Una introducción al cálculo fraccionario

Cálculo fraccionario

Introducción

Estamos familiarizados con la idea de las
derivadas. La notación usual

se comprende fácilmente. Estamos
también familiarizados con propiedades tales
como:

Muchos lectores no se han encontrado con
derivadas de orden ½ antes, porque no existe aún en
los textos comunes.

En 1695 L"Hôpital le preguntó
a Leibnitz: -¿Qué ocurre si el orden es
½?-.

Leibnitz responde -"De esta paradoja se
extraerán, algún día, consecuencias muy
útiles"-.

Lacroix, en 1819, menciona, por primera vez
la derivada de orden arbitrario. Más tarde Euler y Fourier
trataron el tema, pero sin aplicaciones. En 1823, Abel lo
aplicó a la ecuación integral relacionada con el
problema de las isócronas. Esto motivó a Liouville
(1832) al primer gran intento de una definición formal y
consistente de la derivada fraccionaria.

En 1847 Riemann escribió un
artículo modificando la definición de Liouville del
operador fraccionario que se conoce hoy como la Integral de
Riemann – Liouville.

En 1868 A. V. Letnikov escribió el
artículo "Theory of differentiation of fractional
order".

Desde 1695 – 1974 muchos
científicos han contribuido: Lagrange, Laplace, de Morgan,
Heaveside, Riesz, Weyl.

En 1974 aparece el primer texto dedicado al
cálculo fraccionario: K. B. Oldham and J. Spanier, The
Fractional Calculus, Academic Press, 1974.

Hoy existe una vasta literatura sobre el
tema llamado Cálculo Fraccionario, Cálculo
Fraccional o Cálculo Generalizado (Fractional Calculus,
Diferintegral Calculus). Muchos artículos
científicos aparecen día a día en el mundo
mostrando las más variadas aplicaciones. Las aplicaciones
más comunes actualmente se encuentran en Reología,
Biología Cuántica, Electroquímica,
Teoría de la Dispersión, Difusión,
Teoría del Transporte, Probabilidad y Estadística,
Teoría del Potencial, Elasticidad, Viscosidad y
Teoría de Control Automático. Ya existen paquetes
en Matlab para el cálculo fraccionario y para el control
automático fraccionario (este último, llamado
Ninteger, gratis en internet)

Es el propósito de estas notas
introducirnos en el cálculo fraccionario de la misma forma
que fue "apareciendo" históricamente.

Antes de usar algunas definiciones formales
o teoremas exploraremos la idea de la derivada fraccionaria
echando una ojeada a algunos ejemplos de derivadas bien
conocidas, de orden n, tales como Dn eax = a n eax y cambiaremos
el número natural n por otros números, por ejemplo,
½. En este sentido, como detectives, trataremos de ver
qué estructura matemática se esconde en esta idea.
Evitaremos una definición formal de la derivada
fraccionaria mientras no exploremos las posibilidades de varias
aproximaciones a esta noción.

Derivada fraccionaria
de la función exponencial

Comencemos examinando las derivadas de la
función exponencial eax debido a su
simplicidad.

Arriesguémonos y
escribamos

Notemos que aún no hemos dado una
definición para la derivada fraccionaria de una
función general. Pero, si esta definición se
encuentra, querríamos comprobarla en la función
exponencial. Es bueno comentar que Liouville comenzó por
ahí.

Funciones
trigonométricas: seno y coseno

También estamos familiarizados con
las derivadas de la función seno:

Reemplacemos el entero positivo n por un
número arbitrario. Así, obtendremos
una

expresión de la derivada general de
la función seno y, de manera similar, podríamos
tratar el coseno.

Después de ver esto, es natural
preguntarnos si lo que hemos hecho es consistente con el
resultado que obtuvimos para la exponencial. Para esto
consultaremos Euler,

y usando (1) podemos calcular

que corrobora (2).

Veamos ahora las derivadas de las potencias
de x. Comencemos con x p (p entero).

Multiplicando numerador y denominador de
(3) por (p-n)! se obtiene