El método de los elementos finitos

El método mas difundido de cálculo de estructuras complejas es el MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (FEM1 ), su particularidad consiste en que una construcción que es un continuo, se cambia por un análogo, que esta compuesto de pequeños cubos, de un número finito de bloques – ELEMENTOS, el comportamiento de los cuales es posible hallar a priori. La interacción entre elementos nos da la posibilidad de representar la cartina común del sistema deformado.

FIGURA 1

En la figura 1 se representa una estructura compuesta de un panel y refuerzos longitudinales y circulares La construcción de la membrana puede ser formada de un conjunto de elementos simples; de membranas cilíndricas rectangulares 1, barra recta 2, barra curva 3. Las características de cada de estos elementos se determina a priori. En la figura se representa los puntos nodales A, B, C, D, por los cuales los elementos se unen en un sistema común. El estado tensional de tal construcción compleja puede se determinado con ayuda de FEM El método de los elementos finitos resuelve gran cantidad de problemas de resistencia, estabilidad y dinámica de las construcciones. El se usa para el análisis de fenómenos no lineales, con su ayuda se logra resolver problemas multidimencional complejos de optimización y otros.

La ventaja del método y su universalidad: las posibilidades de utilizar elementos de distintos tipos, seleccionar una región arbitraria, simplicidad en asumir la construcción de elementos de alta exactitud.

En la variante del método, que se desarrollara abajo – método de los desplazamientos, -durante la unión de los elementos las exigencias de logran de las condiciones de contorno naturales no es obligatorio.

Este muy conocido variante del MEF utiliza el principio de los desplazamientos virtuales En forma matricial para un cuerpo de tres dimensiones se puede representar en la forma siguiente

1 FINITE ELEMENT METHOD

La condición de equilibrio (1) no depende de la propiedad del material y se cumple tanto en los sistemas lineales y no lineales. Para cuerpos elástico- lineales, que tienen deformación inicial, la ecuación física toma la siguiente forma

El método de los elementos finitos utiliza distintos procedimientos de los métodos variaciónales. En la variante del método que vemos, también en el método RELEI- RITZA, es necesario tener un campo de desplazamientos, pero no en toda la región, a solamente en los limites del elemento. Los desplazamientos se dan en forma de polinomio en grados de x, y, z

Veamos la parte derecha e izquierda de la ecuación de equilibrio de (5). Después de remplazar el vector deformación (6) en la parte izquierda de la ecuación (5) el será representado a través de los desplazamientos de los nodos y una integral que será representado por el símbolo [K ]

Con estas relaciones se determina el vector {F }aplicado a los nodos de las fuerzas externas De este modo, considerando conocido la matriz [F],que relaciona los desplazamientos en cualquier punto del elemento con los desplazamientos de los nodos (8) y la matriz [B] , que corresponde a las relaciones entre la deformación y desplazamiento de los nudos del elemento por la formula (9) , determina la matriz de rigidez [K ] y el vector de la fuerzas externas en los nodos {F }

Esta ecuación representa el principal durante el cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos. El nos permite hallar los desplazamientos, y utilizando la ecuación (7) determinar el estado tensional en cada elemento. El principal problema en el calculo de estructura por el MEF esta en hallar r la matriz de rigidez de los elementos, la matriz global de rigidez [K ] nodos {F } , y el vector de fuerzas en los

FIGURA 2

Ahora veamos en un ejemplo como determinar estas matrices y vectores. En la figura se representa un elemento viga, flexionado por una carga distribuida transversal q(x)

Teniendo en consideración la ecuación (19), obtenemos

Estas fuerzas nodales se cambian por una carga distribuida, que actúan en la viga.

FIGURA 3

En el caso tratado, cuando el problema sobre la flexión transversal de la viga se resuelve con ayuda de FEM, y toda su longitud – con un elemento finito.

Para el nodo del punto x = l los desplazamientos y el ángulo de giro, que se determinan por el método de los elemento finitos, dan valores exactos.