do en que los resultados de la muestra pueden ser atribuidos a
toda la población o universo . Se trabaja con los valores de Z ( niveles de confianza
utilizando las áreas de la curva Normal ) y el valor de e ( máximo error permitido por el
investigador ).
Luis Flores Cebrián
1.5
•
•
•
•
•
6
Escalas de medición de los datos
Las escalas a considerar son :
Nivel nominal
Nivel ordinal
Nivel de intervalos
Nivel de razón
Nivel Nominal
Escala cualitativa que asigna arbitrariamente un número a cada respuesta de modo que
sólo tenga valor como un número de identificación. El número de escala no tiene ningún
significado por sí sólo.
Ejemplo : ¿ Cuál es la tarjeta de crédito de su preferencia ?
1.
2.
3.
4.
VISA
Mastercard
American Express
Diners
(
(
(
(
)
)
)
)
Porcentajes
Estadística permisible :
Moda
Prueba binomial – Ji cuadrado
El número que se asigna en esta escala no representa magnitudes absolutas. Solo sirven
para clasificarlos en determinada categoría, en otras palabras 1, no es la mitad de 2 .
Nivel Ordinal
Escala cualitativa que no sólo clasifica , sino establece jerarquías entre los valores.
Entre mayor sea el número, mayor (o menor) es la existencia del atributo , pero sin
indicar la distancia que hay entre las posiciones , es decir que el numero cuatro en
preferencia no es 300% superior al número 1, solo indica que es preferido respecto del
anterior
Ejemplo : Clasifique en una escala de 1 a 4 las siguientes marcas de gaseosa, en función
de su preferencia :
1.
2.
3.
4.
Inca Kola
Coca Cola
Real Kola
Pepsi Cola
(
(
(
(
)
)
)
)
Percentiles – mediana
Estadística permisible
Desviación cuartil
Correlación rango-orden
Luis Flores Cebrián
7
Nivel de intervalo
Escala cuantitativa que clasifica, ordena y establece distancias o intervalos iguales entre
las unidades de medida . Asigna un punto de cero en forma arbitraria por convención
por los expertos , pero que no implica la ausencia del atributo. Por ejemplo una prubea
de coeficiente de inteligencia va tener un punto cero , pero no hay una persona con cero
de inteligencia. Otros ejemplos son la medición del calendario , o la medición de la
temperatura
Ejemplo :
Resultados económicos de empresas de un sector ($)
Estadística permisible
de
20´000
-10´000
0
10´000
a
-10´000
0
-10´000
20´000
Media –Mediana-Moda
Desviación estándar- Varianza
Coeficientes de Correlación
Prueba T – Prueba Z
Nivel de Razón
Escala cuantitativa es igual que las escalas de intervalos, pero poseen un cero absoluto.
(origen natural) en el cual hay una ausencia de la propiedad o atributo, ejemplo el peso
o los ingresos monetarios de una persona
Ejemplo :
Nivel de ingresos mensuales de las familias de un distrito ( en soles)
Estadística permisible
De
0
1,000
2,000
3,999
A
999
1,999
2,999
4,000
Media geométrica
Media armónica
Coeficiente de variación
La estadística permisible va en sentido acumulativo, así en la escala de razón se pueden
estudiar todos los indicadores anteriores a las escalas de intervalos, ordinales y
nominales
Luis Flores Cebrián
2.
8
CONSTRUCCION DE TABLAS DE FRECUENCIA
Una primera aproximación al análisis descriptivo es la construcción de la tabla de
frecuencias , las cuales presentan la distribución de un conjunto de elementos de
acuerdo a las categorías de una variable x .
En la tabla se observa la frecuencia o repetición de cada uno de los valores en el
correspondiente intervalo de clase
Se presentan los siguientes casos :
2.1 Variable discreta , es aquella cuyo valor se expresa únicamente por números
enteros, adquieren valores absolutos y por lo general son cualitativas.
