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Teoría de la Divisibilidad (página 2)



Partes: 1, 2

o a ia u o e u a u u u u a o u u o o
e ia INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia
alumnos.”(MOLL, p. 236); adem´s que la propia Reforma
Educativa que dice “Articulo 14 La carrera docente depende
del constante mejoramiento en actualizaci´n permanente y
formaci´n profesional. […] ”(Ley 1565, R.E., DS
23968, 24 de febrero de 1995, p.139), de esto podemos decir que
no s´lo el alumno esta en la responsabilidad de aprender y
el maestro en ense˜arle, sino que el maestro esta en la
obligaci´n de saber mucho mas que el alumno; aportando de
esta manera a la Educaci´n secundaria . Por otro lado es
importante estudiar “divisibilidad”, pues al
desarrollar un n´mero mediante productos, permiten escribir
n´meros con pocas cifras, que nos permitan operar
r´pidamente con ellos, factorizar un n´mero, conocer
sus divisores adem´s de estudiar sus propiedades.
Tambi´n es preciso decir que Factorizar es una forma de
expresar un n´mero mediante productos de n´meros
primos, proporcionando informaci´n considerable sobre el
n´mero, sus divisores y sus m´ltiplos, acci´n
que se ejecuta en cualquier rama de la matem´tica y
principalmente en los primeros niveles de secundaria donde el
estudiante toma sus primera armas para enfrentar posteriormente a
una matem´tica mas abstracta. Adem´s que el estudio
de la teor´ de n´meros, es uno de los principales
ejemplos de matem´tica pura, que, si es estudiado con
inter´s por parte del estudiante le sera de gran utilidad
en la transici´n de este a la universidad. Ahora ¿De
que hablamos, cuando hablamos de divisibilidad? En muchas
situaciones los docentes responden al planteamiento anterior en
t´rminos muy simples: de criterios de divisibilidad (por 2,
por 3, etc.), de descomposici´n de un n´mero en
factores primos para calcular el m´ximo com´n divisor
o el m´inimo com´n m´ltiplo de dos
n´meros, y ya. Y todo lo anterior tratado de una forma
pr´ctica, reducida a c´mo se hacen las cosas, a las
reglas correspondientes a cada caso. Sin embargo y como lo iremos
viendo a lo largo de este trabajo monogra?co, el tema de la
divisibilidad se re?ere al estudio de los n´meros enteros,
es decir, pensando en que todo n´mero entero siempre puede
describirse como producto de varios factores. De esta
consideraci´n tan sencilla y de la curiosidad e
intuici´n de algunas personas arranc´ en la historia
de la matem´tica un estudio muy amplio que abarca
conceptos, relaciones, propiedades, regularidades y tambi´n
aplicaciones. Es importante porque el alumno experimenta de
manera concreta el trabajo matem´tico que realiza un
“matem´tico puro”, la teor´ de la
divisibilidad es importante porque el alumno trabaja en un
contexto netamente matem´tico, donde ve de que manera se
aplica 7

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i u INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia las
propiedades de los n´meros enteros para encontrar otras
propiedades. 8

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o o i o u o o u o u u u u o ia Cap´itulo 3 EL ESTUDIO DE LA
DIVISIBILIDAD (Fundamento te´rico) 3.1. Problema El
problema detectado es, que se requiere demostrar o describir el
algoritmo de la divisi´n, es as´ que nos planteamos
en la presente investigaci´n descriptiva: ¿Es
posible hallar y/o demostrar la divisibilidad de un n´mero
entero hacia otro entero? Nos planteamos la interrogante a partir
de lo siguiente: Es claro que existe un Algoritmo de la
divisi´n “a = bq +r”, donde la divisi´n
de un n´mero por otro es exacta o inexacta, pero s´lo
para un n´mero determinado, pero no tenemos un criterio
general de la divisibilidad de un n´mero, donde el
n´mero es divisible por alg´n otro. Luego, a partir
de una investigaci´n descriptiva, recogiendo
informaci´n, analizando llegaremos a exponer los resultados
a que llegar´ este estudio de la Teor´ de la
Divisibilidad. 9

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i a o o i o o o o INSSB 3.2. 3.2.1. Teor´a de la
Divisibilidad Consideraciones preliminares Propiedades
B´sicas de (+, *) Monograf´ia En los enunciados que
siguen sean a, d, c y d elementos cualesquiera de Z Propiedades
de la igualdad Re?exividad : a = a para todo a. Simetr´ia:
Si a = b, entonces b = a Transitividad : Si a = b y b = c,
entonces a = c. Propiedades de la suma y de la
multiplicaci´n Bien de?nida: Si a = b y c = d, entonces a +
c = b + d y a × c = b × d. Cerrada: a + b ? Z y a
× b ? Z. Conmutatividad : a + b = b + a y a × b = b
× a. Asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) y (a ×
b) × c = a × (b × c). Identidad : Existe un
elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a; existe un elemento 1 tal
que a × 1 = 1 × a = a. Inverso: Para cada a existe un
elemento -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. Cancelaci´n:
Si a × c = b × c cuando c = 0, entonces a = b.
Distributividad : a × (b + c) = (a × b) + (a ×
c); (b + c) × a = (b × a) + (c × a).
Propiedades de la desigualdad (a < b ? b > a)
Tricotom´a: Para cada par de elementos a y b, s´lo
uno de los siguientes enunciados es verdadero: a < b, a = b,
´ b < a. Suma: Si a < b, entonces a + c < b + c
Multiplicaci´n:Si a < by c > 0, entonces a × c
< b × c. Transitividad: Si a < b y b < c, Entonces
a < c Muchos de los teoremas pueden ser demostrados c´mo
consecuencias de las propiedades 10

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i a o a o io u a ia u u u i ia ia i a u e a o INSSB Teor´a
de la Divisibilidad Monograf´ia b´sicas de la
igualdad, suma y multiplicaci´n; entre ellos est´n
los siguientes: Propiedad del cero de la multiplicaci´n:a
× 0 = 0 Producto cero: Si a × b = 0, entonces a = 0 o
b = 0 Principio del buen orden (P.B.O.) Todo subconjunto no
vac´ de los enteros (Z+ ) positivos tiene un elemento
m´inimo. El principio del buen orden nos garantiza que
cualquier subconjunto del conjunto de los enteros que contiene
solo n´meros positivos, contiene un entero positivo menor
menor que todos los dem´s. Por ejemplo, el conjunto de los
enteros positivos pares tiene un menor elemento, el 2. Sea el
subconjunto S ? Z+ ? ?a ? S : a = s; ?s ? S Obs: El axioma no es
valido en todo Z+ porque no puede haber un entero negativo menor.
El axioma no es valido en Q 3.3. Divisibilidad Divisibilidad, es
parte de la teor´ de los n´meros que estudia las
condiciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre
otro y las consecuencias que de este hecho se derivan. “El
estudio de las propiedades de los n´meros enteros positivos
es el objetivo central de la teor´ia de n´meros:
Teor´a Elemental, Teor´ Anal´itica, Teor´
Algebraica ”(De oliveira, Plinio; p. 2; 2000) En esta
monograf´a nos limitamos a la parte elemental, donde se
presenta demostraciones b´sicas, que seg´n Plinio de
Oliveira son necesarias para el estudio de las partes
Anal´itica y Algebraica, como tambi´n para las
dem´s ramas de las matem´ticas. Estudiaremos las
propiedades elementales de la divisibilidad en el conjunto de los
enteros, siendo el algoritmo de la divisi´n el enunciado
mas importante, pues a partir del cual, 11

