Prólogo
Estas notas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (odes)análisis dimensional (AD)y grupos deLie(GL)están
divididas en varios capítulos (no terminados) como sigue:
1. Cap.1. En este capítulo (no terminado) dedicado al AD intento resaltar la estructura de grupo (grupo de
Lie, grupo generado por la simetría de escala) que tiene, con esto quiero decir que la solución que uno
obtiene aplicando el teorema Pi (a una ode dimensionalmente homogénea) es la misma que la generada
(obtenida) como solución invariante por la simetría de escala. Esto es debido a la estructura de grupo de
tiene el AD. Para intentar hacer ver como funciona el método expongo un ejemplo muy concreto de un
problema cosmológico. Tal y como está redactado este capítulo, pienso que uno debería intentar ?jarse
más en el método y no en el ejemplo.
Observación 0.0.1 El AD que sigo es básicamente el AD de J. Palacios aunque he tomado (adoptado) todas las
aportaciones y correcciones que M. Castañs ha llevado a cabo para superar los postulados y métodos de Palacios.
2. Cap. 2. “Estará” dedicado a exponer (sin demostrar) el método de los grupos de Lie a las odes. Espero
terminar de redactar estos dos primero capítulos durante el otoño de 2004. Todas las referencias de este
capítulo también son válidas para los capítulos 3 y 4.
Creo y “espero” que los capítulos interesantes (en su forma actual) son los capítulos 3 y 4.
3. Cap. 3. En este capítulo expongo algunas de las odes de primer orden (mediante ejemplos) y comparo su
resolución por tres métodos:
El tradicional, en el que uno debe clasi?car (saber de que tipo se trata, identi?cación previa) y luego
aplicar el cambio de variable pertinente (apropiado) i.e. un rollo pues por ejemplo con odes tipo
Riccati además debemos buscar soluciones particulares, en ?n lo de siempre.
El dimensional. Para aplicar este método lo primero que tenemos que hacer (comprobar) es que la ode
bajo estudio veri?que el principio de homogeneidad dimensional i.e. de forma pedestre se puede
decir que: peras = peras pero nunca peras = manzanas, para que se veri?que la última igual deber-
emos introducir ciertas constantes dimensionales que hagan que dicha ode veri?que el principio de
homogeneidad i.e.
y' = x -? y' = ax
/
[a] = x-2y
(ecuaciones con sentido físico).
He seguido dos tácticas dimensionales:
D1. (Método pedestre) Consiste en aplicar el AD (Teorema Pi) a la ode bajo estudio y obtener (intentar
obtener) una solución. Esta solución por lo general será una solución particular de la ode dada pero
además será una solución invariante y atractiva desde el punto de vista de los sistemas dinámicos
y con sentido físico (esto si es bastante importante). Esta táctica no siempre funciona y es bastante
limitada.
D2. Consiste en obtener variables nuevas mediante el teorema Pi y reformular (reescribir) la ode dada
en estas nuevas variables, la ode resultante es trivialmente integrable, este es en esencia el método de
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Lie pero muchísimo más sencillo de aplicar ya que uno no debe aplicar ningún algoritmo para obtener
las simetrías que inducen dichos cambios de variable. Esta táctica siempre funciona.
Conestasdostácticasunopuedeolvidarsedeclasi?cacionesydelcorrespondientecambiodevariable
qu eno es poca cosa.
El método de Lie. Consiste en buscar mediante un algoritmo (algoritmo de Lie) las posibles simetrías de
la ode. Estas simetrías inducen cambios de variables que nos permiten reescribir la ode bajo estudio
obteniendo así una ode que admite una integración trivial. El estudiar, aplicar, las odes de primer
orden mediante este método es ir a matar moscas a cañonazos, es casi más complicado aplicar el
método (resolver la edp resultante al aplicar el algoritmo de Lie) que acordarse del pertinente cambio
de variable, pero no en todos los casos, por ejemplo con las odes tipo Riccati nos evita el tener que
buscar una solución particular y en los casos más favorables nos permite encontrar una solución a las
odes tipo Abel o a las de tipo Chini.
He intentado resaltar que la solución invariante que induce la simetría de escala coincide con la
obtenida al aplicar el teorema Pi (nuestro método pedestre D1).
4. Cap. 4. En este capítulo repaso algunas de las odes de segundo orden, (tampoco está del todo terminado).
Mediante ejemplos intento hacer ver como funcionan tanto el método de Lie (básicamente) como el di-
mensional. Es aquí donde parece tener más utilidad el método de Lie. En el quinto capítulo estudio sólo
algunas ODEs de tercer orden.
En el último capítulo expongo unos ejemplos de aplicación del método de Lie a ecuacines de segundo
orden que me han surgido en el estudio de modelos cosmológicos. Aquí la idea es la utilizar los GL y
el AD no sólo para obtener soluciones a la ode dada sino para estudiar condiciones que deben cumplir
las funciones involucradas para que dicha ode sea integrable, por ejemplo expongo una ode de segundo
orden en la que están involucradas 3 funciones, entonces el método de Lie nos dice que condiciones deben
cumplir para que dicha ode sea integrable. De igual forma nos ayuda a establecer ecuaciones de estado
(casi nada).
Lamento de antemano todas las erratas, faltas de ortografía etc… y espero que estas notas puedan ser útiles para
alguien.
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Chapter 1
Dimensional Analysis
1.1 Assumptions in DA.
DA consider the following concepts:
(i) A quantity u is to be determined in terms of n measurable quantities (variables and constants, characteris-
tic and universal) (Wi)n =1 ;
u = f (W1,…,Wn),
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