Ejemplo 1 :
En una muestra de veinte bodegas del distrito X ,se desea conocer la cantidad de
marcas de crema dental que ofrecen a sus clientes.
La variable (xi) es el número de marcas de crema dental ofrecidas.
Hecho el estudio se obtuvieron los siguientes resultados :
Bodega
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
6
5
4
4
3
3
4
4
5
6
Bodega
Nº
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
4
5
6
2
4
3
4
6
5
3
N : 20 bodegas
Construyendo la tabla tendríamos :
1º Clasificación : xi máximo : 6 marcas de crema dental
xi mínimo : 2 marcas de crema dental
2º Las clases serían : 2,3,4,5,y 6
3º Tabulación : Se determina cuantas veces de repite cada valor de xi ( frecuencia).
Se denomina frecuencia absoluta ( fi ) cuando se contabiliza en valores absolutos
(número de bodegas)
Se denomina frecuencia relativa ( hi ) cuando se contabiliza en valores relativos
(porcentajes )
4º El cuadro de frecuencias quedaría presentado de la siguiente manera :
Luis Flores Cebrián
Nºbodegas
2.2
9
Cuadro Nº 1 :
Distribución de 20 bodegas del distrito X en función al número de marcas
de crema dental que ofrecen a sus clientes
xi
2
3
4
5
6
tabulación
/
////
///////
/////
////
TOTALES
fi
1
4
7
5
3
20
hi (%)
5
20
35
25
15
100
Fuente : encuesta área de mercadeo
Gráficamente tenemos :
Oferta de marcas de crema dental – Bodegas distrito X
7
6
5
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
Nº marcas crema dental
Este gráfico se conoce como Histograma
Variable continua, es aquella que puede tomar cualquier valor del conjunto de
los números racionales ( enteros o fraccionarios). Son variables cuantitativas
Ejemplo 2 :
Se desea conocer el ingreso mensual promedio del asentamiento “Galápagos” .
La variable xi : será ingresos mensuales expresados en Soles
Para tal efecto se ha seleccionado una muestra de 50 familias y se han obtenido
los siguientes datos :
Luis Flores Cebrián
1º
2º
Familia
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
xi
730
750
580
430
490
650
670
750
510
970
820
650
890
590
550
700
600
700
380
600
450
750
730
650
760
Familia
Nº
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
xi
500
870
550
710
750
700
400
610
750
690
540
720
780
850
350
320
830
890
650
450
750
640
930
850
630
n : 50
Se calcula el Rango (R)
R = mayor valor de xi – menor valor de xi
R = x10 – x41
R = 970 – 320 = 650
Se obtiene el numero de clases e intervalos – para tal efecto se utiliza la
Regla de Sturges :
Si el tamaño de la muestra es
Menor de 100
Mayor de 100
Regla de Sturges
m = 1 + 3.322 x Log n
m =3 + 3.322 x Log n
En este caso n < 100 entonces :
m = 1 + 3.322 x Log 50
m = 1 + 3.322 × l.69897
m = 6.64 ˜ 7 intervalos
Luis Flores Cebrián
10
familias
3º
4º
i
i
xi
xs
fi
Fi
hi
Hi
El tamaño de clase ( c ) sería : C = R / m
c = 650 / 7 = 92.8 ˜ 93
Construimos la tabla de frecuencias :
Intervalo de clase
Marca de
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
xi
xs
clase – xi
fi
Fi
hi
Hi
1
2
3
4
5
6
7
320
413
506
599
692
785
878
413
506
599
692
785
878
971
366.5
459.5
552.5
645.5
738.5
831.5
924.5
4
5
6
11
15
5
4
4
9
15
26
41
46
50
8
10
12
22
30
10
8
8
18
30
52
82
92
100
TOTALES
50
100
Donde :
: número de intervalo
: intervalo de clase inferior
: intervalo de clase superior
: muestran la repetición de los datos en determinado
intervalo de clase- invalores absolutos ( familias)
: muestran la acumulación progresiva de las frec.absolutas
: expresan a las frec. absolutas en términos relativos (%)
: muestran la acumulación progresiva de las frec. Relativas
Gráficamente vamos a elaborar el histograma de frecuencias absolutas ( fi ) :
Galapagos : ingreso mensual