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i u a u u u u u u o ´ i u i INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia podremos pasar a estudiar los
N´meros Primos, el MCD (M´ximo com´n divisor),
adem´s del algoritmo euclidiano, para ?nalmente llegar a
Los Criterios de divisibilidad 3.3.1. Divisibilidad entre
n´meros naturales Calcular el cociente 12:3 o 12/3, o
dividir 12 por 3, signi?ca hallar un n´mero tal que da
resultado 12 si se multiplica por tres. Entonces 12:3=4 puesto
que 12=4·3 y en general a:b=c signi?ca que a=c·b.
En palabras, y con referencia a n´meros naturales, tenemos:
Dados dos n´meros naturales a y b llamados respectivamente
dividendo y divisor, se llama cociente a:b o a/b a un
n´mero c, si existe, tal que da como resultado el dividendo
si se lo multiplica por el divisor: a=c·b. 3.3.2.
Algoritmo de la divisi´n Teorema. Sea a, b enteros donde b
> 0 entonces existen unicos enteros q y r tal que a = b
· q + r, 0 = r < b Dem. Sean a,b enteros ?jos con b =
0. Consideremos todos los enteros de la forma a – bx, donde x ?
Z. Primero mostraremos que algunos de estos enteros deben ser no
negativos. Hay dos posibilidades: 1. Si a = 0, entonces a – b
· 0 = a = 0. As´ que a – bx es no negativo para x =
0 en este caso. 2. Si a < 0, entonces -a > 0, ya que b es
un entero positivo, debemos tener b = 1. multiplicando esta
ultima desigualdad por el n´mero positivo -a, muestra que
b(-a) = -a, o equivalente, a – ba = 0. As´ que a – bx, es
no negativo cuando x = a en este caso. 12

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i u i o i o i ´ i ´ u e o o o i INSSB Teor´a de
la Divisibilidad Monograf´ia Luego el conjunto S de todos
los enteros no negativos de la forma a – bx, con x ? Z, es no
vac´io. Por el principio del buen orden, S contiene un
elemento m´inimo llamemoslo r. Ya que r ? S, r es de la
forma a – bx para que alg´n x, digamos x = q. As´ que
hemos encontrado q y r tal que: r = a – bq, ´
equivalentemente, a = bq + r. Como r ? S, sabemos que r = 0.
Ahora mostraremos que r < b. Supongamos lo contrario, que r =
b, entonces r – b = 0 , as´ que: 0 = r – b = (a – bq) – b =
a – b(q + 1). Ya que a – b(q + 1) es no negativo, es un elemento
de S por de?nici´n. Pero como b es positivo, se tiene que r
– b < r. As´ que a – b(q + 1) = r – b < r La ultima
desigualdad establece que a – b(q + 1) es un elemento de S y
menor que r, el menor elemento de S. Esto es una
contradicci´n, as´ que se puede tener que r < b.
Luego encontramos enteros q y r tal que a = bq + r y 0 = r <
b. Para completar la prueba, debemos mostrar que q y r son unicos
con esta propiedad (Esto es lo que
“´nico´´ signi?ca en la proposici´n
del teorema). Para hacer esto, supongamos que para algunos
enteros q1 y r1 , tambi´n tenemos a = bq1 + r1 , con 0 = r1
< b, entonces probamos que q = q1 y r = r1 . Es claro que
´ r = r1 ´ r1 = r, sin perder generalidad
consideramos r = r1 . Usando sustracci´n tenemos: a = bq +
r -a = -bq1 + (-r1 ) 0 = bq – bq1 + r – r1 As´ tenemos: bq1
– bq = r – r1 b(q1 – q) = r – r1 13

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i ´ o u i i e ´ i o i o o u INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia Esta ultima ecuaci´n dice
que r – r1 es un entero m´ltiplo de b, pero b > 0 y r –
r1 = 0 (ya que r = r1 ), y as´ q1 – q debe ser un entero no
negativo . Luego r – r1 es uno de estos: 0b, 1b, 2b, 3b, …,
etc. Pero 0 = r1 = r < b, as´ que la diferencia r – r1
es tambi´n menor estricto que b, ya que 0b < 1b < 2b
< 3b < …, la unica posibilidad es que r – r1 = 0b = 0.
Luego r = r1 . Finalmente, ya que b(q1 – q) = r – r1 = 0 y b >
0, debemos tener q – q1 = 0, as´ que q = q1 . Ejercicios:
1. Sea n ? Z+ , probar que a y c dejan el mismo resto cuando son
divididos por n si y solo si : a – c = nk, ?k ? Z+ Dem. Si a y c
dejan el mismo resto cuando son divididos por n entonces tenemos
que probar que: a – c = nk, ?k ? Z+ En efecto : a = nq1 + r1 , c
= nq2 + r2 , con 0 = r1 < n; con 02 < n; Pero por
hip´tesis r1 = r2 , as´ que: r1 = a – nq1 y r2 = c –
nq2 luego: a – nq1 = c – nq2 a – c = nq1 – nq2 a – c = n(q1 – q2
), deaqui q1 – q2 = k a – c = nk 2. Use el algoritmo de la
divisi´n para probar que todo entero impar de la forma 4k +
1 ´ 4k + 3 para alg´n entero k. Dem. Sea a un entero
impar cualquiera y dividamos a entre 4 es decir: a = 4k + r , 0 =
r < 4 14

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i i o o o o u u u ´ u u o ´ u u INSSB Teor´a de
la Divisibilidad Monograf´ia r = 0, r = 1, r = 2, r =3
Entonces reemplazando tenemos que: a = 4k + 0 , no impar, pues es
de la forma par a = 4k a = 4k + 1, a = 4k + 2, ?, a = 2(2k +
1),no impar, pues es de la forma par a = 2k. a = 4k + 3 As´
a = 4k + 1 o a = 4k + 3 3.3.3. Divisibilidad De?nici´n:
Sean a y b enteros con b = 0. Decimos que b divide a a (´
que b es un divisor de a ´ que b es un factor de a ´
a es m´ltiplo de b) si a = bc para alg´n entero c, en
s´imbolos “b divide a a” se escribe b | a y
“b no divide a a” se escribe b a. Obs. i a y -a
tienen los mismos divisores. ii Todo divisor de a es menor o
igual a |a| iii Un entero no nulo tiene un n´mero ?nito de
divisores. 3.3.4. Primos y factorizaci´n unica Todo entero
n = ± 1 tiene por lo menos 4 divisores, los cuales son
±1, ±n, ahora los enteros que tienen solo estos 4
divisores, constituyen una parte importante dentro de la
teor´ia de n´meros, a estos los llamamos
n´meros primos. De?nici´n.: Un entero P se dice que
es primo si y solo si, sus unicos divisores son ±1 y
±p Ejemplo: Si a, b y c son enteros tales que a · b
= c, entonces se dice que a y b son factores o divisores de c, y
que c es un m´ltiplo de a y b. Como 3 · 4 = 12 el
n´mero 3 es un factor 15

