César Antúnez. I
Notas de Crecimiento Económico
05120153@unmsm.edu.pe
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
(Universidad del Perú, Decana de América)
Modelo de Jones-Manuelli
En esta parte intentaremos presentar una tecnología que presente rendimientos
decrecientes de capital, pero que viola las condiciones de Inada.
Esta función fue propuesta originalmente por Kurz (1968) y después fue
reintroducida a la literatura del crecimiento económico por Jones y Manuelli (1990).
Supuestos del modelo
Abandona la función de producción Neoclásica y asumen:
Asume una función de producción tipo Sobelow
La función tiene rendimientos constantes a escala.
La función presenta rendimientos positivos de capital y trabajo.
Viola los supuestos de Inada.
Representa una tasa de ahorro constante.
Función de producción agregada (Sobelow)
Sea una función de producción que combina la función Cobb-Douglas y la función de
producción AK, mencionada en Capítulo anterior de este libro. Por lo que la función
de producción tiene la forma:
(FPA)
t
BKt L 1
AKt
Yt
1
s.a : 0
Donde
Yt: Producto agregado en el instante “t”.
Kt: Stock de capital agregado en el instante “t”.
Lt : Fuerza de trabajo agregada en el instante “t”.
A: Índice de nivel de tecnología de la función de producción AK.
B : Índice de nivel de trabajo en la función de producción tipo Cobb-Douglas.
: Elasticidad del producto respecto al capital.
1
: Elasticidad producto respecto a la fuerza de trabajo.
L
Yt
L
Yt
Ltt
B 1 . t L 1 t
B 1 . t L 1 t
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Propiedades de la función de producción
t
BKt L 1
AKt
1º. F Kt,Lt
Si multiplicamos a la función por un
0
B( Kt) ( Lt)1
A( Kt)
F Kt, Lt
t
Yt
BKt L 1
. AKt
F Kt, Lt
La función presenta rendimientos de escala constante
2º. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos.
0
1 1
t
BKt
A
PmgK
Yt
Kt
+
+
0
(1
)BKt Lt
PmgL
Yt
Lt
+
+
Recordemos que 0
1 entonces
1
1
1
0, es un valor
positivo
La derivada de los productos marginales es decreciente y negativa.
0
(
2 1
t
1)BKt
PmgK
Kt
2
Kt2
+
–
+
Recordemos 0
1
1
1
1
1, entonces 0
0 es una
constante negativa.
0
(1
2
2
)BKt Lt (1 )
PmgL
Lt
–
+ +
Recordemos que 0
0
1
1
1, entonces 0
x 1
1 es una
constante positiva 0 1
1.
3º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se
cumplen:
A
A
LímPmgK
K
LímPmgK
K 0
A
0
(1/ )
0
1
Kt
(1/0)
1
Kt
(1/ )
0
(1
1
Lt
)BKt
LímPmgL
L
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(1/0)
1
Lt
)BKt
(1
LímPmgL
L 0
Vemos que cumple las condiciones de INADA pero solo parcialmente, por que la
única diferencia es la primera condición de INADA.
Ecuación dinámica fundamental
Para hallar la función en términos por trabajador pasa remos a dividir la función
de producción de la economía entre la fuerza de trabajo agregada
t
t
Kt L 1
Lt L 1
B
Kt
L t
A
Yt
Lt
Bkt
Akt
yt
(FPI Sobelow)
De la ecuación fundamental de Solow – Swan
kt
)kt
sf (kt) (n
Bkt
Akt
Se tiene: yt
Reemplazando en la ecuación de Solow – Swan
sBkt
sAkt
kt
(n
)kt , la ecuación de Jones -Manuelli
Significa que es una ecuación diferencial del proceso de acumulación de capital en
una economía capitalista que tiene como función de producción Sobelow.
Versión de Solow
Dividiendo la ecuación fundamental entre kt
)
)
(n
(n
sA sB
sA sB
kt
kt
kt
kt
kt
kt
k
Como se puede apreciar en la ecuación de la tasa de crecimiento, donde la curva de
depreciación parece descrita por, n
que representa una línea horizontal, en
cambio la curva de ahorro es representada por una hipérbola.
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Analizaremos que pasa si kt se acerca cada vez mas acero, entonces la curva de
ahorro tiende al infinito por que el término sBkt 1, tiende al infinito, esto se puede
verificar mediante la siguiente ecuación:
(1/0)
)
(n
1
s.A s.B 1
kt
Lím k
k 0
)
(n
s.A
k
Lím
k 0
k
Lím
k 0
En cambio cuando kt aumenta cada vez mas hasta tender al infinito, la curva de
ahorro se aproxima a sA, donde converge. En este caso podemos apreciar que
cuando t k va al infinito la tasa de crecimiento que da expresada como la diferencia
entre sA y n
, como se puede verificar mediante la siguiente ecuación:
0
(1/ )
)
(n
1
s.A s.B 1
kt
k
Lím
k 0
)
s.A 0 (n
k
Lím
k 0
)
s.A (n
k
Lím
k 0
En esta parte analizaremos que el desenvolvimiento dinámico esta economía va
depender del desenvolvimiento de sus componentes.
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Análisis
Caso I
Un alto nivel de tecnología ( A) tal que la curva de ahorro supera a la curva
(n
depreciación s.A
), como se puede apreciar en el gráfico.
Un alto nivel de tecnología
(n
Características:
o La curva de ahorro es decreciente
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