16
14
12
10
8
6
4
2
0
413
320
506
413
599
506
692
599
785
692
878
785
971
878
soles
Luis Flores Cebrián
11
•
•
•
•
•
•
1
1
2
Es importante acotar que los gráficos deben de tener las siguientes condiciones básicas :
Título : descripción abreviada del contenido
Leyendas y cifras tanto en el eje de las abscisas como de las ordenadas
Debe ser simétrico, no muy horizontal o vertical
En el eje de las abscisas se colocan los valores de la variable x
En el eje de las ordenadas se colocan las frecuencias ( fi , hi )
De ser posible se colocan las fuentes de la información
En relación al número apropiado de los intervalos Christensen Howard
siguiente :
plantea lo
Número de valores en el
conjunto
De 10 a 100
De 100 a 1,000
De 1,000 a 10,000
Número apropiado de intervalos
de clase
De 4 a 8
De 8 a 11
De 11 a 14
Avila Acosta 2 en cambio define los intervalos de clase en tres categorías :
a. Intervalos de igual amplitud
Alumnos por aula
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 69
70 – 69
b. Intervalos de diferente amplitud
Edad de clientes
3–5
6- 14
25 – 24
25 – 39
c. Intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha
Sueldos mensuales
(
]
320 – 370
370 – 420
420 – 470
470 – 520
520 – 570
En este caso NO está incluido el extremo inferior, pero si el extremo superior
CHRISTENSEN Howard. Estadística Paso a Paso
AVILA Acosta . Estadística Elemental
Luis Flores Cebrián
12
Otra forma de presentar este cuadro es :
Alumnos por aula
320.01 – 370
370.01 – 420
420.01 – 470
470.01 – 520
520.01 – 570
Esta segunda forma de presentación es más práctica ,pues indica directamente
los valores comprendidos en cada intervalo.
Por lo general el número de intervalos de clase va depender de :
La naturaleza de la variable
El número de valores observados
El recorrido de la variable
Los objetivos del estudio
Luis Flores Cebrián
13
miles$
3.
LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
3.1 Concepto
Son representaciones pictóricas ( figuras geométricas o de superficie ) utilizados con el
objeto de mostrar magnitudes , cambios de una variable o comparar dos o más variables
relacionadas.
Un gráfico bien elaborado debe tener los siguientes elementos :
Numero de grafico y
título
Grafico 2 : Ventas de la empresa A – primer semestre del año 20X1
2,500
2,000
1,500
1,000
500
0
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
meses
Fuente : Área de ventas
Escalas y
leyendas en los
Diagrama
cuerpo
Luis Flores Cebrián
o
ejes
14
3.2
Tipos de Gráficos
3.2.1
Gráfico Lineal
Grafico 2 : Agencia de Viajes " El Sol " Clientes atendidos en sucursal Cuzco
Clientes
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0
Años 2001
2002
2003
2004
2005
2006
Este gráfico de evolución es útil para representar la evolución de una sola variable en el
tiempo ( serie de tiempo)
3.2.2
Gráfico circular
Restaurante "El norteño" – formas de pago por consumo
Mastercard,
2%
Diners, 7%
Efectivo 26%
American, 17%
Visa, 48%
Es utilizado para expresar una variable que esta compuesta de varios subconjuntos es
decir es un gráfico de estructura ( de una sola variable)
Luis Flores Cebrián
15
ventas(miles)
tasa%
%
3.2.4
3.2.3
Gráfico de barras comparativas
Estructura de la oferta Hotelera en La Alborada 2005-2006
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
2005
2006
Años
Hotel A
Hotel B
Hotel C
Hotel D
Se recomienda para comparar estructuras con varios subconjuntos en más de un período
de tiempo
Gráfico Combinado ( valores en dos abscisas )
Empresa W : Ventas y tasas de crecimiento 2003 -2006
30
25
20
14
12
10
8
15
6
10
5
0
4
2
0
2003
2004
2005
2006
años
Ventas
tasa crec.
