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Los números reales



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    u ´ ´ e u a u o a Los N´meros Reales Karen
    Garc´ia Mesa tartaglia@lab.matcom.uh.cu Universidad de la
    Habana Yanelys Zald´ivar Universidad de la Habana Celia
    Galvez maria5@lab.matcom.uh.cu Universidad de la Habana Avalado
    por: Dr. Rita Roldan rroldan@matcom.uh.cu Universidad de la
    Habana Resumen Se estudian varios m´todos para construir
    los n´meros reales manteniendo los ax- iomas que de?nen a
    los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los
    siguientes: Propiedad de continuidad Principio de intervalos
    cerrados encajados Axioma del supremo Cortaduras de Dedekind
    Adem´s se demuestra la equivalencia entre cada una de estas
    construcciones. Palabras y frases Claves: n´meros reales,
    cortaduras, conjunto Clasi?caci´n: An´lisis
    Matem´tico

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    ´ a u a a a o o u o ia o a e a o a o u i a n a e o o o u o
    o u o ia ia a o o u a o u ia u u u u u o o u u e o INTRODUCCION
    Nuestro inter´s por realizar este trabajo se debe a que
    pens´bamos que conoc´iamos los n´meros reales,
    pero de?nitivamente est´bamos equivocados, pues no nos
    imag- in´bamos ni remotamente su origen. Con nuestro
    comienzo en la universidad se nos abrieron numerosas puertas al
    conocimiento matem´tico, entre ellas est´ el conocer
    que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes
    manera de de?nirlo. Se atribuye a los pitag´ricos la
    expresi´n ”Todo es n´mero”. La Escuela
    Pitag´rica fue la primera escuela matem´tica griega.
    Antes de ellos se hab´ acumulado una buena cantidad de
    conocimiento matem´tico debido a culturas tales como la
    egipcia y la babil´nica; conocimiento con el que entran en
    contacto los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto
    y, luego, del propio Pit´goras. Este contacto signi?ca para
    la matem´tica de la ´poca un enorme salto conceptual
    pues, de una matem´tica dedicada en lo esencial a la
    soluci´n de problemas de tipo pr´ctico, se pasa a una
    matem´tica interesada en los conceptos y las relaciones que
    ellos ocultan, es de- cir una matem´tica te´rica. A
    partir de Tales y Pit´goras, la matem´tica griega
    evoluciona por caminos de alta complejidad que,
    parad´jicamente, se estructuran alrededor de una disciplina
    com´n: la geometr´ia. Es as´ como en el siglo
    IIIa.C., m´s de doscientos a˜os despu´s de
    Tales y Pit´goras, aparece un texto de importan- cia
    capital para la historia de la matem´tica: los
    ”Elementos”de Euclides, esfuerzo totalitario de
    recolecci´n del saber matem´tico acumulado hasta la
    ´poca; dotado de un enorme sentido pedag´gico que
    llev´ desde su creaci´n a separarlo en trece
    vol´menes. ¿C´mo congeniamos estas ideas,
    aparentemente dispersas, en una sola disciplina conceptual?
    Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag´rica
    original ”To- do es n´mero”, idea que para los
    propios pitag´ricos ten´ un sentido tan profundo que
    adquir´ caracter´isticas sagradas. En este sentido,
    Pit´goras viene a ser el pre- decesor original de Leopold
    Kronecker, el matem´tico que a?rm´ que ”Dios
    cre´ los n´meros enteros, lo dem´s lo hizo el
    Hombre”, porque cuando un pitag´rico hablaba de
    n´mero lo que ten´ en mente espec´i?camente era
    un n´mero racional. Esto lo podemos ver claramente en
    ”Los Elementos ”de Euclides Def.V II,1 y Def.V II,2.
    La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual
    ca- da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a?rma
    que un n´mero es una pluralidad compuesta de unidades.
    De?niciones lo su?cientemente restrictivas para separar el
    concepto de unidad del concepto mismo de n´mero: una unidad
    no es un n´mero, es el ente que constituye a los
    n´meros. La visi´n pitag´rica del n´mero
    como la sustancia constitutiva del Universo, con- dujo a otra
    creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema
    que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es
    decir, la existencia de una medida com´n para dos segmentos
    distintos cualesquiera. Tambi´n se asigna a los
    pitag´ricos el descubrimiento del teorema que lleva su
    nombre el cual, entre otras muchas cosas, conduce a una
    importante proporci´n: el cuadrado construido sobre la
    diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.
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    a o u u o u a u u u o u o u o u i u o e u Ahora bien, esta
    proporci´n trae como consecuencia inmediata una
    interrogante: ¿Cu´l es la proporci´n que se
    establece al comparar la diagonal del cuadrado y el lado del
    mismo?. La respuesta demoli´ la convicci´n
    pitag´rica de la conmensurabilidad de los seg- mentos:
    ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible
    conseguir un segmento medida com´n para ellos. De esta
    forma surge la primera noci´n de irracionalidad y desde
    entonces el concepto de n´mero ha sufrido una considerable
    evoluci´n hist´rica, estableci´ndose distintos
    tipos de n´meros que conforme son m´s evolucionados
    permiten resolver distintos tipos de problemas, por ejemplo: i)El
    problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos
    axiomas de Peano.(n´meros naturales N) ii)El problema de la
    resta (n´meros enteros Z). En el conjunto de los
    n´meros nat- urales la ecuaci´n a + x = b no siempre
    tiene soluci

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