ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓ ?0 2008 –
II ?0 ECUACIO ES DIFERE CIALES E EL CO TEXTO DEL MATLAB Carlos
Enrique úñez Rincón1 Los matemáticos,
en lugar de simplemente utilizar un método que parece
funcionar, quieren hallar una justificación para el
método y una serie de condiciones que garanticen que el
método funciona. Glenn Ledder El presente artículo
de corte divulgativo tiene como propósito hacer una
contrastación entre la resolución usual de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), es decir la
resolución empleando el Álgebra y el
Cálculo, y la resolución operando los comandos del
Programa de Cálculo Técnico Científico
MATLAB. Está dirigido al lector interesado en el tema,
pero sobre todo a los alumnos que cursan la asignatura
Matemática IV en las diversas Carreras de
Ingeniería que configuran la Oferta Académica de la
UNET. Ecuaciones separables g(y) dy dx = f (x) Resolver y´=
4- y2. Es necesario expresar la ecuación en la
notación de Leibniz, es decir dy dx = 4- y2, ahora se
lleva a la forma de variable separada, esto es = dx dy 4- y2 1 El
autor del artículo es Licenciado en Matemática,
egresado de la Universidad de los Andes – ULA – Venezuela.
Asimismo, es Magíster, y Doctor en Ciencias. Actualmente
es Profesor en la Categoría de Titular, adscrito al
Departamento de Matemática y Física de la
Universidad Nacional Experimental del Táchira –
Venezuela. cnunezr@gmail.com, cnunezr@cantv.net
? 4- y =?dx? – ln 2- y + ln 2+ y = x+C ? ln = e4x+4C = e e4C =
±e e4C , haciendo A= ±e4C, obtenemos Ecuaciones
diferenciales en el contexto del MatLab luego 2 dy = x +C 1 1 1
2+ y 4 4 4 2- y entonces, la solución es 4x 2+ y 2- y
luego, 4x 2+ y 2- y = Ae4x 2+ y 2- y por lo tanto, y = 2 Ae4x -1
Ae4x +1 . Consideremos, ahora, la condición inicial y(0)
=1, obtenemos 1 1 1 4 4 4 entonces, la solución particular
es y = 2(3e4x -1) 3e4x +1 . Ahora, obtenemos la solución
general y particular utilizando los comandos de MatLab, asimismo
se representa gráficamente las soluciones (figura 1) y la
de solución particular (figura 2). >>
pretty(solve('int(1/(4-y^2),y)=int(1,x)')) – 1/4 log(y – 2) + 1/4
log(y + 2) >>
C=simple(sym('solve(subs(x=0,y=1,x=-1/4*ln(2-y)+1/4*ln(2+y)-C),C)'))
C = 1/4*log(3) >> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2); 2
x2 + y dx = xdy – ydx. Expresándola ) Carlos
úñez >>
Z=-X+(-log(abs(2-Y))+log(abs(2+Y)))./4; >> contour(Z,20)
>> fplot('(6*exp(4*x)-2)/(3*exp(4*x)+1)',[-3,3]) Cuadro 1
Figura 1 Figura 2 Como es posible observar, es bastante simple
hallar la solución general y particular de la
ecuación diferencial, así como la solución
gráfica. Ecuaciones homogéneas M(x,y)dx+ (x,y)dy =
0 2 Consideremos la ecuación diferencial de la forma
homogénea, esto es ( x2 + y2 + y dx- xdy = 0 probamos que
las dos funciones son homogéneas M(tx,ty) =tM(x,y) y 3
(tx,ty) =t (x,y)
? y ? = 1+v2 +v? x ? ln(v + 1+v2) =ln(x)+C ? v + 1+v2 = e ( ) = e
x = Ax + 1+? 2 ? = Ax? Ecuaciones diferenciales en el contexto
del MatLab es claro, que ambas tienen el mismo grado de
homogeneidad. Ahora, la expresamos de la forma dy dx x2 + y2 + y
x = y dividiendo numerador y denominador por x, obtenemos y x
tomando la sustitución v = 2 dy y = 1+? ? + ? x ? dx x ,
es decir y = xv, donde dy dv = v + x dx dx , tenemos dv dv dx dx
v + x = 1+v2 la ecuación la hemos convertido en una
ecuación diferencial separable, es decir dx x = dv 1+v2
integramos para obtener la solución general C dx x ln x +C
dv 1+v2 ? =? y x y + x2 + y2 x finalmente, sustituimos v por y ?
y2 ? x ? x ? = Ax? y + x2 + y2 = Ax2. Ahora, obtenemos la
solución general utilizando los comandos de MatLab:
Determinamos si la ecuación es homogénea: 4
Carlos úñez >>
maple('m:=(x,y)->sqrt(x^2+y^2)+y'); >>
maple('n:=(x,y)->-x'); >>
pretty(sym(maple('collect(m(t*x,t*y),t)'))) 2 2 2 2 1/2 (t x + t
y ) +ty >> pretty(sym(maple('collect(n(t*x,t*y),t)'))) -t x
Se carga el la librería difforms y el comando
maple('defform(v=0,x=0,y=0)'), que permiten utilizar las formas
diferenciales y expresar las variables, respectivamente: >>
maple('with(difforms)'); >> maple('defform(v=0,x=0,y=0)');
Se hace el cambio de variable y = xv y se expresa la
ecuación en forma de variables separadas: >>
pretty(simple(sym(maple('subs(y=x*v,m(x,y)*d(x)+n(x,y)*d(y))'))))
2 1/2 -x (-d(x) (1 + v ) + x d(v)) >>
pretty(sym(maple('collect((x*sqrt(1+v^2)*d(x)-x*x*d(v))/(x),{d(v),d(x)})')))
2 1/2 d(x) (1 + v ) – x d(v) Se resuelve la ecuación
separable: >>
pretty(simple(sym('int(1/(sqrt(1+v^2)),v)-int(1/x,x)'))) asinh(v)
– log(x) Finalmente se sustituye v por y/x: >>
pretty(simple(sym('subs(v=y/x,a*sinh(v)-log(x))'))) a sinh(y/x) –
log(x) Cuadro 2 5
+ 2x)dx +e dy =0, ésta es de la forma ? ?x Ecuaciones
diferenciales en el contexto del MatLab Ecuaciones exactas
M(x,y)dx + (x,y)dy =0 ? = ?M ?y ? ?x Consideremos la
ecuación x x (ye M(x,y)dx+ (x,y)dy = 0, aplicando la
condición de exactitud, comprobamos que es exacta, esto es
= ex = ?M ?y ? ?x . Utilizando el procedimiento de
resolución de ecuaciones diferenciales exactas, obtenemos
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