Es muy útil para mostrar dos frecuencias que tienen valores diferentes (dólares y
porcentajes por ejemplo); cada una de ellas se ubica en uno de los ejes verticales y su
lectura es a través de los valores allí expresados
Luis Flores Cebrián
16
miles
1º
2º
3º
EJEMPLO PRÁCTICO DE ELABORACIÓN DE UN GRÁFICO
ESTADISTICO CON EXCEL
Supongamos que estamos estudiante la cantidad de turistas que visitan el valle
de Lunahuana y se tienen los siguientes datos estadísticos : (datos supuestos)
1
Año
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2
Turistas ( miles)
224
271
310
325
319
308
304
365
392
415
488
3
Crecim (%)
17.28
20.98
14.39
4.84
-1.85
-3.45
-1.30
20.07
7.40
5.87
17.59
En primer lugar vamos a utilizar un gráfico de barras para representar las cifras .
Grafico 1 : Lunahuana ingreso de turistas
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
años
Apreciamos que hay tres etapas claramente definidas:
De 1997 al año 2000 se aprecia un crecimiento
De 2001 al año 2003 vemos que se estanca el impulso inicial y cae el
número de turistas y visitantes
A partir de del año 2004 se vuelva a tener un impulsote crecimiento
mucho mayor
Luis Flores Cebrián
17
%
? V ?
? V
Vn
Vn-1
? 325 ?
Estos gráficos tienen la ventaja que nos permiten ver el comportamiento de un
variable en un largo lapso de tiempo y podemos apreciar la tendencia de largo
plazo ( mas de cinco años) que en este caso es de crecimiento.
Pero es importante acompañar el análisis con otro tipo de gráficos, en este caso
usaremos el gráfico lineal para apreciar cómo es el crecimiento relativo ( en
porcentajes ) de cada año, conforme se aprecia en la columna 3 del cuadro y
cuya expresión gráfica es :
Grafico 2 : Tasa de crecimiento anual de la llegada de turistasa
Lunahuana
25
20
15
10
5
0
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
-5
años
Aquí apreciamos más claramente la situación y se pueden graficar los valores
negativos como son los años 2001, 2002, 2003 y 2004 , en los cuales no hubo
crecimiento sino todo lo contrario se experimento una reducción en la cantidad
de visitantes a la localidad
El calculo del crecimiento se efectuó con la fórmula :
crec. = ? n – 1? × 100
? n -1 ?
Donde :
: valor de la variable el año “n”
: Valor de la variable el año “n-1” ( año anterior)
Por ejemplo el valor del año 2000 se obtuvo de la siguiente manera :
. crec. = ? – 1? × 100
? 310 ?
crec. = 4.84 %
Luis Flores Cebrián
18
Una dificultad evidente es la elaboración de gráficos con la hoja electrónica EXCEL , vamos a
presentar los pasos a continuación con los datos del gráfico 2 :
1º paso : ingresamos los datos de los años y las tasas de crecimiento
2º paso : accionamos el icono de gráficos y vamos a tener el asistente para gráficos
3º paso : elegimos la opción de gráfico lineal- Líneas
4º paso : presionamos el comando de Siguiente >
Luis Flores Cebrián
19
5º paso : Ingresamos el rango de datos : C4;C14, aparece la gráfica de las tasas de
crecimiento
6º paso : Se acciona el comando de series para colocar los datos de los años
Luis Flores Cebrián
20
7º paso : Se coloca el rango de los periodos de tiempo B4; B14 y se acciona el comando
siguiente
8º paso : Se coloca :
• Título del gráfico : tasa de variación anual de llegada de turistas a Lunahuana
• Eje de categorías : años
• Eje de valores : %
9º paso : Se presiona siguiente y se tiene concluido el gráfico indicando Finalizar
Luis Flores Cebrián
21
4.