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i u e u u u u ´ a u u u ´ u u e n u u INSSB
Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia de 12, y el 12
es un m´ltiplo de 3. Tambi´n 4 es un factor de 12 y
12 es un m´ltiplo de 4. El n´mero 12 tiene otros
factores. Por ejemplo, -2, ya que (-2) · (-6) = 12.
Usaremos el s´imbolo d|c para denotar que d es un factor o
divisor de c. Si d no es un factor de c, escribiremos d c.
Consideremos ahora los enteros positivos mayores que 1, esto es,
2, 3, 4, ….Cada uno de estos enteros puede ser clasi?cado como
un numero primo o como un n´mero compuesto. Un entero
positivo p mayor que 1 se dice que es un n´mero primo o
simplemente un pri- mo, si los unicos enteros positivos factores
de p son 1 y p. Un entero positivo mayor que 1 que no es primo se
dir´ que es un n´mero compuesto, o simplemente un
compuesto, esto es, un n´mero compuesto es un entero
positivo n que posee factores positivos diferentes de 1 y n. El 5
es un n´mero primo, ya que sus unicos factores posibles son
1 y 5. En cambio, 10 es un n´mero compuesto, pues el 2 es
un factor de 10 y 2 = 1 y 2=10. Como el 1 no es ni primo ni
compuesto, tenemos que cada n´mero del conjunto de los
enteros positivos es o un primo o un compuesto, o igual a 1.
Teorema : Todo entero n = 0, ±1, es un producto de primos
Dem.: Supongamos que el teorema es falso; es decir, existe un
entero m = 0, ±1 que no es un producto de primos, es decir
que no se puede factorizar en producto de primos. Luego,
consideremos el conjunto de todos los enteros no negativos que
son producto de primos y llamemoslo S, y por lo anterior S =
Ø pues m ? S, pero por el P.B.O. sabemos que S tiene un
elemento m´inimo, supongamos m0 , es decir m0 m, ahora
¿m0 es primo o no lo es?, pues tenemos m0 no es primo ya
m0 ? S, asi m0 = ab, 0 < a < m0 de ahi que a, b no
pertenece a S, entonces a es producto de primos y b
tambi´n. Entonces m0 es producto de primos es decir m0 no
pertenece a S, pero esto es falso, ya que m0 es el elemento mas
peque˜o de S, lo cual es una contradicci´n. Luego, el
teorema esta probado. 3.3.5. Propiedades de los n´meros
primos El problema de encontrar todos los primos menores que un
n´mero dado n se torna muy dif´icil cuando n es
grande. En verdad, para valores extremadamente grandes de n,
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i 7 a e o o e n e u u u u u e u u a u a INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia el trabajo ser´ia casi
imposible desde el punto de vista pr´ctico. Existen varias
listas de tales primos para valores de n asta aproximadamente 10
, que son completas y dignas de con?anza. Una t´cnica
llamada la criba de Erat´stenes, en honor al
matem´tico griego erat´stenes (256-194 A.C.),
representa un m´todo razonable para obtener una lista
completa de pri- mos menores o iguales que n, cuando n es
relativamente peque˜o. Esta t´cnica consiste en
escribir una lista de los enteros entre 2 y n, para tachar cada
segundo n´mero despu´s del 2, es decir4, 6, 8, …,
ya que cada uno de tales n´meros contiene como factor a 2,
y por tanto es compuesto. Continuamos eliminando cada tercer
n´mero despu´s 3, es decir, 6, 9, 12, …, ya que
ellos son n´meros compuestos; repetimos la operaci´n
eliminando cada quinto n´mero despu´s del 5, cada
s´ptimo n´mero despu´s del 7, … Muchos
n´meros son tachados m´s de una vez. El proceso
termina cuando todos los m´ltiplos de p distintos de v p,
para todo primo p = n han sido eliminados. Los enteros que quedan
despu´s de este tamizado son los primos menores o iguales a
n. La tabla (abajo) muestra el resultado del tamizado para n =
100. Los primos menores o iguales que 100 est´n en los
c´irculos. 17

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i o ia u u INSSB Teor´a de la Divisibilidad La criba de
Erat´stenes PARA n = 100 Monograf´ia 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 19 14 15 16 17 20 21 22 23 18 24 25 31 37 43 49 55 61
67 73 79 85 91 97 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98 27 33 39
45 51 57 63 69 75 81 87 93 99 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94
100 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 30 36 42 48 54 60 66 72
78 84 90 96 Notar que, excepto por los primos 2 y 3, todo primo
en la tabla ocurre en primera o en la quinta columna. Los enteros
localizados en esas columnas son de la forma 6k + 1 o 6k – 1,
donde k es un entero positivo. Se podr´ conjeturar que todo
primo, distinto de 2 y3, es de la forma 6k + 1 o 6k – 1. Teorema
:El n´mero de primos es in?nito. Demostraci´n: (Por
contradicci´n). Supongamos que existe una cantidad ?nita de
n´meros primos; es decir: p1 , p2 , p3 , …, pn donde pi
es primo; ahora, sin perder generalidad supongamos que: p1 <
p2 < p3 < p4 < … < pn-1 < pn , notemos que pn es
el mas grande primo. 18

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i u ´ i u a u o o a u a a u a u a u INSSB Teor´a de
la Divisibilidad Monograf´ia Luego, construyamos el
siguiente n´mero: A = p1 · p2 · p3 · .
. . · pn-1 · pn // + 1 A + 1 = (p1 · p2
· p3 · . . . · pn-1 · pn ) + 1 Ahora
A+1 es primo o A+1 es compuesto(no primo); supongamos que A+1 sea
primo entonces vemos que pn < A+1 lo cual es una
contradicci´n (??), pues pn es el mas grande primo. Por
otro lado si A + 1 es compuesto tiene mas de 2 divisores, pues
los unicos divisores (primos) que tiene A + 1 diferentes de A + 1
y 1, son p1 , p2 , p3 , …, pn , ahora pues notemos que que
ninguno de ellos divide exactamente a A+1; pues la division de
A+1 entre pi , con i = 1, 2, 3, …, n, deja resto as´
llegamos a otra contradicci´n (??. Por lo tanto llegamos a
la conclusi´n de que el n´mero construido no es primo
ni compuesto, con lo que queda demostrado el teorema. 3.4.
M´ximo Com´n divisor En esta secci´n
analizaremos el problema de determinar el mayor de los factores
comunes a dos enteros. De?nici´n Sean a y b enteros no
ambos cero, el m´ximo com´n divisor (MCD) de a y b es
el m´s grande entero d que divide a a y b, en otras
palabras, d es el MCD de a y b, Para demostrar que un entero
positivo d es el m´ximo com´n divisor de dos enteros
a y b, no ambos cero, es su?ciente probar que: (i) d|a y d|b (ii)
si c|a y c|b, entonces c = d. El m´ximo com´n divisor
de a y b, es usualmente denotado por (a, b) Por ejemplo, el
m´ximo com´n divisor de 24 y 78 es 6; esto es,
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i 2 2 e a u ´ a i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia (24, 78) = 6. Notese tambi´n que (-24,
78) = (24, -78) = (-24, -78) = 6. Si a = b = 0, entonces (a, b)
no existe. Si a = 0 y b = 0, entonces (a, b)=|a|; si a = 0 y b =
0, entonces (a, b)=|b|. Observaciones: i (a, b) = 1 ii (a, 0) =
|a| iii Si (a, b)=1 Decimos que a y b son primos relativos o
comprimos. Teorema : Sean a y b enteros no nulos, y sea d su
m´ximo com´n divisor, entonces existen (no
necesariamente unicos) enteros u y v tal que d = au + bv
Demostraci´n: Sea S el conjunto de todas las combinaciones
lineales de a y b, eso es : S = am + bn/m, n ? Z Encontraremos un
elemento particular de S y mostraremos que el MCD. Primero
notemos que a2 + b2 = aa + bb est´ en S y a2 + b2 = 0. Como
a y b son ambos no nulos a +b debe ser positivo. Luego S contiene
enteros positivos y de ah´ debe contener un elemento
m´inimo en S, por el principio del buen orden. Sea t dicho
elemento m´inimo de S. Por de?nici´n de S sabemos que
t = au + bv para algunos enteros u y v, a?rmamos que t es el MCD
de a y b, esto es, t = d. 20

