Resumen
Se presenta una reseña de la historia y
fundamento de la Conjetura de Poincaré así como
ciertas reflexiones sobre su solución por Grigori
Perelman. Ademos se realiza un detallado análisis sobre la
ecuación diferencial del Flujo de Ricci.
Introducción
La comunidad matemática mundial y en menor medida
la física, se conmovió ante la noticia en el 2002,
de que un matemático ruso, conocido sólo en un
pequeño círculo de especialistas había
resuelto uno de los problemas mas famosos de la historia de las
matemáticas, planteado en 1904 por el gran
matemático, físico y filósofo francés
Henri Poincaré, sin que hasta ahora, casi un siglo
después, nadie había podido resolver aunque fueron
muchos los que lo intentaron.
La Conjetura de Poincaré, como se conoce el
famoso problema, ha sido resuelta por el matemático ruso
de origen judío Grigori Perelman. Antes que Perelman, se
acercaron a la resolución y contribuyeron
significativamente a la definitiva, dos eminente
matemáticos, R.S, Hamilton y B. Thurston, . Hamilton
propició la utilización para el tratamiento del
problema, del llamado Flujo de Ricci, del cual se realiza un
detenido análisi en el rabajo que aquí se presenta.
Perelman en su informe reconoce la contribución de
Thurston y de Hamilton, especialmente de este último, la
correcta utilización del Flujo de Ricci.
Hamilton fue uno de los mas prodigos en elogios hacia el
trabajo de Perelman.
En el trabajo que aquí presentamos además
de realizar una bresve alusión a lo que es la
Topología, y después de algunos detalles
históricos de la Conjetura, de Henri Poincaré y de
Grigori Perelma, se da cuenta de los aspectos teóricos del
Flujo de Ricci utilizndo un mínimo de la matemática
necesaria para una mejor comprensión de lo que se espone.
.
Desarrollo
Grigori Yaklevich Perelman, es uno de los mas
prestigiosos matemáticos de la actualidad, pero de tal
cosa sólo tienen conocimiento los especialistas en una
rama de las menos tratadas de la ciencia en cuestión como
es el caso de la Topología.
La Topología, también conocida como
Analysis Situs, es una variante de la geometría en la que
se consideran como equivalentes dos figuras por el hecho de que
los puntos que conforman una de ellas pueden ponerse en
correspondencia continua uno a uno con los de la otra aunque una
aparezca como reproducción distorsionada de la otra. De
figuras así relacionadas se dice que son
topológicamente equivalentes u homeomórficas. Esas
figuras parecen como si una de ellas hubiera sido dibujada en una
lámina de goma y la otra fuera el resultado de deformar
arbitrariamente la lámina de goma.
Por lo explicado una circunferencia y un cuadrado son
topológicamente equivalentes.
Una circunferencia y cualquier figura
topológicamente equivalente con ella divide al espacio en
una región interior y una exterior. Un anillo o sea la
figura limitada por dos circunferencias concéntricas tiene
una región interior (el anillo propiamente dicho) y dos
exteriores. A la región exterior que queda dentro del
anillo y a espacios similares a éste, en topología
se les llama agujeros u orificios. A las figuras sin agujeros se
les llama simplemente conexas, a las que tienen agujeros se les
llama múltiplemente conexas. Figuras simplemente conexas
no pueden ser topológicamente equivalentes con figuras
múltiplemente conexas. En tres dimensiones por razones
análogas a las expuestas la esfera es simplemente conexa y
equivalente a otra figura tridimensional simplemente conexa como
pudiera ser un cubo o dado.
Sobre estos temas de gran importancia en física y
otras disciplinas, es destacado investigador el matemático
ruso Grigori Perelman el cual se ha especializado en
transformaciones topológicas conocidas como Flujo de
Ricci. Además de sus trabajos en San Petersburgo ha
realizado relevantes estudios en universidades norteamericanas.
En el 2002 anunció al mundo haber resuelto el
quizás mas importante problema matemático del
milenio, conocido como Conjetura de Poincaré, según
la cual todas las estruturas compactas, simplemente conexas, esto
es, que cualquier lazo cerrado, dibujado en ellas puede
constreñirse hasta un punto sin abandonar la estructura,
son homeomórficas de un ente geométrico llamado
triesfera.
Cierta analogía formal aunque no muy precisa que
me parece advertir enttre la expresión del Flujo de Ricci
:
Página siguiente  |