•
•
•
ANALISIS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central o de resumen son indicadores que tienden a sintetizar
o describir de la manera más representativa las características de un conjunto de datos.
Las medidas más importantes son :
La Media aritmética
La Mediana
La Moda
4.1 La Media Aritmética ( ?)
La media aritmética es la clase que determina el centro de gravedad de un
conjunto de datos, es decir es el valor más representativo
a) Media aritmética de datos no agrupados :
Formula :
?=
n
? xi
i =1
n
Donde :
xi : clase
n : número de clases
S : Sumatoria ( desde i = 1 , hasta i = n)
Ejemplo 3 :
Se ha efectuado la medición de cuanto demora la atención a los clientes en un
Supermercado. Se ha tomado una muestra de 10 clientes y los resultados
obtenidos son :
Cliente
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S
Duración de la
atención
3.24
4.01
2.33
2.08
3.30
3.25
3.00
4.02
4.15
2.88
32.26
?=
32.26
10
? = 3.23 minutos , que es el promedio de duración de la atención a
los clientes
Luis Flores Cebrián
22
Utilizando Excel el procedimiento es el que sigue :
b) Media aritmética de datos agrupados
?=
n
? xi × fi
i =1
N
Donde :
xi : marca de clase
fi : frecuencia absoluta
n : total de frecuencias
Ejemplo 4 :
La gerencia de mercadeo de un Hotel ha decidido estudiar un estudio acerca de la edad
promedio de los clientes del Café Bar “ El Sol ”. Se ha elegido una muestra de 300
clientes recogida durante todo un mes típico . Aplicada la encuesta se han obtenido los
siguientes resultados :
Clase ( i )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Intervalo
19 – 23
23 – 27
27 – 31
31 – 35
35 – 39
39 – 43
43 – 47
47- 51
51- 55
TOTALES
xi
21
25
29
33
37
41
45
49
53
fi
5
9
13
48
67
58
54
29
17
300
xi ×fi
105
225
377
1,584
2,479
2,378
2,430
1,421
901
11,900
Luis Flores Cebrián
23
a)
3
La media aritmética es igual a :
? =
11,900
300
? = 39.67 años
El promedio de edad de los clientes del Café Bar “ El Sol “ es de 39. años y medio
LA MEDIA ARITMÉTICA : RESUMEN
CARACTERISTICAS
VENTAJAS
DESVENTAJAS
• En su valor influyen todos los componentes
de la distribución
• Puede ser manipulada algebraicamente
• Es la medida más fácil de calcular
• Es la medida más conocida y utilizada
• Su valor puede ser distorsionado por los
valores extremos o singulares
4.2 La Mediana ( Me)
Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la variable que
divide a la frecuencia total en dos partes iguales .
Mediana de datos no agrupados
En este caso se procede de la siguiente manera :
1º Se ordena el conjunto de valores en orden creciente
2º Se halla el valor que ocupa la posición media
3º Si el número es impar, el valor central es la mediana
4º Si el número es par , el promedio de los dos centrales es la mediana
Ejemplo 5 :
Se tiene el siguiente conjunto de datos :
4
8
5
3
9
7
2
Se ordena
2
3
4
5
7
8
9
3
Me
3
Ejemplo 6 :
Se tiene el siguiente conjunto de datos :
6
8
9
10
11
15
Se ordena
6
8
9
9.5
10
11
15
Me = (9+10) / 2 = 9.5
Luis Flores Cebrián
24
? N / 2 – Fa ?
fi
Me = 39 + 4 × ?
?
3.2 Mediana de datos agrupados
Formula :
Me = Li + c × ? ?
? fi ?
