. Solução da Equação (1) em série de potências

 Seja uma possível solução de (1). Ao admitirmos esta possibilidade, na realidade o que estamos fazendo é assumir y, dado pela equação acima, como solução de (1), e propondo-nos a determinar os coeficientes a_n, bem como . Nestas condições temos

e

Substituindo estes valores de y, y" e y" em (1) obtemos:

ou

ou, ainda,

A equação (3) pode ser desmembrada em três igualdades:

As igualdades (4) e (6) são chamadas, respectivamente, equação indicial e equação de recorrência.

Da equação indicial, e assumindo a_o 0, vem

=

o que implica, de (5), em:

a₁ = 0.

A equação de recorrência (6) pode ser escrita na forma:

e como a₁ = 0, segue-se que todos os coeficientes a_n com índice ímpar são nulos: a₃ = a₅ = a₇ = ... = 0. Por outro lado, os coeficientes a_n com índice par são dados por:

Generalizando, temos:

Efetuando a mudança de variável n m tal que n = 2m, os coeficientes a_n podem ser expressos por:

ou

ou, finalmente:

 

Lembrando que , n = 2m e = , temos:

Substituindo (7) em (8) as soluções y₁(x) e y₂(x) ficam:
/

As expressões (9) podem ainda ser escritas, em termos de funções gama () [4], da seguinte maneira:

Determinadas duas soluções y₁ e y₂ para a equação (1), podemos, uma vez comprovada a existência destas soluções, bem como sua independência linear, escrever a solução geral como

No item a seguir veremos que (11), com y₁ e y₂ dados por (10), não é solução geral válida para = 0, 1, 2, ...

3. Funções de Bessel

A função de Bessel de primeira espécie e ordem é definida por:

Segue-se, então, de (10), (11) e (12):

y(x) = C₁a _o2 ( +1)J(x) + C₂a _o2- (- +1)J-(x);

ou, agrupando-se as constantes:

Se   = 0, temos ( +1) =  (- +1) =  (1) e, nestas condições, J(x) = J-(x) = J_o(x). Conseqüentemente, y₁(x) = y₂(x) e, portanto, y(x), dado por (13), não é solução geral.

Por outro lado, se k Z+, temos

Nestas condições, y₂(x), dado por (11), não existe, e, portanto, não é solução de (1). É interessante notar que, neste caso, J-(x) existe, sendo possível demonstrar que:

Z+        J(x) = (-1)J-(x)

ou seja, J(x) e J-(x) são linearmente dependentes.

Demonstra-se [5] também que, para inteiro, a solução geral de (1) é dada por

com

N(x) é chamado função de Bessel de segunda espécie [6], de ordem , ou função de Newmann [7].

4. Solução da equação de Bessel para 1

 Seja a equação

Mudando a variável x para = x, temos

Portanto:

ou

cuja solução, tendo em vista (1) e (14), é:

u() = AJ() + BN().

Então, a solução de (15) é

u(x,) = AJ(x) + BN(x).

5. Fórmulas de recorrência das funções de Bessel

As fórmulas de recorrência das funções de Bessel são relações entre funções de Bessel de ordens diferentes. São extremamente úteis, possibilitando, por exemplo, que se expresse uma dada função J em termos de funções de Bessel de ordem mais baixa [8]; prestam-se também á redução de certas integrais que ocorrem na normalização das funções de Bessel [9].

A título de clareza, e com a finalidade de destacá-las, iremos numerá-las em algarismos romanos, conservando a numeração seqüencial em algarismos arábicos para as demais equações. Nas demonstrações referentes ás equações (I) e (II) serão feitas algumas restrições com respeito a . Apesar destas restrições, demonstra-se que (I) e (II) são válidas . Chegaremos a essa generalização por outro método a partir da função geratriz a ser visto no próximo item.

I) Se :

Portanto:

II) Se - Z+:

Portanto:

III) Desenvolvendo o primeiro membro de (I), temos:

xJ'(x) + x-1J(x) = xJ-1(x).

Podemos dividir todos os termos por x -1, tendo em vista que, de (1), x 0. Portanto:

IV) De maneira análoga, desenvolvendo o primeiro membro de (II) e a seguir dividindo todos os termos da equação resultante por x--1:

x- J'(x) + x--1J(x) = - x- J+1(x)

V) Somando membro a membro (III) e (IV):

VI) Subtraindo membro a membro (IV) de (III):

6. Função geratriz

Geratriz significa aquela que gera. Nesse contexto, mostraremos a seguir que

é função geratriz da função de Bessel de primeira espécie J_n(x) para n Z .

