MODELO DE CRECIMIENTO CON GASTO PÚBLICO
Veremos en este modelo que el gobierno debe financiar sus acciones en l a
economía con impuestos distorsionados, y esto disminuye la rentabilidad de las
inversiones de las empresas privadas.
Supuestos del modelo
A los supuestos del modelo con crecimiento con gobierno se le añaden los
siguientes supuestos:
El gobierno decide el tamaño del gasto.
El gobierno puede afectar a la economía con la regulación (ley antimonopolio,
derecho de propiedad, etc.).
Ele tamaño del gasto público esta en relación con el crecimiento de la economía.
La función de producción presenta rendimientos constantes a escala.
Solamente existe un impuesto y es sobre la renta.
La función de producción de la economía es la misma que el modelo anterior:
(FPA)
AKt G1
t
Yt
Dividiendo a la función de producción entre la cantidad de trabajadores de la
economía
t
t
t
Kt G1
Lt L 1
yt
A
Kt G1
Lt
A
Yt
Lt
(FPI)
yt
Akt g1
t
De la condición de equilibrio macroeconómico en una economía cerrada tenemos:
Yt
Ct
I b
Gt
De las identidades: Ct
Pmgc.Yd
Yd
Yt
T
Yt
.Yt
b
kt
K t
Lt
I b
Lt
I
K t
.Kt
K t
Lt
I b
Lt
kt nkt
kt (n
)kt
s
Pmgs
Pmgc
1
1 c
En el largo plazo existe un equilibrio fiscal (Por que no se permiten la existencia de
déficit público).
Gt
T
.Yt
Reemplazando todas las identidades antes mencionadas en las líneas anteriores
Yt
PmgcYd
K t
Kt
.Yt
.
Yt
K t
Kt
.Yt
c.(1
)Yt
Kt
Yt
(1 c).(1
) K t
Dividiendo la ecuación anterior entre la cantidad de trabajadores de la economía y
reemplazando la identidad 1 c s
Kt
Lt
K t
Lt
Yt
Lt
(1 c).(1
)
yt
s.(1
) k t (
n)kt
Despejando kt reemplazando la (FPI)
t
k t
(n
s.(1
)Akt g1
)kt , la ecuación de movimiento
Siguiendo con el análisis de Barro (1990), que incorpora a los bienes públicos como
flujos productivos y no como bienes de capital acumulado.
Para este modelo tomaremos al gasto público como dado, y seguiremos suponiendo
que el gobierno tiene que equilibrar su presupuesto en todos los momentos del
tiempo y que los agentes de la economía maximizan su utilidad como se aprecia en
la siguiente función de utilidad.
Máx :
dt
J
t
(
n).t
0
.e
c1
1
1
Donde la restricción será la ecuación fundamental del modelo anterior
t
kt
)kt
(n
s.(1
)Akt g1
Para solucionar este problema se debe cumplir que:
n es decir que la tasa de
descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población.
Como los agentes individualmente toman al gasto publico como dado, resuelve el
problema de la maximización
Planteamiento del problema
Máx :
dt
J
t
n).t
(
0
.e
c1
1
1
(Función Objetivo)
t
kt
)kt
(n
s.(1
)Akt g1
(Ecuación de movimiento)
a. Comenzaremos a aplicar el método del Hamiltoniano.
t
t
t
H
)kt
(n
s.(1
.e
1
)Akt g1
n)t
(
c1
1
Donde
kt : Variable de estado.
ct : Variable de control.
t: Variable de coestado.
b. Tomando la derivada del hamiltoniano con respecto de la variable de control e
imponiendo la condición igual a cero.
0
( 1)
(
t
n)t
.ct
e
H
ct
(
(I)
e
t
.ct
n)t
c. Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e
imponiendo la condición del negativo de la derivada del multiplicado con respecto
al tiempo.
t
H
kt
t
t
gt
kt
)
(n
) A
(1
1
)
(1
1
(II)
(n
) A
t
t
gt
kt
d. Tomando la derivada con respecto al multiplicador lagrangiano
t
kt
H
t
kt
)kt
(n
s.(1
)Akt g1
(III)
(n
s.(1
)kt
t
)Akt g1
kt
0
Condición de Segundo Orden (CIIO)
Lím tkt
t
Esto quiere decir que
t
0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que
kt
0 (el stock de capital en el momento que muere).
Condición de Transversalidad
0
(1/ )
1
n)
t
e(
Lím
t
0
t
Lím
t
Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:
t
Ln
Lnct
n)t
(
Multiplicando por -1 a la ecuación y tomando la derivada temporal a la ecuación
anterior
.
(
(IV)
n)
t
t
ct
ct
Igualando la ecuación (II) y (IV)
t
t
ct
ct
gt
kt
A
n)
(
)
(n
)
(1
1
Despejando
ct
ct
tenemos:
)
(
)
(1
1
1
A
gt
kt
ct
ct
(V), la proposición de Barro – Ramsey
Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón
del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de
descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con
respecto al consumo por trabajador.
Del largo plazo, donde el gasto tiene que equilibrarse tenemos:
Yt
Lt
Gt
Lt
Gt
.Yt
t
gt
yt
(gt /kt)
A
gt
Akt g1
( )
( .A)1/
gt
kt
Reemplazando la ecuación ( ) en la proposición de Barro-Ramsey
)
(
(1
1
1
)A1/
ct
ct
( )
)
(
(1
1
1
)A1/
c
Podemos apreciar que los valores de esta ecuación están dados, por lo que la tasa
es constante.
En el estado de crecimiento proporcionado la tasa de consumo es igual a la tasa de
*
crecimiento del capital *
*
k
c
.
Tipología
Para analizar el tamaño del estado y de la tasa impositiva, debemos ver los casos
cuando existe tributación, cuando no existen impuesto y el caso intermedio.
Caso I:
0 (cuando la tasa marginal de tributación es nula)
Si reemplazamos
0 en la ecuación (
) que
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