Donde :
Li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la Me
c : Tamaño del intervalo de clase
n : Total de frecuencias absolutas
Fa : Frecuencia absoluta acumulada anterior al la clase que
contiene a la Me
fi : frecuencia absoluta de la clase que contiene a la Me
Utilizando el ejercicio desarrollado en el ejemplo Nº 4 tenemos :
Clase ( i )
Intervalo
Fi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19 – 23
23 – 27
27 – 31
31 – 35
35 – 39
39 – 43
43 – 47
47- 51
51- 55
TOTALES
5
9
13
48
67
58
54
29
17
300
5
14
27
75
142
200
254
283
300
El valor de N/2 es = 300/2 = 150, este valor se encuentra ubicado en el 6º
intervalo
? (300 / 2) – 142 ?
? 58 ?
Me = 39 + 0.55
Me = 39.55 años
El 50% de los asistentes al Café Bar “ El Sol ” está en el intervalo de 19
a 39.55 años y el 50% restante está en el intervalo de 39.55 a 55 años.
Luis Flores Cebrián
19
50%
39.55 años
50%
55
25
a.
? fp ?
? fp + fa ?
fi
LA MEDIANA : RESUMEN
CARACTERISTICAS
VENTAJAS
DESVENTAJAS
• Es un promedio de posición
• Cuando la agrupación de datos es muy
estrecha es el mejor indicador
• Calculo relativamente fácil de efectuar
• No es distorsionada por los valores extremos
• Su interpretación es bastante restringida
• No se manejar algebraicamente, la mediana
de varios subconjuntos no puede ser
promediada para obtener la mediana del total
• No es muy conocida ni entendida
4.3 La Moda ( Mo)
Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la clase cuya
frecuencia es la que más repite (fi mayor )
No se puede calcular la Moda en datos no agrupados
Moda de datos agrupados
Formula :
Mo = Li + c? ?
? ?
Donde :
Li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la
Moda
c : Tamaño del intervalo de clase
n : Total de frecuencias absolutas
fp : Frecuencia absoluta posterior a la clase que contiene a la
Moda
fa : frecuencia absoluta anterior de la clase que contiene a la
Moda
Utilizando el ejercicio desarrollado en el ejemplo Nº 4 tenemos :
Clase ( i )
Intervalo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19 – 23
23 – 27
27 – 31
31 – 35
35 – 39
39 – 43
43 – 47
47- 51
51- 55
TOTALES
5
9
13
48
67
58
54
29
17
300
La frecuencia mayor se encuentra ubicada en el 5º intervalo = 67 clientes
Luis Flores Cebrián
26
? 58 ?
? 58 + 48 ?
Mo = 35 + 4 × ? ?
Mo = 35 + 2.19
Mo = 37.19 años
La edad más frecuente de los asistentes al Café Bar “ El Sol ” es de
37.19 años.
LA MODA : RESUMEN
CARACTERISTICAS
VENTAJAS
DESVENTAJAS
• Es absolutamente independiente de valores
extremos
• Es un valor típico
• Es la medida más descriptiva
• Cuando el número de valores es pequeño es
fácil determinarla por observación
• No es posible calcularla en caso de datos no
agrupados
Relación empírica entre Media, Mediana y Moda :
DISTRIBUCIONES
SIMETRICAS
ASIMETRICAS A LA DERECHA
ASIMETRICAS A LA IZQUIERDA
Con los datos del ejercicio 4 :
? : 39.67 años
Relación
? = Me = Mo
Mo >Me > ?
Mo < Me < ?
Me : 39.55 años
Asimetría a la izquierda
Mo : 37.19 años
La asimetría también se puede calcular de la siguiente ,manera :
As =
( X – Mo )
s
Los resultados obtenidos se pueden clasificar de la siguiente manera :
AS > 0
Asimetría positiva
Sesgo hacia la izquierda
Cola hacia la derecha
Luis Flores Cebrián
Simetría
As = 0
As < 0
Asimetría negativa
Sesgo hacia la derecha
Cola hacia la izquierda
27
clientes
Utilizando los datos del ejemplo tenemos :
As =
(39.64 – 37.19)
7.12
As = 0.017 que es una asimetría positiva o a la izquierda
Clientes del Bar
80
70
60
50
40
30
20
10
0
23
27
31
35
39
43
47
51
55
Edad
Luis Flores Cebrián
37.19
Mo
39.55
Me
39.67
?