Desenvolvendo g(x,t) obtemos:

Seja então n tal que n = r - k. Nestas condições, r = k + n e n varia de - a + . Então:

Portanto:

Verificada a igualdade (16) podemos agora, a partir da mesma, demonstrar a validade das relações de recorrência (I) a (VI) para = n Z . E, com efeito, derivando (16) em relação a t e desenvolvendo a expressão resultante, temos:

Igualando os expoentes de t a n-1:

Portanto:

A expressão (VIa) corresponde á (VI) para Z .

Derivando (16) em relação a x:

Igualando os expoentes de t a n:

Portanto:

A expressão (Va) corresponde á (V) para Z .

As demais relações de recorrência derivam de (Va) e (VIa) da seguinte forma:

(Va) + (VIa) (IIIa) ;

(VIa) - (Va) (IVa) ;

(IIIa) xn-1         xnJ_n-1(x) = nxn-1J_n(x) + xnJ_n"(x)   

(IVa) x-n-1         -x-nJ_n+1(x) = -nx-n-1J_n(x) + x-nJ_n"(x)    

7. Ortogonalidade das Funções de Bessel

 Sejam e dois autovalores da equação

Nestas condições, e conforme visto no item 4,

são soluções da equação (17) para os correspondentes autovalores ( = e = , respectivamente). Podemos então escrever:

x2y1" + xy1' + (2x2 - 2)y1 = 0	(19)
x2y2" + xy2' + (2x2 - 2)y2 = 0	(20)

Multiplicando (19) por y₂ e (20) por y₁ e subtraindo membro a membro as equações (20) da (19), assim modificadas, temos:

x2(y₂y₁"-y₁y₂") + x(y₂y₁'-y₁y₂') = (2 - 2)x2y₁y₂

Dividindo por x e manipulando os termos, podemos escrever:

ou

Integrando (21) no intervalo [a,b]:

.

Dividindo por (2 - 2) e utilizando as igualdades (18):

Para a=0 e b=R, temos:

e para a expressão fica:

Aplicando L"Hospital e a seguir multiplicando o numerador e o denominador do segundo membro da expressão por :

Mas J(R) é solução da equação de Bessel

2R2y"(R) + Ry"(R) + (2R2 - 2)y(R) = 0,

ou seja

Substituindo (24) em (23):

ou

Se , e R forem tais que as raízes n-ésima e m-ésima da função de Bessel de ordem igualem, respectivamente a = R e = R, as expressões (22) e (25) podem ser agrupadas numa única expressão:

conhecida como relação de ortogonalidade das funções de Bessel. De (26) observa-se que as funções e são ortogonais no intervalo [0,R]; ou então, as funções e são ortogonais em relação á função peso x.

 

Notas e Referências:

1. A equação x2y"" + xy" - y = 0 representa um caso mais simples (não é equação de Bessel) onde também se verifica tal restrição (x 0). Sua solução geral, conforme pode ser facilmente verificado, é y = C₁x + C₂/x. Esta solução não está definida para x = 0.

2. Vide, por exemplo, PINSKY, M. A., (1991), Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications, Mc. Graw-Hill Inc., New York, p. 174.

3. MESQUITA F.° , A., Similaridades entre campos de velocidade e o campo eletromagnético, Integração I(1):15-19, 1995, apêndice C (p. 18).

4. A função gama goza da seguinte propriedade: (z+1) = z(z). Portanto: (m+p+1) = (m+p)(m+p) = (m+p)(m-1+p)(m-1+p) = (m+p)(m-1+p)(m-2+p)(m-2+p) = (m+p)(m-1+p).........(1+p)(1+p). Então, (m+p)(m-1+p)......(1+p) = . Analogamente, mostra-se que (m-p)(m-1-p).......(1-p) = .

5. A demonstração está além do escopo deste artigo.

6. Existem outras funções de Bessel, não havendo concordância quanto á notação adotada para a função de segunda espécie.

7. Observação: Se for metade de um inteiro ímpar, J(x) pode ser expresso em termos de senos e cossenos.

8. CHURCHILL, R.V., BROWN, J.W, (1987), Fourier Seriees and Boundary Value Problems, McGraw-Hill Book Company, New York.

9. PINSKY (1991), op. cit.

* _n,m = 0 se n m, e _n,m = 1 se n = m. Observar que se n m, a equação válida é a (22), e se n = m (ou ) recaímos na equação (25). Como estamos trabalhando com raízes, J(R) = J(R) = 0 em ambos os casos, o que nos leva facilmente á generalização expressa em (26).

 

Integração II(5):101-6,1996

 

 

Autor:

Alberto Mesquita Filho

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