Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos

Los
ˆ ˆ
fasores
ˆ ˆ
~ I
Prefacio

El presente trabajo tiene por objeto presentar los fundamentos matemáticos
y físicos que permitan el análisis de sistemas físicos dinámicos. Se repasan las
técnicas de notación y transformación matemática más comunes y se
presentan las características de los bloques funcionales que componen los
sistemas físicos complejos. Se emplea la función de transferencia por
transformada de Laplace en dominio complejo, y el espacio de estados para
la representación de ecuaciones diferenciales lineales que resultan del análisis
de un sistema físico. Se modelan sistemas que involucran diferentes tipos de
energía y se hacen notar las analogías naturales de sus modelos. Se presenta
una introducción teórica a los sistemas de control y finalmente se estudian
algunos dispositivos de medición y corrección de los sistemas de control.

Convención de notación
cantidades variables
se denotan por letras minúsculas (x,v,a,f…). Las
constantes por mayúsculas (G, M, R…). Los vectores indistintamente por
r r r r
negritas (x,v,a,f…) o bien letras con flecha superior ( x , v , a , f …). Los
vectores unitarios
con circunflejo superior ( r, n ). Los escalares por letras minúsculas
(x,v,a,f…), los módulos de vectores como escalares o empleando símbolos de
r r r r
absoluto ( x , v , a , f …), los números complejos por letras mayúsculas negritas
(Z,Y), o con circunflejo ( Z ,Y ), los
por negritas (M, X).
i
con tilde superior (V , ~ ), las matrices

Capítulo 1
Métodos matemáticos
de transformación
Con el objeto de tener una sólida base matemática que nos
permita el correcto análisis de los sistemas físicos dinámicos, en
este capitulo se presentan los siguientes temas de notación y
transformación matemática:
Notación sigma, inducción matemática
Notación real y compleja
Notación de razones de cambio y sumas infinitesimales
Notación integrodiferencial
Notación matricial y sistemas de ecuaciones lineales
Notación vectorial y campos vectoriales
Transformación de sistemas coordenados
Transformación fasorial
Transformación unidad
Transformación en componentes simétricas
Transformación de Laplace
Transformación en series de potencias
Transformación de Fourier
Transformación zeta

I-3
en
Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación

Notación sigma, inducción matemática
Número entero. El conjunto de números enteros es
Z = {K ,-2,-1,0,1,2, K} ,
el conjunto de
enteros positivos es
Z + = {1,2,3, K} = {Z} | Z > 0 ;
el conjunto de enteros negativos es
Z – = {K ,-3,-2,-1} = {Z} | Z < 0 .
El conjunto de números enteros no negativos es:
Z 0+ = {0,1,2,3,K} = {Z} ?{0} .
El factorial de un número (véase función Gamma)
n | n ? Z +
se define
por
n!= 1 · 2 · 3K n = n · (n – 1)! ,
sus propiedades son:
(1) 0!= 1;
(2) (n + 1)!= (n + 1) · n!,
general el factorial es una operación recursiva:
n!= n · (n – 1)!= n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · L · (1) =
(n + 1)!
n + 1
(1)
Número booleano. El algebra booleana fue desarrollada por George Boole en
1854 (publicado en An Investigation of the Laws of Thought). Sea x un número booleano
tal que x ? B y B = {0,1} , se definen 3 operaciones: complemento de x (x’), producto
y suma y obedecen las siguientes identidades:
x ?{0,1}
x' = 1 ? x = 0; x' = 0 ? x = 1
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x' = 1
x · 0 = x
x · 1 = x
x · x = x
x · x' = 0
(2)
x + y = y + x
x + ( y + z ) = ( x + y) + z
x( y + z) = xy + xz
x · y = y · x
x · ( y · z ) = ( x · y) · z
x + y · z = ( x + y) · ( x + z)
( x + y)' = x' y'
( x' )' = x
( xy)' = x'+ y'
Principios de conteo. La regla de la suma establece que: “sean A y B dos tareas
que pueden ser realizadas de m y n maneras respectivamente y no pueden ocurrir
simultáneamente; entonces la ejecución de una tarea cualquiera puede ser acompañada por
una de las m+n maneras”. La regla del producto establece que: “si un
procedimiento puede ser descompuesto en dos etapas A y B de manera que para m formas
de A existan n formas de B; entonces el procedimiento total puede ser efectuado en m×n
formas ”. De los principios de conteo expuestos se deducen los conceptos de
permutación, arreglo, combinación y combinación con repetición:

Principios físicos y matemáticos para el análisis de sistemas dinámicos. Introducción al control – Mayo 2007

? n ?
? ?
?
?
? ?
n
8
n
n
n
si i = k – 1 en S1 ? k = i + 1
8
8
si i = k + 1 en S2 ? k = i – 1
S = ?i +1=2?i =1 2(i + 1)Ci +1 X i + ?i -1=0?i =1 6C( i -1) X i = ?i =1 [2(i + 1)Ci +1 + 6C( i -1) ]X i
(6)
N
N -k
k k
?
8
k =0
4
Capítulo 1. Métodos matemáticos de transformación
I-4
Orden relevante Repeticion es
Tipo
Fórmula
Si
Si
No
No
Si
No
Permutación
Arreglo
Combinación
P(n,r) = n! /(n-r)!
n r
C (n, r ) = ? ? = n! /[r!(n-r)!]
? r ?
No
Si
Combinación c/repetición
? n + r – 1?
? r ?
(3)
Notación sigma

De todas las operaciones existentes, la suma es la operación lineal más elemental y
sobre la cual se pueden desarrollar cualesquiera otras (inclusive el producto). De
manera ordinaria la suma finita se representa por S n = a0 + a1 + K + a n ; mientras
que la suma infinita se expresa como
S = S 8 = a0 + a1 + a 2 + K .
Existe una manera
reducida conocida como notación sigma y se representa por:
S n = ?k =0 ak = a0 + a1 + K + an ,
S = S8 = ?k =0 ak = a0 + a1 + an + K
(4)
Las propiedades fundamentales de la notación sigma son:
(1)
?
n
k =0
(ak ± ak ) = ?k =0 ak ± ?k =0 bk ? Linealidad
(2)
?
n
k =0
cak = c?k =0 ak
(5)
(3)
?
n
k =