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Modelo de Ramsey con progreso tecnológico



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    1
    UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
    FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
    (Universidad del Perú, Decana de América)

    Modelo de Ramsey con progreso tecnológico

    En esta nota final al modelo de Ramsey introduciremos el progreso tecnológico
    exógeno en los modelos de crecimiento, dicho progreso es potenciado del trabajo,
    este es el nuevo supuesto que se agrega al modelo.

    Entonces pasaremos a introducir el progreso tecnológico en 1er Ecuación diferencial
    kt
    (n mL
    f (kt) ct
    )kt , planteamos nuestra función de utilidad agregada de la
    sociedad.
    Máx :
    dt
    J
    0
    n)t
    (
    U(ct).e
    (Función Objetivo)
    s.a :
    kt
    )kt
    (n mL
    f (kt) ct
    (Ecuación de Movimiento)
    k(t0)
    (Condición Inicial)
    0: Dado
    k0
    k0
    0
    f (kt)
    ct
    0
    t

    Para solucionar el problema se debe cumplir que:
    n (1
    )mL es decir que la
    función de utilidad este acotada en este caso.

    1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que
    nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto
    pasaremos a plantear el hamiltoniano.
    t
    )kt
    (n mL
    f (kk) ct
    U(ct).e
    H(ct,kt, t,t)
    n).t
    (
    Donde
    kt : Variable de estado.
    ct : Variable de control.
    t: Variable de coestado.
    mL : Progreso tecnológico.

    Condición de Primer Orden (CIO)

    2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e
    igualándolo a cero.
    0
    t
    ct
    Ut
    ct
    H
    ct

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    H

    2
    0
    ( 1)
    (
    t
    n)t
    .U (ct)
    e
    H
    ct
    (I)
    t
    U (ct)
    e( n)t
    Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico

    3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y
    imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto
    al tiempo.
    t
    H
    kt
    t
    t
    mL)

    )
    (II)
    t
    f (kt) (n

    f (kt) (n mL
    t

    4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos:
    kt
    H
    kt
    kt
    )
    (n mL
    f (kt) ct
    )
    (III)
    kt
    (n mL
    f (kt) ct
    Condición de Segundo Orden (CIIO)
    0
    .
    (
    n)t
    t
    U (ct)
    e
    2

    c2
    >0
    x 0<
    Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.

    5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio
    implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone
    igual a cero.

    Condición de Transversalidad
    Esto quiere decir que
    t
    Lím tkt
    0
    t
    0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que
    kt
    0 (el stock de capital en el momento que muere).1
    0
    (1/ )
    1
    En la economía de Ramsey se supone que los individuos “fenecen” en el infinito.
    t
    Lím
    t
    0 ,
    esto
    indica que el valor del stock de activasen el ultimo momento del horizonte temporal debe ser cero.

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    dU (ct) ct

    3
    (
    1
    n)
    t
    e
    Lím
    t
    0
    t
    Lím
    t
    g
    Pmgk
    g
    )
    (n mL
    )
    De la ecuación (II) tenemos f (kt) (n mL
    Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:
    1
    ln t
    n)t.lne lnU (ct)
    (
    t
    ln
    n)t lnU (cy)
    (
    Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos:
    dt
    dt
    d(ln t)
    dt
    d lnU (ct)
    dt
    n.
    (
    t

    t
    ct dt
    .
    .
    1
    U (ct)
    n)
    (
    t

    t
    U (ct).ct
    .
    1
    U (ct)
    n)
    (
    A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador
    (ct )
    t

    t
    1 ct
    U (ct). .
    ct ct
    .
    1
    U (ct)
    n)
    (
    ( )
    .
    (
    t

    t
    ct
    ct
    n)
    Donde
    1
    ct
    .U (ct).
    1
    U (ct)
    : Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al
    consumo por trabajador.

    Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos:
    .
    (
    (IV)
    n)
    t

    t
    ct
    ct
    Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV)
    t

    t
    ct
    ct
    .
    n)
    (
    )
    f (kt) (n mL

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    4
    Despejando
    ct
    ct
    , tenemos:
    )
    mL
    f (kt) (
    ct
    ct
    (V), La proposición Ramsey – Keynes
    Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón
    del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación, la tasa de aumento
    tecnológico debido a la eficiencia del trabajo y la tasa de descuento intertemporal
    dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por
    trabajador.
    1
    c
    f (kt) (
    ) : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo.
    1
    (VI)
    ) ct
    mL
    f (kt) (
    Así mismo se puede expresar la ecuación como: ct
    Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)

    Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de
    fases de este modelo son:
    1er Ecuación diferencial: kt
    )kt
    (n mL
    f (kt) ct
    mL
    2da Ecuación diferencial: ct
    ) ct
    f (kt) (
    1
    0
    Encontrando la curva: k
    De la 1er Ecuación diferencial
    0
    Si kt
    )kt
    (n mL
    f (kt) ct
    0
    Entonces ct
    )kt
    f (kt) (n mL

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    5
    0
    Gráfico Nº 1: Diagrama de fases con progreso tecnológico de k
    Si nos situamos por encima de la curva kt

    de ct irá asociada a una disminución de kt
    0, vemos que un pequeño movimiento
    0. Dado que la 1er Ecuación diferencial,
    donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima
    de la kt
    0, el capital decrece kt
    0. Denotamos el movimiento de flechas así la
    izquierda, tal como aparece en el gráfico Nº 1. Las flechas se dirigen en forma
    horizontal por que en el eje horizontal aparece kt .

    Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene:
    1 0
    d kt

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