28
edad
edad
5.
ANALISIS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión son un conjunto de indicadores que nos expresan el grado de
concentración o alejamiento de los datos respecto de la media aritmética.
Ejemplo 7 :
Tenemos las siguientes distribuciones de datos :
xi
1
2
3
4
5
Hallamos la Media y la mediana :
Media
mediana
A
3
7
46
67
81
40.8
46
B
20
40
46
47
51
40.8
46
Aparentemente ambas distribuciones son iguales, pero ¿ esto es así? : veamos los
Los gráficos :
GRUPO A
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
elementos
GRUPO B
60
50
40
30
20
10
0
?
1
2
3
4
5
elementos
A pesar que ambos grupos tienen los mismos indicadores de tendencia central , las
distribuciones de los datos muestran que el grupo B es más homogéneo que el grupo A,
pues los datos están más cerca del valor de la edad promedio ( 40.6 años) , en cambio el
grupo A está más disperso o menos concentrado..
Luis Flores Cebrián
29
5.2
Para poder medir el grado de concentración o dispersión de los datos , respecto de la
media aritmético se tienen las siguientes medidas de dispersión :
• El Rango – R
• La desviación media – DM
• La desviación estándar – s
• El coeficiente de variación – CV
5.1
El Rango ( R )
Es la medida de dispersión que mide la amplitud o recorrido de la distribución
y se obtiene de la siguiente manera :
R = Mayor
Valor
– Menor
Valor
Utilizando el ejemplo anterior tenemos :
Rango A = 81 – 3 = 78
Rango B = 51 – 20 = 31
La distribución B tiene un ,menor recorrido que la distribución A
La utilización del Rango es muy limitada pues sólo considera los valores
extremos y no indica como se dispersan los valores intermedios.
La Desviación Media (DM)
Es una medida de dispersión que es el promedio aritmético de las desviaciones
de las clases respecto de la media aritmética
a) Desviación Media de datos no agrupados :
Formula :
DM =
n
? xi – x
i =1
n
Donde :
xi : clase
? : media aritmética
n : número de clases
S : Sumatoria ( desde i = 1 , hasta i = n)
Utilizando los datos del ejemplo 7 tenemos :
Luis Flores Cebrián
xi
1
2
3
4
5
X
A
3
7
46
67
81
40.6
B
20
40
46
47
51
40.6
30
fi
La desviación media del primer grupo es :
DMA =
3 – 40.6 + 7 – 40.6 + 46 – 40.6 + 67 – 40.6 + 81 – 40.6
5
DMA = 28.68
La desviación media del grupo B :
DMB =
20 – 40.6 + 40 – 40.6 + 46 – 40.6 + 47 – 40.6 + 51 – 40.6
5
DMB = 8.68 años
En otras palabras la dispersión del grupo B 2.3 veces menor que la del grupo A,
por tanto este grupo es más homogéneo o más concentrado
b) Datos agrupados
Fórmula :
DM =
n
? xi – x
i =1
n
× fi
Donde :
xi : clase
?: media aritmética
n : número de frecuencias absolutas
fi : frecuencia absoluta
| | : Valor absoluto ( la resta debe ser siempre positiva)
Utilizamos el ejemplo Nº 4 – edad promedio de los clientes del Café Bar
“ El Sol
Clase ( i )
Intervalo
xi
| xi – ? |
| xi – ? | ×fi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19 – 23
23 – 27
27 – 31
31 – 35
35 – 39
39 – 43
43 – 47
47- 51
51- 55
21
25
29
33
37
41
45
49
53
5
9
13
48
67
58
54
29
17
18.67
14.67
10.67
6.67
2.67
1.33
5.33
9.33
13.33
93.35
132.03
138.71
320.16
178.89
77.14
287.82
270.57
226.61
Totales
Nota : La media aritmética es ? = 39.67 años
La desviación media sería :
Luis Flores Cebrián
300
1,625.28
31
5.3
2
sA =
DM =
1,625.28
300
DM = 5.42 años
El promedio de las desviaciones de los datos respecto a la media aritmética es
de 5.42 años
La Desviación Estándar (s)
Es una medida de dispersión más utilizada y confiable es igualmente un
promedio de las desviaciones de los datos pero elevados al cuadrado.