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i o i i ´ i i u u i o i a u o o a INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia Para probar esto mostraremos que
t|a. Por el Algoritmo de la Divisi´n, existen enteros q y r
tal que a = tq + r, con 0 = r < t. consecuentemente: r = a –
tq r = a – (au + bv)q = a – aqu – bvq r = a(1 – qu) + b(-vb)
As´ que r es una combinaci´n lineal de a y b, y de
ah´ r ? S, ya que r < t (El elemento m´inimo
positivo de S), sabemos que r es no positivo como r = 0, la unica
posibilidad es que r = 0. Luego a = tq + r = tq + 0 = tq
As´ t|a. Un argumento similar muestra que t|b. De ah´
t es un com´n divisor de a y b. Sea c cualquier otro
com´n divisor de a y b, as´ que c|a y c|b entonces a
= cr y b = cs, para algunos enteros r y s, consecuentemente t =
au + bv = (cr)u + (cs)v = c(ru + sv) La primera y ultima parte de
esta ecuaci´n muestra que c|t de donde c = |t|. Pero t es
positivo, as´ |t| = t y c = t esto muestra que t es el
M´ximo com´n divisor d Corolario: Sea a y b enteros
no nulos y sea d un entero positivo entonces el MCD de a y b si y
s´lo si d satisface: (i) d|a y d|b (ii) si c|a y c|b,
entonces c|d. Demostraci´n: Supongamos que d = (a, b).
Entonces d = 1 y d satisface i) por de?nici´n. El ultimo
p´rrafo de la prueba del teorema muestra que (con d en
lugar de t) d satisface la condici´n ii).
Rec´iprocamente supongamos 21

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i u u i i a u a u ´ a u ´ a u a u o o INSSB
Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia que d es un
entero positivo que satisface las dos condiciones. Entonces d es
un divisor com´n de a y b por i). Si c es otro divisor
com´n de a y b entonces c|d por ii). De ah´ c = |d|,
pero d es positivo, as´ |d| = d de donde c = d, luego d es
el m´ximo com´n divisor. Teorema : El m´ximo
com´n divisor de dos enteros, no ambos cero, es unico.
Demostraci´n: Si g y g‘ son dos enteros positivos que
satisfacen condiciones (i) y (ii) para dos enteros a y b, no
ambos cero, entonces g|g‘ y g‘|g. Por lo tanto, g =
g‘. Los dos teoremas anteriores, en conjunto establecen que
el m´ximo com´n divisor de dos enteros, no ambos
nulos, existe y es unico; pero ninguno da un procedimiento para
determinar el m´ximo com´n divisor. Ilustraremos un
procedimiento para determinar el m´ximo com´n
divisor. Ilustraremos un procedimiento en el caso en que ambos
enteros sean distintos de 0. Este procedimiento, un algoritmo,
depende de la propiedad de la di- vision. Un algoritmo es un
proceso que envuelve el uso repetido de una f´rmula o regla
u operaci´n tal que la informaci´n o resultado
obtenido en cada paso es usado en los pasos siguientes hasta que
el resultado deseado es obtenido. Consideremos dos enteros
positivos a y b. Sea a > b. Entonces, por la propiedad de la
divisi´n, existen qi y ri tales que a = q1 b + r1 , donde 0
< r1 < b; b = q2 r1 + r2 , r1 = q3 r2 + r3 , 22 donde 0
< r2 < r1 ; donde 0 < r3 < r2 ;

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i u u o u o u o o o o o o u o e i u INSSB
············
Teor´a de la Divisibilidad rk-3 = qk-1 rk-2 + rk-1 , donde
0 < rk-1 < rk-2 ; rk-2 = qk rk-1 + rk , donde 0 < rk
< rk-1 ; Monograf´ia rk-1 = qk+1 rk + 0. Observar que r1
, r2 , r3 , …, rk+1 , rk representan una secuencia decreciente
de enteros pos- itivos. Como solo existe un n´mero ?nito de
enteros positivos menores que b, el proceso debe terminar; es
decir, solo existe un n´mero ?nito de enteros positivos ri
que satisfacen aquellas condiciones. Este proceso, llamado
algoritmo de Euclides produce (a, b) = rk . Para demostrar que
(a, b) = rk , necesitamos probar que (i) rk |a y rk |b (ii) todo
divisor de a y b divide a rk . De la ultima ecuaci´n se
sigue que rk |rk-1 . Sustituyendo rk – 1 en la pen´ltima
ecuaci´n, rk-2 = qk qk+1 rk + rk = (qk qk+1 + 1)rk , Por lo
tanto, rk |rk-2 . Sustituyendo rk-2 y rk-1 en la
antepen´ltima ecuaci´n, rk-3 = qk-1 (qk qk+1 + 1)rk +
qk+1 rk = (qk-1 qk qk+1 + qk-1 + qk+1 )rk Por lo tanto, rk |rk-3
. Continuando en forma an´loga, podemos demostrar que rk
|b, ya que rk |r1 y rk |r2 en la segunda ecuaci´n. Por lo
tanto, usando la primera ecuaci´n, rk |a y entonces la
condici´n (i) es satisfecha; es decir, rk divide a a y b.
Para demostrar que la condici´n (ii) es satisfecha; sea d|a
y d|b. Entonces de la primera ecuaci´n se desprende que
d|r1 ; de la segunda ecuaci´n, d|r2 ; de la tercera
ecuaci´n, d|r3 ; …; y ?nalmente, de la pen´ltima
ecuaci´n, d|rk . Por lo tanto, todo divisor de a y b
tambi´n divide rk . De aqu´ que (a, b) = rk . Si a o
b es un n´mero negativo, podemos hacer caso omiso del signo
negativo en el algoritmo 23

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i 3.5. a u i, a u i, a u a a u o e INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia de euclides, ya que (a, b) = (a,
-b) = (-a, b) = (-a, -b). Propiedades del m´ximo
com´n divisor Se dice que dos enteros a y b, no ambos 0,
son relativamente primos o primos en- tre s´ si el
m´ximo com´n divisor es la unidad; esto es si (a, b)
= 1. Por ejemplo, 22 y 15 son enteros relativamente primos,
aunque ninguno de ellos es primo. En general los n = 2enteros a1
, a2 , …, y an , no todos 0, se dicen relativamente primos o
primos entre s´ si el m´ximo com´n divisor es
la unidad; es decir, si (a1 , a2 , …, an ) = 1. Adem´s,
si (ai , aj ) = 1 para cada i = j e i, j = 1, 2, …, n, entonces
los n = 2 enteros a1 , a2 , …, y an se dicen relativamente
primos a pares. Por ejemplo, los tres enteros 5, 10 y 13 son
relativamente primos ya que (5, 10, 13)=1; pero ellos no son
relativamente primos a pares, puesto que (5, 10) = 1. Los
siguientes teoremas concernientes a propiedades del m´ximo
com´n divisor de dos enteros son de cierto inter´s.
Teorema : Dos enteros a y b, no ambos 0, son relativamente primos
si y solo si existen enteros x e y tales que 1 = xa + yb. Dem.:
Si (a, b)=1, entonces por el teorema del MCD existen enteros x e
y tales que 1 = xa + yb. Si (a, b) = d y d > 1, entonces por
el teorema del MCD d es el mayor entero positivo que puede ser
expresado como funci´n lineal homog´nea de a y b. Por
lo tanto, 1 = xa + yb 24

