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Apuntes introductorios de álgebra



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    ÁLGEBRA ?EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la
    representación de un símbolo algebraico o de una o
    más operaciones algebraicas. ÁLGEBRA es la rama de
    la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo
    más general posible. Ejemplos: a, 5x, , (a+b)c, x2, El
    concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más
    amplio que en Aritmética. ?TÉRMINO es un conjunto
    formado por los cuatro (4) elementos siguientes: En
    Aritmética las cantidades se representan por
    números y éstos expresan valores determinados.
    Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un
    valor mayor o menor que éste habrá que escribir un
    número distinto de 20. En Álgebra, para lograr la
    generalización, las cantidades se representan por medio de
    letras, las cuales pueden representar todos los valores.
    Así, “a” representa el valor que nosotros le
    asignemos, y Coeficiente Signo Exponente Parte literal por lo
    tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a
    nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en
    un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra
    no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto
    del que le hemos asignado. Los símbolos usados en
    Álgebra para representar las cantidades son los
    números y las letras. Los números se emplean para
    representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se
    emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean
    conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar
    distintos valores diferenciándolos por medio de comillas (
    a’, a´´,a’’’) o
    también por medio de subíndices ( X1, X2, X3 ). Con
    las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden
    hacer las mismas operaciones que con los números
    aritméticos. APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplos :
    –3X2 es un término : tiene signo negativo, el
    coeficiente es “3”, la parte literal es
    “X” y su exponente es “2”. +2a es un
    término : tiene signo positivo, coeficiente
    “2”, parte literal “a” y aunque no se
    observa ningún exponente se sobre entiende que tiene
    exponente “1” (en álgebra a1 = a). 7n5 es un
    término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
    que es positivo, el coeficiente es “7”, la parte
    literal es “n” y su exponente es “5”.
    –n3 es un término : tiene signo negativo, aunque no
    se observa el coeficiente se sobre entiende que es
    “1” (cualquier variable multiplicada por
    “1” es igual a dicha variable), la parte literal es
    “n” y su exponente es “3”. X es un
    término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
    que es positivo, aunque no se observa el coeficiente se sobre
    entiende que es Ing. José Luis Albornoz Salazar – 1

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    y 1) “1”, la parte literal es “X y aunque no se
    observa ningún exponente se sobre entiende que tiene
    exponente “1” (recuerde que X1 = X). 5 es un
    término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
    que es positivo, el coeficiente es “5”, no tiene
    parte literal (pero pudiera ser cualquier variable elevada a cero
    que es igual a “1”). Un término que no tenga
    parte literal se denomina “término
    independiente”. –5X2Y3 es un término : tiene
    signo negativo, el coeficiente es “5” , la parte
    literal es “XY”, la letra “X” tiene
    exponente “2” y la letra “Y” tiene
    exponente “3”. ?TÉRMINOS SEMEJANTES : Dos
    términos son semejantes cuando tienen la misma parte
    literal y el mismo exponente. Mismo exponente –7X3n5 y
    2n5X3 son términos semejantes, todos tienen la misma parte
    literal (las letras “X” y “n”) y el mismo
    exponente en cada una de las dos letras. No importa que las
    letras estén ordenadas de manera distinta, lo importante
    es que sean las mismas letras y que cada una tenga el mismo
    exponente en ambos términos (X3 = X3 ; n5 = n5).
    –6X2 y 8X3 NO son términos semejantes, ambos tienen
    parte literal “X” pero el exponente es distinto (X2 ?
    X3). 4X2 y –4Y2 NO son términos semejantes, ambos
    tienen exponente “2” pero distinta parte literal (X2
    ? Y2). –7n3Y2 y 2n2Y3 NO son términos semejantes,
    porque aunque tienen la misma parte literal (“nY”) el
    exponente en cada una de las dos letras es distinto (n3 ? n2 ; Y2
    ? Y3) . –9X3Y2 y 9X3Y3 NO son términos semejantes,
    porque aunque tienen la misma parte literal (“XY”) y
    el exponente de la letra “X” es igual, el exponente
    de la letra “Y” es distinto (Y2 ? Y3). –3a3b2
    5b3a2 NO son términos semejantes, porque aunque tienen la
    misma parte literal (“ab”) el exponente en cada una
    de las dos letras es distinto (a3 ? a2 ; b2 ? b3). Misma parte
    literal Ejemplos : –3X2 y 7X2 son términos
    semejantes, ambos tienen parte literal “X” y
    exponente “2” (X2 = X2). –5XY ; 8XY y 72XY son
    términos semejantes, todos tienen la misma parte literal
    (“XY”) y el mismo exponente en cada una de las dos
    letras (X = X ; Y = Y) . –7X4Y2 y 2X4Y2 son términos
    semejantes, todos tienen la misma parte literal
    (“XY”) y el mismo exponente en cada una de las dos
    letras (“X” tiene exponente “4” y
    “Y” exponente “2”) ; (X4 = X4 ; Y2 = Y2).
    APUNTES DE ÁLGEBRA ?REDUCCIÓN DE TÉRMINOS
    SEMEJANTES : Cuando en una misma expresión algebraica se
    encuentren dos o más términos semejantes se deben
    convertir en uno solo que sea equivalente a ellos. Ejemplos : 3X
    + 7X = Notamos que son dos términos semejantes (ambos
    tienen parte literal “X” y exponente
    “1”). Cuando una expresión algebraica presenta
    su primer término sin signo se sobre entiende que tiene
    signo positivo. Esto nada más se sobre entiende en el
    primer término, en ninguna otra ubicación
    más. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 2 –

