Resumen
A partir de los resultados conocidos sobre el espacio de James y los espacios
de sucesiones y de funciones de p-variaci´on acotada y sus propiedades de dualidad,
en este trabajo se de?ne un espacio de funciones de Tipo James y se estudian sus
propiedades, en particular su caracterizaci´on a partir de los espacios anteriormente
mencionados. Igualmente se propone una posible generalizaci´on de los espacios de
funciones de Tipo James con vistas al estudio del problema, a´un abierto, de la dua-
lidad de los espacios de este tipo.
Abstract
Starting from the well-known results on the space of James and the spaces of
successions and of functions of bounded p-variation and their properties of duality,
in this work it is de?ned a space of functions of James Type and their properties are
studied, in particular their characterization starting from the previously mentioned
spaces. It propose a possible generalization of the spaces of functions of James Type
with a view to the study of the problem, even open, of the duality of the spaces of
this type.
III
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˜
Introducci´on
La idea de dualidad de espacios normados data de los or´igenes del problema de
momentos, en la Teor´ia de las Probabilidades. El presente trabajo tiene como base
la investigaci´on acerca de lo concerniente a la dualidad de los espacios de funciones
absolutamente p-continuas y de p-variaci´on acotada. Para ello se de?nen y estudian
ciertos espacios con alguna similitud m´etrica y estructural con los anteriormente
mencionados, constituy´endose esto en el objetivo principal de este trabajo.
El concepto de p-continuidad absoluta de una funci´on real de?nida sobre el intervalo
[a,b] para 1 < p < 8 aparece por primera vez en el ano 1937, en los trabajos de E.R.
Love y L.C. Young (ver [14]), quienes desarrollaron tambi´en la noci´on de funci´on de
p-variaci´on acotada sobre el intervalo [a,b]. En esta l´inea se destacan adem´as los po-
lacos Musielak y Orlicz (ver [17]), quienes en el ano 1959 demostraron en conjunto la
separabilidad del espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas en [a,b].
Paralelamente, en 1951 James (ver [4], [7]) present´o un ejemplo de espacio de Banach
que es isom´etricamente isomorfo a su bidual, pero no es re?exivo. Dicho espacio se
conoce desde entonces con el nombre de su creador y es un espacio de sucesiones
in?nitesimales que juega un importante papel en la b´usqueda de un teorema de re-
presentaci´on de los funcionales de Cp[a,b].
En 1984 aparece un trabajo del matem´atico ruso V.Kisliakov (ver [9]), donde se
demuestra de forma indirecta que el espacio (Cp[a,b])**, bidual a Cp[a,b] es iso-
morfo al espacio Vq[a,b] de las funciones de q-variaci´on acotada en [a,b] con p y q
conjugados. De esta forma, la b´usqueda de una demostraci´on directa de la relaci´on
(Cp[a,b])**
Vq[a,b] se convierte en la columna vertebral de las investigaciones ex-
1 q
puestas en la tesis de doctorado (ver [20]) de la cubana Rita Rold´an, quien, sobre
la base del conocimiento del espacio de James, obtiene una representaci´on de los
funcionales sobre Cp[a,b] a trav´es de integrales de Stieltjes respecto a funciones de
Vq[a,b] con p + 1 = 1, pero sin obtener la isometr´ia buscada. Adem´as se hace notar
que Vq[a,b] no puede ser el espacio dual de Cp[a,b], mostr´andose, no obstante, una
condici´on su?ciente para la existencia de la integral de Stieltjes de manera tal que
esta representa un funcional continuo. De igual forma se tratan propiedades impor-
tantes de los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] como, por ejemplo, la relaci´on de estos con
2
desarrollo de la investigaci´on. En ´el se estudia el espacio vp
˜ ˜
el espacio Lipa[a,b] de las funciones a-lipchitzianas (0 < a < 1), al igual que la no
separabilidad de Vp[a,b] y la separabilidad de Cp[a,b].
Los estudios en esta direcci´on contin´uan en las tesis de licenciatura de los cubanos
Y. Puig del ano 2006 (ver [19]) y de R. Mili´an del ano 2008 (ver [16]), quienes gene-
ralizan las de?niciones de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada y estudian
su dualidad para funciones abstractas en el primer caso y desde el punto de vista de
la ´algebras de Banach en el segundo caso.
El espacio de?nido por James tambi´en ha sido de gran utilidad en la obtenci´on de
interesantes resultados. Uno de estos se encuentra en los trabajos de Lindenstrauss
y Stegall (ver [13]). En ellos se presenta una de?nici´on de espacio de funciones de
James JF como completamiento de la c´apsula lineal de las funciones caracter´isticas
de subintervalos de [0,1] con la norma
f = sup
n-1
i=0
ti+1
ti
f(t)dt
2
1
2
,
donde el supremo se toma sobre todas las particiones 0 = t1 < t2 < … < tn = 1
de [0,1]. Dicha de?nici´on parece m´as cercana a la original de James que la de las
funciones de p-variaci´on acotada, por lo que su estudio pudiera permitir obtener
nuevos resultados en la b´usqueda del teorema de representaci´on para (Cp[a,b])*. Sin
embargo, en los trabajos antes mencionados existen algunas inexactitudes que con-
ducen a la necesidad de de?nir un nuevo espacio a partir de la idea original.
En la b´usqueda bibliogr´a?ca desarrollada para este trabajo se han encontrado otros
trabajos relacionados con estos espacios, los cuales dedican su atenci´on sobre todo
a problemas de aproximaci´on, por lo que no se incluyen en esta tesis.
En este trabajo se generaliza la idea de Lindenstrauss y Stegall, de?niendo el es-
pacio JFp[a,b] de las funciones de p-variaci´on integral acotada sobre el intervalo
[a,b], denominado espacio de funciones de Tipo James, y se estudia su relaci´on con
el espacio de las funciones de p-
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