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i b b b b d d d i d i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia para todo par de enteros x e y. Por lo tanto,
el teorema queda demostrado. Teorema : Si d=(a, b) entonces ( a ,
d ) = 1. Dem.: Si ( a , d ) = k, donde k = 1, entonces a =
ka‘ y d = kb‘; esto es, a = dka‘ y b =
dkb‘. Como dk|a y dk|b, se tiene d = (a, b). De aqu´
que, si d = (a, b), entonces ( a , d ) = 1. Teorema : Si (a, b)=1
y (a, c)=1, entonces (a, bc)=1. Dem.: Si (a, b)=1, entonces, por
el teorema del MCD existen enteros x e y tales que 1 = xa + yb;
si (a, c)=1 entonces existen enteros r y s tales que 1 = ra + sc.
Entonces 1 = xa + yb(ra + sc) = (x + ybr)a + (ys)bc. De
aqu´ que por el teorema de los coprimos, se tiene que (a,
bc)=1. Teorema : Si (a, bi ) = 1 para i=1, 2, …, n, entonces
(a, b1 b2 …bn ) = 1. . Dem.: La demostraci´n es por
inducci´n matem´tica. Esta dado que (a, b1 ) = 1.
Supong- amos ahora que (a, b1 b2 …bk ) = 1. Como (a, bk+1 ) =
1, entonces, por el teorema anterior (a, b1 b2 …bk+1 ) = 1.
25

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i 3.6. a o o o o o o e o o i o o o INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia Por lo tanto, (a, b1 b2 …bn ) =
1. para cualquier entero positivo n, y el teorema queda
demostrado. Teorema : Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c. Dem.:
Si (a, b)=1, entonces, por el teorema del MCD, existen enteros x
e y tales que 1 = xa + yb Entonces c = xac + ybc. Como a|bc y
a|ac, se tiene a|(xac + ybc); esto es, a|c. Criterios de
divisibilidad y propiedades elementales de congruencias
Previamente para poder demostrar muchos de los criterios de
divisibilidad enunciare- mos algunas propiedades de Congruencias
que nos podr´n ser de mucha ayuda. La relaci´n de las
congruencias m´dulo m, cuando m es un entero positivo, es
una relaci´n de equivalencia en el conjunto de los enteros;
esto es, la relaci´n de congruencia m´dulo m es: 1.
Re?exiva: a = a (m´d m) para todo entero a; 2.
Sim´trica: s´ia = b (m´d m), entonces b = a
(m´d m) para todo par de enteros a y b; 3. Transitiva:
s´ a = b (m´d m) y b = c toda terna de enteros a, b y
c. Algunos teoremas sobre congruencias 26 (m´d m), entonces
a = c (m´d m) para

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i i o o i o o i o o o i o o o i o o o u u o u u u ´ u a u u
u u e o o ´ i: INSSB 1. S´ a = b Teor´a de la
Divisibilidad (m´d m) y c es un entero, entonces a + c = b
+ c (m´d m) Monograf´ia 2. S´ a = b (m´d
m) y c es un entero, entonces ac = bc (m´d m) 3. S´ a
= b (m´d m) y c = d (m´d m), entonces a + c = b + d
(m´d m) 4. S´ a = b (m´d m) y c = d (m´d
m), entonces a – c = b – d (m´d m) 5. S´ a = b
(m´d m) y c = d (m´d m), entonces ac = bd (m´d
m) Para conocer si un n´mero es m´ltiplo de otro, es
decir para averiguar si es divisible por ese otro, no siempre es
necesario hacer la divisi´n para ver si el cociente es
exacto, pues se conocen ciertas caracter´isticas que deben
poseer los n´meros para ser m´ltiplos de otros
determinados. Ahora veremos algunos criterios de divisibilidad.
Al conjunto de condiciones que debe cumplir un n´mero
cualquiera para ser divisible por otro determinado , se le llama
crite- rio de divisibilidad por este ultimo n´mero. A
continuaci´n se enuncian los criterios de divisibilidad
m´s utilizados. Notaci´n: Para indicar el
n´mero tal que : La cifra de las unidades esta representada
por a, la cifra de las decenas por b, la cifra de las centenas
por c, la cifra de las unidades de mil por d, etc., se utiliza la
notaci´n dcba. El subrayado se efect´a para aclarar
que no se trata de un producto, sino de cifras de un
n´mero. Por otro lado: Sea n ? N – 0 y consideremos un b
> 1, entonces un n´mero n en base b, se representa por
el polinomio n = ak bk + ak-1 bk-1 + … + a1 b + a0 Donde 0 ai
< b obs´rvese que la precisi´n es importante
Criterios de divisibilidad por 2. Un entero es divisible por 2 si
y s´lo si el ultimo d´igito de las unidades es par.
Dem: Sea n un entero divisible por 2 es decir: n = 2 · k y
n = ak 10k + ak-1 10k-1 + … + a1 10 + a0 As´ 27

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i i u i, o 2 u e u u o 2 u 2 2 2 o INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia 2k = ak 10k + ak-1 10k-1 + … +
a1 10 + a0 2k = 10(ak 10k-1 + ak-1 10k-2 + … + a1 ) + a0 2k –
10(ak 10k-1 + ak-1 10k-2 + … + a1 ) = a0 a 2k – 2 · 5(a)
= a0 2(k – 5(a)) = a0 ; As´ a0 es par. Todo n´mero
que termina en cifra par es divisible por 2. As´ 516, 24,
1968 y 4530, como puede comprobarse son divisibles por 2.
Simb´licamente tenemos: n = dcba ? n = ° a es par Como
toda cifra par es m´ltiplo de , tambi´n puede
enunciarse: Un n´mero es divisible por 2 cuando la cifra de
sus unidades es m´ltiplo de 2. Simb´licamente
tenemos: n = dcba ? n = ° Ejemplos: a=2 Son n´meros
divisibles por 2: 1350, pues 0 = ° 278, pues 8 = ° 10002,
pues 2 = ° Criterios de divisibilidad por 5. Un entero es
divisible por 5 si y s´lo si el d´igito de las
unidades es 5 o 0. Dem: Sea n un entero positivo de donde: n =
10q + r; 0 = r < 10 28

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i u i i, u ´ u o i o o i o i o u i, 5 u 5 5 5 ´ u u e
u u u o u INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia donde r representa el d´igito de las
unidades Luego n = 5 · 2q + r Si n es divisible por 5,
entonces n = 5 · R para alg´n R, as´ 5R = 5
· 2q + r 5R – 5 · 2q = r 5(R – 2q) = r As´ r
es m´ltiplo de 5, pero los unicos m´ltiplos de 5
comprendidos entre 0 y 9 son 0 y 5, es decir; r = 0 ´ r = 5
s´ el d´igito de las unidades es 0 ´ 5,
entonces n = 10q + r con r = 0 ´ r = 5, as´ n = 10q +
0 ´ n = 10q + 5, as´ n = 5(2q) ´ n = 5(2q + 1),
en cualquier caso n es divisible por 5 Todo n´mero
terminado en 0 o en 5 es divisible por 5. As´ 30, 25, 200,
815, como se puede comprobar son divisibles por 5. Ejemplos: n =
dcba a=5 o a=5 ? n =° Son numeros divisibles por 5: 1350,
110, 585, 8495, 1020. Son n´meros divisibles por 5: 1350,
pues 0 = ° 110, pues 0 = ° 585, pues 5 = ° Teniendo
en cuenta que 0 y 5 son los unicos n´meros de una cifra
m´ltiplos de 5, el criterio de divisibilidad por 5
tambi´n puede enunciarse: Un n´mero es divisible por
5 si la cifra de las unidades es m´ltiplo de 5. Criterios
de divisibilidad por 3. Un n´mero entero es divisible por 3
si y s´lo si la suma de sus d´igitos es
m´ltiplo de 3. Dem. : Sea n un entero. Consideremos lo
siguiente: n = ak 10k + ak-1 10k-1 + … + a1 10 + a0 ;
observemos que 29

