u ´ ´ e u a u o a Los N´meros Reales Karen
Garc´ia Mesa tartaglia@lab.matcom.uh.cu Universidad de la
Habana Yanelys Zald´ivar Universidad de la Habana Celia
Galvez maria5@lab.matcom.uh.cu Universidad de la Habana Avalado
por: Dr. Rita Roldan rroldan@matcom.uh.cu Universidad de la
Habana Resumen Se estudian varios m´todos para construir
los n´meros reales manteniendo los ax- iomas que de?nen a
los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los
siguientes: Propiedad de continuidad Principio de intervalos
cerrados encajados Axioma del supremo Cortaduras de Dedekind
Adem´s se demuestra la equivalencia entre cada una de estas
construcciones. Palabras y frases Claves: n´meros reales,
cortaduras, conjunto Clasi?caci´n: An´lisis
Matem´tico
´ a u a a a o o u o ia o a e a o a o u i a n a e o o o u o
o u o ia ia a o o u a o u ia u u u u u o o u u e o INTRODUCCION
Nuestro inter´s por realizar este trabajo se debe a que
pens´bamos que conoc´iamos los n´meros reales,
pero de?nitivamente est´bamos equivocados, pues no nos
imag- in´bamos ni remotamente su origen. Con nuestro
comienzo en la universidad se nos abrieron numerosas puertas al
conocimiento matem´tico, entre ellas est´ el conocer
que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes
manera de de?nirlo. Se atribuye a los pitag´ricos la
expresi´n ”Todo es n´mero”. La Escuela
Pitag´rica fue la primera escuela matem´tica griega.
Antes de ellos se hab´ acumulado una buena cantidad de
conocimiento matem´tico debido a culturas tales como la
egipcia y la babil´nica; conocimiento con el que entran en
contacto los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto
y, luego, del propio Pit´goras. Este contacto signi?ca para
la matem´tica de la ´poca un enorme salto conceptual
pues, de una matem´tica dedicada en lo esencial a la
soluci´n de problemas de tipo pr´ctico, se pasa a una
matem´tica interesada en los conceptos y las relaciones que
ellos ocultan, es de- cir una matem´tica te´rica. A
partir de Tales y Pit´goras, la matem´tica griega
evoluciona por caminos de alta complejidad que,
parad´jicamente, se estructuran alrededor de una disciplina
com´n: la geometr´ia. Es as´ como en el siglo
IIIa.C., m´s de doscientos a˜os despu´s de
Tales y Pit´goras, aparece un texto de importan- cia
capital para la historia de la matem´tica: los
”Elementos”de Euclides, esfuerzo totalitario de
recolecci´n del saber matem´tico acumulado hasta la
´poca; dotado de un enorme sentido pedag´gico que
llev´ desde su creaci´n a separarlo en trece
vol´menes. ¿C´mo congeniamos estas ideas,
aparentemente dispersas, en una sola disciplina conceptual?
Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag´rica
original ”To- do es n´mero”, idea que para los
propios pitag´ricos ten´ un sentido tan profundo que
adquir´ caracter´isticas sagradas. En este sentido,
Pit´goras viene a ser el pre- decesor original de Leopold
Kronecker, el matem´tico que a?rm´ que ”Dios
cre´ los n´meros enteros, lo dem´s lo hizo el
Hombre”, porque cuando un pitag´rico hablaba de
n´mero lo que ten´ en mente espec´i?camente era
un n´mero racional. Esto lo podemos ver claramente en
”Los Elementos ”de Euclides Def.V II,1 y Def.V II,2.
La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual
ca- da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a?rma
que un n´mero es una pluralidad compuesta de unidades.
De?niciones lo su?cientemente restrictivas para separar el
concepto de unidad del concepto mismo de n´mero: una unidad
no es un n´mero, es el ente que constituye a los
n´meros. La visi´n pitag´rica del n´mero
como la sustancia constitutiva del Universo, con- dujo a otra
creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema
que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es
decir, la existencia de una medida com´n para dos segmentos
distintos cualesquiera. Tambi´n se asigna a los
pitag´ricos el descubrimiento del teorema que lleva su
nombre el cual, entre otras muchas cosas, conduce a una
importante proporci´n: el cuadrado construido sobre la
diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.
1
a o u u o u a u u u o u o u o u i u o e u Ahora bien, esta
proporci´n trae como consecuencia inmediata una
interrogante: ¿Cu´l es la proporci´n que se
establece al comparar la diagonal del cuadrado y el lado del
mismo?. La respuesta demoli´ la convicci´n
pitag´rica de la conmensurabilidad de los seg- mentos:
ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible
conseguir un segmento medida com´n para ellos. De esta
forma surge la primera noci´n de irracionalidad y desde
entonces el concepto de n´mero ha sufrido una considerable
evoluci´n hist´rica, estableci´ndose distintos
tipos de n´meros que conforme son m´s evolucionados
permiten resolver distintos tipos de problemas, por ejemplo: i)El
problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos
axiomas de Peano.(n´meros naturales N) ii)El problema de la
resta (n´meros enteros Z). En el conjunto de los
n´meros nat- urales la ecuaci´n a + x = b no siempre
tiene soluci
Página siguiente |