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    3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 9X3Y2 2 5 2 5 2 5 – Cuando dos o
    más términos semejantes tengan igual signo se
    conserva el signo y se suman los coeficientes : 3X + 7X = 10X 2)
    –3n –5n = Notamos que son dos términos
    semejantes (ambos tienen parte literal “n” y
    exponente “1”), también podemos observar que
    ambos tienen signo negativo. Cuando dos o más
    términos semejantes tengan igual signo se conserva el
    signo y se suman los coeficientes : –3n –5n =
    –8n 3) 4X Y + 3X Y + 2X Y = 7) –9X n + 2n X = –
    7X3n2 8) –3b +5b –9b +2b = Notamos que son cuatro
    términos semejantes (todos tienen parte literal
    “b” y exponente “1”), también
    podemos observar que tienen signos distintos. Cuando sean
    más de dos términos semejantes con diferentes
    signos, se recomienda primero sumar por separado los del mismo
    signo y después proceder como en los ejemplos anteriores.
    Sumando los términos con signo positivo : 5b + 2b = 7b
    Sumando los términos con signo negativo : – 3b
    – 9b = – 12b 4) – 10a b – 4a b – 2a
    b = 16a2b5 La expresión quedará como : 7b –
    12b = Aplicando el procedimiento indicado en los ejemplos 5, 6 y
    7 de 5) –9a +2a = Notamos que son dos términos
    semejantes (ambos tienen parte literal “a” y
    exponente “1”), también podemos observar que
    tienen signos distintos. Cuando dos términos semejantes
    tengan signos distintos, se colocará el signo del
    coeficiente mayor y se restarán los coeficientes :
    –9a +2a = –7a 6) 7X2 – 3X2 = Notamos que son
    dos términos semejantes (ambos tienen parte literal
    “X” y exponente “2”), también
    podemos observar que tienen signos distintos. Aunque el primer
    termino (7X2) no presenta ningún signo, se sobre entiende
    que tiene signo positivo. Cuando dos términos semejantes
    tengan signos distintos, se colocará el signo del
    coeficiente mayor y se restarán los coeficientes : 7X2
    – 3X2 = 4X2 APUNTES DE ÁLGEBRA esta misma
    página tendremos : 7b – 12b = – 5b 9) 5X
    –9X +6X = 11X – 9X = 2X 10) 5XY –9XY +6XY + 3YX
    – 8YX = 14XY – 17XY = – 3XY 11) Y –3Y +4Y
    + 13Y – 15Y = 18Y – 18Y = 0 12) –3a +5b
    –9b +2a = Notamos que son cuatro términos pero no
    todos son semejantes (dos tienen parte literal “a” y
    exponente “1” y dos tienen parte literal
    “b” y exponente “1”) En estos casos se
    deben reducir por separado los términos semejantes entre
    si. Trabajando con “a” : –3a +2a = –a
    Ing. José Luis Albornoz Salazar – 3 –