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i . o o o o o o o o o o o o o o o o o o o u u ° u u u 3 3
INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia 1 = 1
(m´d 3)//a0 ? 10 = 1 (m´d 3)//a1 ? 102 = 1 (m´d
3)//a2 ? . . 10k-1 = 1 (m´d 3)//ak-1 ? 10k = 1 (m´d
3)//ak ? Sumando miembro a miembro : a0 = a0 a1 10 = a1 a2 102 =
a2 ak-1 10k-1 = ak-1 ak 10k = ak (m´d 3) (m´d 3)
(m´d 3) (m´d 3) (m´d 3) a0 + a1 10 + a2 102 +
… + ak-1 10k-1 + ak 10k = a0 + a1 + … + ak-1 + ak n = a0 + a1
+ … + ak-1 + ak (m´d 3) (m´d 3) Luego si: 3|n ? n =
0 (m´d 3) pero n = a0 + … + ak (m´d 3) de donde a0
+ … + ak = n (m´d 3), y por transitividad tenemos a0 +
… + ak = 0 (m´d 3) ? 3|a0 + … + ak , ahora Si 3|a0 +
… + ak ? a0 + … + ak = 0 (m´d 3) y n = a0 + … + ak
(m´d 3), por transitividad n = 0 (m´d 3) es decir 3|n
Dado el n´mero 2451 la suma de los valores absolutos de sus
cifras es: 2 + 4 + 5 + 1 = 12. Este n´mero 12 es 3, y se
observa que el n´mero dado es divisible por 3. En efecto:
2451 = 3 · 817 + 0 Esta observaci´n es general y se
enuncia en el criterio que dice: Un n´mero es divisible por
3 si la suma de los valores intr´insecos de todas sus
cifras es m´ltiplo de 3. Es decir: centerlinen = dcba ? n =
° a+b+c+d=° 30

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i u 3 3 3 o o . o o o o o i o o o o o o o o o o u u INSSB
Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia Ejemplos: Son
n´meros divisibles por 3: ¾ 513264 es divisible por
3, pues: 5 + 1 + 3 + 2 + 6 + 4 = 21 = ° ¾ 10101 es
divisible por 3, pues: 1 + 1 + 1 = 3 = ° ¾ 29700, es
divisible por 3, pues: 2 + 9 + 7 = 18 = ° Criterios de
divisibilidad por 9. Un entero expresado en numeraci´n
decimal por 9 si y s´lo si la suma de todos sus
d´igitos es divisible por 9 Dem. Sea n = ak 10k + ak-1
10k-1 + … + a0 ; notemos que: 1 = 1 (m´d 9)//a0 ? 10 = 1
(m´d 9)//a1 ? 102 = 1 (m´d 9)//a2 ? . . 10k-1 = 1
(m´d 9)//ak-1 ? 10k = 1 (m´d 9)//ak ? De ah´
tenemos: n = a0 + … + ak (m´d 9) a0 = a0 a1 10 = a1 a2
102 = a2 ak-1 10k-1 = ak-1 ak 10k = ak (m´d 9) (m´d
9) (m´d 9) (m´d 9) (m´d 9) Si 9|n ? n = 0
(m´d 9) a0 + … + ak = 0 (m´d 9) es decir 9|a0 + ..
+ ak Ahora si 9|a0 + .. + ak ? a0 + … + ak = 0 (m´d 9)
entonces n = 0 (m´d 9) es decir 9|n El criterio de
divisibilidad por 9 es del todo an´logo al criterio de
divisibilidad por 3, es decir: Un n´mero es divisible por 9
si la suma de los valores intr´insecos de todas sus cifras
es m´ltiplo de 9. Es decir: 31

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i 9 9 i, u 9 u u 9 9 o k o u k k o o o o o o o o o o . o o INSSB
Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia n = dcba ? n
=° a+b+c+d=° As´ en el n´mero 8127 se veri?ca
que: 8 + 1 + 2 + 7 = 18 = ° luego dicho n´mero es
divisible por 9. En efecto: 8127 = 9 · 903 + 0 Ejemplos:
Son n´meros divisibles por 9: ¸ 74268 es divisible
por 9, pues: 7 + 4 + 2 + 6 + 8 = 27 = ° ¸ 1020321 es
divisible por 9, pues: 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = ° Criterios de
divisibilidad por 11. Sea n = k i i=0 ai 10 la
representaci´n de un entero positivo n en base 10. Entonces
n es divisible por 11 si y s´lo si i=0 (-1)i ai es
divisible por 11. El n´mero 818092 es divisible por 11.
Dem.: Sea n = i=0 ai 10i es decir n = a0 + a1 10 + a2 102 + … +
ak-1 10k-1 + ak 10k y i=0 (-1)i ai = a0 – a1 + a2 – a3 + a4 – a5
+ a6 – a7 + a8 – … + (-1)k ak Notemos que: 1 = 1 (m´d
11)//a0 ? a0 = a0 (m´d 11) 10 = -1 (m´d 11)//a1 ? a1
10 = -a1 (m´d 11) 102 = 1 (m´d 11)//a2 ? a2 102 = a2
(m´d 11) 103 = -1 (m´d 11)//a3 ? a3 103 = -a3
(m´d 11) 104 = 1 (m´d 11)//a4 ? a4 104 = a4
(m´d 11) . . 10k = (-1)k (m´d 11)//ak ? ak 10k = ak
(-1)k (m´d 11) 32

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i o o i o o i o u u u 11 11 u INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia Luego por propiedades de
congruencia tenemos: a0 + a1 10 + … + ak 10k = a0 – a1 + a2 –
a3 + … + (-1)k ak n = a0 – a1 + a2 – a3 + … + (-1)k ak
(m´d 11) (m´d 11) S´ n = 0 (m´d 11) ? a0
– a1 + a2 – a3 + … + (-1)k ak = 0 (m´d 11) Ahora s´
a0 – a1 + a2 – a3 + … + (-1)k ak = 0 (m´d 11) Entonces n
= 0(11) ? 11|n En efecto: 818092 = 11 · 74372 + 0 Se
observa que la suma de las cifras de los lugares pares: 9 + 8 + 8
= 25 menos la suma de las cifras de los lugares impares, es
decir, 2+0+1=3 da por resultado: 25 – 3 = 22, que es
m´ltiplo de 11. Esta observaci´n es general, y se
enuncia en el criterio de divisibilidad por 11: Un n´mero
es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los valores
intr´insecos de las cifras de los lugares pares y la de las
cifras de los lugares impares es m´ltiplo de 11. En efecto:
n = dcba ? n =° (a+c)-(b+d)=° Ejemplos: Son n´meros
divisibles por 11: ¦ 32813 es divisible por 11, pues: Suma
de cifras, lugares pares: 1+2 = 3 Suma de cifras, lugares
impares: 3+8+3 = 14 33

