División

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introducción…
…y para desperezarnos un poco, ahí
van unas cuestiones sencillas para en-
trar en materia y en calor. Tratemos de
resolverlas antes de seguir adelante.

1. Un reloj adelanta 16
segundos durante el día y
retrasa 10 segundos en la
noche. Al empezar la ma-
ñanadel1ºdeabrilsepone
en la hora exacta.¿Cuál es
minutos de adelanto?

2.¿Cuál es el mayor número menor que
100talque,aldividirseentre23,produce
un resto igual al cociente?

¿Cuál es el valor de 0,1 :0,001?

3. Pedro tiene 43,75 pesos entre
monedas de 0,25;0,50;1;2 y 5 pesos.
Sitieneelmismonúmerodemonedas
de cada tipo,¿cuántas monedas tiene
en total?
La diferencia de dos números natu-
rales es 940 y el cociente exacto del
mayor entre el menor es 11.¿De qué
números se trata?

4. Complete las casillas del siguiente
cuadro:
+
x
x

+
+
5
:

–
= 9

= 7
:
:
–
+
:
= 1
= 2
=4
= 3
5. Rafael tiene 40 años y la suma de
las edades de sus tres hijos es 22 años.
¿Dentro de cuántos años la edad de Ra-
fael será igual a la suma de las edades
de sus tres hijos?

6. ¿Cuál es el menor número impar
mayor que 1 tal que, al dividirse por
7 ó por 5,da como resto 1?
7. Se reparten 134 libros en seis cajas
A,B,C,D,E y F. En cada caja y siguiendo
elordenanterior,sevacolocandounlibro
cada vez. ¿En qué caja se depositará el
último libro?
La suma de dos números enteros es
168; al dividirse el mayor entre el
menor se obtiene 7 como cociente
y 16 como residuo. ¿Cuáles son los
números?

8.Undesagüevacíaundepósitode1m3
arazónde20litrosporminuto.¿Cuántos
desagües iguales al anterior se necesitan
para vaciarlo en 10 minutos?
el primer día en que llegará a tener 3

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9.Dadalasiguientedisposiciónnumé-
rica bajo las columnasA,B,C,D y E:
E
5

13
A

6

14
B C D
2 3 4
7 8 9
10 11 12
15 16 17
18…………….

Averiguar en qué columna se hallará
el número 641.

10. Diariamente llegan al aeropuerto
un promedio de 6.480 pasajeros. Cada
avión trae 90 pasajeros. ¿Cuál es el
promedio de aviones que aterrizan cada
hora en el aeropuerto?

Se ha dividido un número entre 5.
¿Cuántas veces el dividendo contiene
al cociente?

¿Cuál es el divisor cuando el cociente
contiene al dividendo 4 veces?

Bien, ya tenemos nuestras respues-
tas, que iremos contrastando con las
indicacionesyejerciciosqueplanteare-
mos a lo largo de las líneas que siguen.

Y un segundo recordatorio:
Lasugerenciaqueproponíamosenel
Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá
los demás Cuadernos: vamos a estudiar
matemática, pero no lo vamos a hacer
como si fuéramos simplemente unos
alumnos que posteriormente van a ser
evaluados,yya.No.Nosotrossomosdo-
centes –docentes de matemática en su
momento–yesterasgodebecaracterizar
laformadeconstruirnuestropensamien-
to matemático. ¿Qué signi?ca esto?
• La presencia constante de la meta
última de nuestro estudio: alcan-
zar unos niveles de conocimiento
tecnológico y reflexivo, lo cual
debe abrir ese estudio hacia la
búsqueda de aplicaciones de lo
aprendido, hacia el análisis de los
sistemas que dan forma a nuestra
vida y utilizan ese conocimiento
matemático, y hacia criterios so-
ciales y éticos para juzgarlos.

• Construirelconocerdecadatópico
matemático pensando en cómo lo
enseñamos en el aula, además de
re?exionaracercadecómonuestro
conocer limita y condiciona nues-
trotrabajodocente.Deestaforma,
integrar nuestra práctica docente
en nuestro estudio.

• Comocomplementodeloanterior,
construirelconocerdecadatópico
matemático pensando en cómo lo
podemos llevar al aula. Para ello,
tomar conciencia del proceso que
seguimos para su construcción,
paso a paso, así como de los ele-
mentos–cognitivos,actitudinales,
emocionales…– que se presenten
en dicho proceso. Porque a partir
deestaexperienciare?exivacomo
estudiantes, podremos entender
y evaluar mejor el desempeño de
nuestrosalumnos–asunivel–ante
los mismos temas.
• Ende?nitiva,entenderquelamate-
máticaeslabasedesudidáctica:la
forma en que se construye el cono-
cimientomatemáticoesunafuente
imprescindiblealahoradeplani?car
y desarrollar su enseñanza.

Yahora,vamosaltemadeesteCua-
derno, la división.

1. ¿Qué es la división
de números naturales?
De entrada, nos encontramos con
unadiferenciasustancialconrespectoa
lastresoperacionesanteriores:adición,
sustracción y multiplicación. En esos
tres casos se trata de una operación
aritmética según la cual a cada par de
números naturales se le hace corres-
ponder otro número natural: su suma,
su diferencia (si el primer número del
par no es menor que el segundo) o su
producto, respectivamente.

En el caso de la división de números
naturales, no siempre a cada par de nú-
meros (dividendo y divisor) se le puede

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hacer corresponder un solo número
natural (cociente): esto sólo ocurre en la
división exacta. En el caso más general,
selesuelehacercorresponderotroparde
números: el cociente y el residuo o resto
de la división (Maza, 1991; Vergnaud,
1991). Así, por ejemplo, al par (38, 7) se
le hace corresponder el par (5, 3); al par
(41, 2), el par (20, 1); al par (15, 23), el
par(0,15);etc.Obsérvesequeestaforma
general incluye el caso de las divisiones
exactas, de residuo 0: al par (24, 6) se le
hace corresponder el par (4, 0).

Pero –aun con esta salvedad– la an-
teriorsiguesiendounamanera“formal”
de decir las cosas que no nos aclara
mucho, ya que debemos precisar cómo
esquesedivide,esdecir,cómosellega
al par