a) Desviación Estándar de datos no agrupados :
Formula :
s =
n
? ( xi – x )
i =1
n
Donde :
xi : clase
? : media aritmética
n : número de clases
S : Sumatoria ( desde i = 1 , hasta i = n)
Utilizando los datos del ejemplo 7 tenemos :
xi
1
2
3
4
5
?
A
3
7
46
67
81
40.6
B
20
40
46
47
51
40.6
La desviación estándar del grupo A es :
(3 – 40.6) 2 + (7 – 40.6) 2 + (46 – 40.6) 2 + (67 – 40.6) 2 + (81 – 40.6) 2
5
sA =31.31 años
La desviación estándar del grupo B :
Luis Flores Cebrián
32
sB =
2
(20 – 40.6) 2 + (40 – 40.6) 2 + (46 – 40.6) 2 + (47 – 40.6) 2 + (51 – 40.6) 2
5
sB = 10.98 años
Estos resultados ratifican los obtenidos con la desviación media , la diferencia
es que son más exactos
Nota : cuando se trata de una muestra (n) en la fórmula se varía el
denominador por n-1
b) Desviación estándar de Datos agrupados
Fórmula :
DM =
n
? ( xi – x)
i =1
n
× fi
Donde :
xi : clase
? : media aritmética
n : número de frecuencias absolutas
fi : frecuencia absoluta
v : raiz cuadrada
Utilizamos el ejemplo Nº 4 – edad promedio de los clientes del Café Bar
“ El Sol “
Luis Flores Cebrián
33
xi
fi
5.4
? s ?
s
= ?
? × 100
= ?
? × 100
Clase ( i )
Intervalo
( xi – ? )2
( xi – ? )2×fi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
19 – 23
23 – 27
27 – 31
31 – 35
35 – 39
39 – 43
43 – 47
47- 51
51- 55
21
25
29
33
37
41
45
49
53
5
9
13
48
67
58
54
29
17
384.16
243.36
134.56
57.76
12.96
0.16
19.36
70.56
153.76
1920.80
2190.24
1749.28
2772.48
868.32
9.28
1045.44
2046.24
2613.92
300
15,216.16
Nota : La media aritmética es ? = 39.67 años. Su desviación estándar es :
s =
15,216.16
300
s = 7.12 años
El promedio de las desviaciones de los datos respecto a la media aritmética es
de 7.12 años
El Coeficiente de variación (CV)
Es el indicador de dispersión que se expresa en valores independientes de la
naturaleza de la variable.
Se utiliza para comparar dos o mas distribuciones cuando las unidades de
medida de las variables están expresadas en diferentes unidades o escalas de
medida .
Comparando dos o más distribuciones de datos , es más homogénea aquella que
tiene el menor CV
Formula :
CV = ? ? × 100
? x ?
Con los datos del ejemplo Nº 7 ( edad de dos grupos de personas ) tenemos :
indicador
?
El CV seria :
CV
A
31.3
40.8
A
? 31.3 ?
? 40.8 ?
B
10.98
40.8
B
? 10.98 ?
? 40.8 ?
Luis Flores Cebrián
= 76.72%
= 26.91%
34
El grupo de personas B tiene un indicador de dispersión que es casi la tercera
parte del grupo A, lo cual significa que es un grupo más homogéneo, menos
disperso o más concentrado , alrededor del valor representativo, que en este
caso es la media aritmética o edad promedio.
Dicho de otro modo, la media aritmética del grupo B es de mejor calidad y
representatividad que la media aritmética del grupo A.
Luis Flores Cebrián
35
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