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i 2 ° u o o o o o o o o o o . o o o o o o o o o o o INSSB
Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia 14 – 3 = 11 =
11 Despu´s de estudiar algunos criterios de divisibilidad,
podemos deducir de esto un patron que es el siguiente: Criterio
de divisibilidad por “m” en el sistema de base 10
utilizando los restos potenciales. Sea el n´mero n
descompuesto polinomicamente tenemos n = ak 10k +ak-1 10k-1
+…a2 102 + a2 10 + a1 101 + a0 Entonces tenemos: 1 = 1 10 = r1
102 = r2 103 = r3 104 = r4 (m´d m)//a0 ? (m´d m)//a1
? (m´d m)//a2 ? (m´d m)//a3 ? (m´d m)//a4 ? a0
= a0 a1 10 = r1 a2 102 = r2 a3 103 = r3 a4 104 = r4 (m´d m)
(m´d m) (m´d m) (m´d m) (m´d m) . . 10k =
rk (m´d m)//ak ? ak 10k = rk (m´d m) Restos
potenciales Sumando miembro tenemos: a0 + a1 10 + a2 102 + … +
ak-1 10k-1 + ak 10k = r0 + r1 + r2 + r3 … + rk n = r0 + r1 + r2
+ r3 … + rk Luego si: m|n ? n = 0 (m´d m) pero n = r0 +
… + rk (m´d m) de donde r0 + … + rk = n (m´d m),
y por transitividad tenemos r0 + … + rk = 0 (m´d m) ?
m|r0 + … + rk , ahora Si m|r0 + … + rk ? r0 + … + rk = 0
(m´d m) y n = r0 + … + rk (m´d m), por
transitividad n = 0 (m´d m) es decir m|n 34 (m´d m)
(m´d m)

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i u u o u a i . i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia Finalmente el anterior enunciado, que fue
demostrado, nos enuncia que, un n´mero n en base 10 es
congruente con otro bajo alg´n m´dulo m, de esto
deducimos que m divide al n´mero n , que es lo que
busc´bamos en nuestros objetivos preliminares. Ejemplos: He
aqu´ unos ejemplos, aplicando la anterior regla: para
desarrollar los subsecuentes ejemplos, Hallar el criterio de
divisibilidad de 13 1 = 1 10 = mod 13 – 3 102 = ( mod 13 – 3)(
mod 13 – 3) = = mod 13 + 9 mod 13 + 4 103 = ( mod 13 + 4)( mod 13
– 3) = = 104 = ( = mod 13 – 12 mod 13 – 1 mod 13 – 1)( mod 13 –
3) mod 13 + 3 105 = ( mod 13 + 3)( mod 13 – 3) = = 106 = ( = = .
. De ah´ tenemos los restos: mod 13 – 9 mod 13 – 4 mod 13 –
4)( mod 13 – 3) mod 13 + 12 mod 13 + 1 n = r0 (1) + r1 (-3) + r2
(4) + r3 (-1) + r4 (3) + r5 (-4) + r6 (1)… 35 (m´d
13)

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i . i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia
Hallar el criterio de divisibilidad de 17 1 = 1 10 = mod 17 – 7
102 = ( mod 17 – 7)( mod 17 – 7) = = = mod 17 + 49 mod 17 + 13
mod 17 + 4 103 = ( mod 17 + 4)( mod 17 – 7) = = = 104 = ( = mod
17 – 28 mod 17 – 10 mod 17 – 1 mod 17 – 1)( mod 17 – 7) mod 17 +
7 105 = ( mod 17 + 7)( mod 17 – 7) = = = 106 = ( = = = mod 17 –
49 mod 17 – 13 mod 17 – 4 mod 17 – 4)( mod 17 – 7) mod 17 + 28
mod 17 + 10 mod 17 + 1 107 = ( = . . De ah´ tenemos los
restos: mod 17 + 1)( mod 17 – 7 mod 17 – 7) n = r0 (1) + r1 (-7)
+ r2 (4) + r3 (-1) + r4 (7) + r5 (-4) + r6 (1) + r7 (-7)… 36
(m´d 17)

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i . i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia
Hallar el criterio de divisibilidad de 79 1 = 1 10 = = = 102 = (
= = mod 79 – 69 mod 79 – 15 mod 79 – 6 mod 79 – 6)( mod 79 – 6)
mod 79 + 36 mod 79 + 9 103 = ( mod 79 + 9)( mod 79 – 6) = = 104 =
( = = mod 79 – 54 mod 79 – 9 mod 79 – 9)( mod 79 – 6) mod 79 + 54
mod 79 + 9 105 = ( = = . . De ah´ tenemos los restos: mod
79 + 9)( mod 79 – 54 mod 79 – 9 mod 79 – 6) n = r0 (1) + r1 (-6)
+ r2 (9) + r3 (-9) + r4 (9) + r5 (-9)… 37 (m´d 79)

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i . i o INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia
Hallar el criterio de divisibilidad de 93 1 = 1 10 = = = 102 = (
= mod 93 – 83 mod 93 – 11 mod 93 – 2 mod 93 – 2)( mod 93 – 2) mod
93 + 4 103 = ( mod 93 + 4)( mod 93 – 2) = 104 = ( = = mod 93 – 8
mod 93 – 8)( mod 93 – 2) mod 93 + 16 mod 93 + 7 105 = ( mod 93 +
7)( mod 93 – 2) = = 106 = ( = = mod 93 – 14 mod 93 – 5 mod 93 –
5)( mod 93 – 2) mod 93 + 10 mod 93 + 1 107 = ( mod 93 + 1)( mod
93 – 2) = 108 = ( = mod 93 – 2 mod 93 – 2)( mod 93 – 2) mod 93 +
4 . . De ah´ tenemos los restos: n = r0 (1) + r1 (-2) + r2
(4) + r3 (-8) + r4 (7) + r5 (-5) + r6 (1) + r7 (-2) + r8 (4)…
(m´d 93) 38

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i 3.7. e u e a u u a u u iz a v u a u iz INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia M´todo para determinar la
divisibilidad de un n´mero por otro A continuaci´n
describiremos un m´todo que permitir´ determinar si
un entero posi- tivo es divisible por alg´n otro o de lo
contrario no es divisible por ninguno (primo). Primeramente para
poder determinar esto es necesario determinar si el n´mero
p dado es primo o es compuesto; en el caso de que sea compuesto
se podr´ determinar por que n´meros es divisible tal
n´mero p. Por ejemplo, 113. La ra´ cuadrada de 113
est´ entre 10 y 11, ya que 102 = 100 y 112 = 121 entonces
100 < 113 < 121; esto es 10 <
v 113 < 11 Ahora podemos notar que lo primos menores o
iguales que 113 son 2,3,5,7. Ahora veremos que ninguno de estos
n´meros es factor de 113: 113 = 56 · 2 + 1 113 = 37
· 3 + 2 113 = 22 · 5 + 3 113 = 16 · 7 + 1
Por lo tanto,113 es primo, y no tiene m´s divisores que 1 y
113. Ejemplo 1: Que n´mero dividen a 1741 La ra´
cuadrada de 1741 esta entre 41 y 42 ya que 412 = 1681, 422 = 1764
y: 41 <
v 1741 < 42 v 1681 < 1741 < 1764 v Los primos menores
o iguales a 1741 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41. Ahora podemos discriminar, a estos primos de la siguiente
manera: 39

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i u u u i u i u u iz INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia los n´meros primos 2 y 5 no
podr´ian ser factores de 1741, porque en ultimo
d´igito de 1741 es 1, y sabemos que para que un
n´mero tenga entre sus factores a 2 y 5 tal n´mero
debe terminar en el d´igito de la unidad en par, para el 2;
y en 0 o 5, para el 5, as´ que estos n´meros no los
tomamos en cuenta, esto para aminorar nuestra tarea. v As´
los primos menores a 1741 son: 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41. 1741 = 870 · 2 + 1 1741 = 580 · 3 + 1 1741
= 248 · 7 + 5 1741 = 158 · 11 + 3 1741 = 133
· 13 + 12 1741 = 91 · 19 + 12 1741 = 75 · 23
+ 16 1741 = 60 · 29 + 1 1741 = 56 · 31 + 5 1741 =
47 · 37 + 2 1741 = 42 · 41 + 19 Ninguno de estos
n´meros es divide de 1741 Por lo tanto 1741 es primo.
Ejemplo 2: Que n´mero dividen a 316 La ra´ cuadrada
de 316 esta entre 17 y 18 ya que 172 = 289, 182 = 324 y: 17 <
v 316 < 18 v 289 < 316 < 324 v Los primos menores o
iguales a 316 son 2, 3, 7, 11, 13, 17. 40

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i u e u u u i u u a a u INSSB Teor´a de la Divisibilidad
Monograf´ia 316 = 158 · 2 + 0 316 = 105 · 3 +
1 316 = 45 · 7 + 1 316 = 28 · 11 + 8 316 = 24
· 13 + 4 316 = 18 · 17 + 10 Ahora notemos que 2 si
es un factor de 316 y divide a este n´mero pues al operar
158 · 2 + 0 = 316 nos da un resto 0, a diferencia de los
otros factores primos que claramente no son factores de 316, o en
otras palabras no dividen a 316; tambi´n podemos notar que
el n´mero 316 es un n´mero no primo o sea es un
n´mero compuesto. As´ de esta manera podemos
encontrar los divisores de un n´mero p por otro
n´mero, que no es m´s que un factor de p.
Adem´s que podemos determinar si un n´mero es
compuesto o primo. 41

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o o o ia u u o u o a ia o o Cap´itulo 4 CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES Para este cap´itulo ?nal del trabajo de
investigaci´n monogra?ca, tenemos las recomen- daciones y
las conclusiones de este trabajo de investigaci´n
monogra?co. 4.1. Conclusiones Luego de una descripci´n
matem´tica de la Divisibilidad en Teor´ de
N´meros, se llega a las siguientes conclusiones: Producto
de todo lo tratado en este documento concluimos que es posible
desarrollar el algoritmo de la divisibilidad para determinar la
divisibilidad de un n´mero por otro. Nuestros objetivos
preliminares mandaban hallar un algoritmo de la divisibilidad, se
pu- do hallar el Algoritmo de la Divisibilidad en el que se pudo
llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad por m
en el sistema en base 10. Para llegar a este resultado fue
necesario estudiar el Algoritmo de la Divisi´n,
adem´s de los los n´meros primos, y las propiedades
del MCD, y la menci´n de lagunas propiedades de las
congruencias, propiedades de los cuales era necesario
estudiarlas, para ?nalmente poder llegar al a un criterio general
general de la divisibilidad. Cabe recalcar que el objetivo
general del trabajo monogr´?co, nos ped´ hallar un
algo- ritmo general de la divisibilidad, evidentemente se hallo
determinado logaritmo, (secci´n 3.6), el logaritmo es una
generalizaci´n de la regla de los criterios de
divisibilidad, el cual 42

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i u i, i o o u u e u u o u a u o a ia a o e o o ia i, a u u u
INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia nos
permite descifrar el criterio de divisibilidad de un
n´mero. Por otro lado nuestro objetivos espec´i?cos
nos demandan cumplir determinados requisitos para desarrollar
satisfactoriamente nuestros objetivos generales; es as´ que
en un trabajo descriptivo como es la monograf´ia, es
necesariamente imprescindible poder revisar, estu- diar y
analizar determinadas teor´ias para poder enriquecer el
presente trabajo y as´ es que se lo hizo; posteriormente,
se describi´ y se demostr´ las propiedades de la
divisibilidad, (Capitulo 3 ), asimismo se describi´ muchas
otras propiedades propias de los n´meros enteros,
propiedades que sin ellas no se hubiera podido demostrar el
criterio general de la divisibilidad de un determinado
n´mero. Tambi´n pudimos observar que determinar la
divisibilidad de un n´mero por otro es posible bajo
determinadas reglas del conjunto de los N´meros Enteros, y
que la divisibili- dad es una relaci´n de?nida de los
n´meros enteros. Adem´s podemos extractar que el el
estudio de la divisibilidad es importante para poder expresar un
n´mero en factores primos, tales que se son estudiados
frecuentemente en los primeros cursos de secundaria. Por otro
lado, es claro que la matem´tica es una ciencia exacta, que
no s´lo merece ser conocida y estudiada super?cialmente por
alumnos y mae- stros, sino que merece un mayor estudio y
an´lisis, pues no tiene que limitarse a estudiarla
super?cialmente, sino m´s al contrario deber´ de
estudiarse de una manera m´s profunda, no s´lo en las
universidades, tambi´n que esta forma de estudiarla llegase
a los alumnos de secundaria, claro esta con una s´lida base
de ciertas propiedades que la matem´tica tiene. Finalmente,
es necesario que el maestro de matem´ticas de las Unidades
Educativas de secundaria, este en permanente renovaci´n y
actualizaci´n, tal y como lo norma la propia Reforma
Educativa en actual vigencia, y no es necesario acudir a ninguna
teor´ para poder a?rmar que el maestro debe saber mucho mas
que el alumno sobre su especialidad, pues as´ si el maestro
esta m´s preparado se ayuda mejor al alumno. 4.2.
Recomendaciones Hemos visto que la divisibilidad entre
n´meros es posible bajo ciertas circunstancias, pues es
necesario hallar un criterio de divisibilidad para ese
n´mero, esto para saber que tipo de restos potenciales
deja. pero para llegar asta esto tuvimos que llegar a desarrollar
primero el algoritmo de la Divisibilidad, y mediante este, los
n´meros primos y los MCD 43

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i u u u u u ia u o o u o a o a u a INSSB Teor´a de la
Divisibilidad Monograf´ia de n´meros. Por lo anterior
se considera que estudiar La Teor´ia de la Divisibilidad,
es de gran utilidad al estudiante para que pueda desarrollar un
n´meros mediante producto de factores primos, adem´s
que pueda reconocer los divisores que un n´mero y los
n´meros que lo dividen exactamente, que reconozca los
divisores comunes de dos n´meros. Por otro lado, para
introducir la divisibilidad en la ense˜anza de la
Teor´ de n´meros en la Educaci´n Secundaria, es
necesario realizar las siguientes recomendaciones: El estudiante,
tiene que ampliar los conceptos matem´ticos que a visto en
el nivel primario. Tal ampliaci´n tiene que estar orientada
a que el alumno experimente el trabajo matem´tico puro, en
un contexto netamente matem´tico. A partir de lo anterior,
vea el alumno de que manera el conocimiento matem´tico de
la teor´ia de n´meros tiene sus aplicaciones como un
elemento de investigaci´n matem´tica. Desde luego
debe tenerse muy en cuenta las propiedades b´sicas de los
enteros. Propiedades de la igualdad Propiedades de la desigualdad
Propiedades de la suma Propiedades de la multiplicaci´n Una
b´sica noci´n de conjuntos. N´meros primos y
compuestos. El MCD Criterio de divisibilidad en base 10 Todos
estos puntos mencionados, nos ser´n de mucha ayuda para el
estudiante, para que pueda determinar un criterio general de
divisibilidad, ya que las propiedades de estos son primordiales
para llegar a un criterio general. 44

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A ia u u n ia a c˜ a u o ia o o u Cap´itulo 5
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i o o INSSB Teor´a de la Divisibilidad Monograf´ia
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Reforma Educativa y leyes conexas”; Edici´n, BOLIVIA
DOS MIL S.R.L.; La Paz; 2001. 46

Partes: 1, 2
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