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    y Trabajando con “b” : +5b –9b = –4b
    –3a +5b –9b +2a = –a –4b ?MONOMIO : Es
    una expresión algebraica que consta de un solo
    término. Se dice que un polinomio es completo con
    relación a una letra cuando contiene todos los exponentes
    sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más
    bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el
    polinomio x5 + x4 – x3 + x2 -3x es completo respecto de la
    “x”, porque contiene todos los exponentes sucesivos
    de la “x” desde el más alto “5”,
    hasta el más bajo “1”, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el
    polinomio a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 es completo
    respecto de “a” y “b”. Ejemplos : 3a,
    –9b, X2, – 5X3Y5, Polinomio ordenado con respecto a una
    letra es un polinomio ?POLINOMIO : Es una expresión
    algebraica que consta de más de un término.
    Ejemplos : a + b, a+x – y, X3 + 2X2 + X – Y BINOMIO
    es un polinomio que consta de dos términos. Ejemplos : a +
    b, x – y, en el cual los exponentes de una letra escogida,
    van aumentando o disminuyendo. Así, el polinomio x4
    – 4×3 + 2×2 – 5x + 8 está ordenado en orden
    descendente con relación a la letra “x”; el
    polinomio a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 está
    ordenado en orden descendente respecto a la letra “a”
    y en orden ascendente respecto a la letra “b”. ?SUMA
    DE POLINOMIOS : Para sumar dos o más polinomios se
    escriben uno a continuación de los otros con sus propios
    signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
    TRINOMIO es un polinomio que consta de tres términos.
    Ejemplo : Sumar –3a +5b –9b +2a Ejemplos : a+b
    – c, x – y+6, Se escriben los dos polinomios uno a
    continuación del otro conservando los signos : EL GRADO de
    un polinomio puede ser absoluto y con relación a una
    letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su
    término de mayor grado. Así, en el polinomio X4
    – 5X3 + X2 – 3X el primer término es de cuarto
    grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado,
    y el ultimo, de primer grado; luego, el grado absoluto del
    polinomio es el cuarto. Grado de un polinomio con relación
    a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
    Así, el polinomio a6 + a4x2 – a2x4 es de sexto grado
    con relación a la “a” y de cuarto grado con
    relación a la “x”. APUNTES DE ÁLGEBRA
    –3a +5b –9b +2a Se reducen por separado los
    términos semejantes entre si. Trabajando con
    “a” : –3a +2a = –a Trabajando con
    “b” : +5b –9b = –4b –3a +5b
    –9b +2a = –a –4b En la práctica, suelen
    colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los
    términos semejantes queden en columnas y se hace la
    reducción de éstos, separándolos unos de
    otros con sus propios signos. Ing. José Luis Albornoz
    Salazar – 4 –

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    y ; ; 4 y ; ; Ejemplos : 5X3 2X2 + 3X – 2 – 9X + 4 1)
    Sumar 4a – 3b – 5c 7b – 9a – 3c 5X3 + 2X2
    – 6X + 2 Se coloca uno debajo del otro de manera que los
    términos semejantes queden en columnas (“a”
    debajo de “a”, “b” debajo de
    “b” y “c” debajo de “c”).
    Todos los términos conservan sus signos. Resultado : 5X3 +
    2X2 – 6X + 2 El segundo polinomio se reordena de manera tal
    que las letras 3) Sumar 5X3 + 3X – 2 X4 – 6X2 2X2
    – 9X + 7 queden en el mismo orden que en el primer
    polinomio: + 4a – 3b – 5c – 9a + 7b – 3c
    Posteriormente se reducen los términos semejantes en
    sentido vertical. Se colocan uno debajo del otro de manera que
    los términos semejantes queden en columnas. Todos los
    términos conservan sus signos. Los polinomios deben
    ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde
    falte un término se dejará el espacio vacío.
    +4a – 3b – 5c – 9a + 7b – 3c – 5a +
    4b – 8c X4 5X3 – 6X2 2X2 + 3X – 9X – 2 +7
    Resultado : – 5a + 4b – 8c Posteriormente se reducen
    los términos semejantes en sentido vertical. En la columna
    donde haya un solo término se coloca tal como 2) Sumar 5X3
    + 3X – 2 2X2 – 9X + 4 esté. X 5X3 – 6X2
    + 3X – 2 Se coloca uno debajo del otro de manera que los
    términos semejantes queden en columnas. Todos los
    términos conservan sus signos. 2X2 – 9X + 7 X4 + 5X3
    – 4X2 – 6X + 5 Los polinomios deben ordenarse en el
    mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un
    término se dejará el espacio vacío. 5X3 + 3X
    – 2 2X2 – 9X + 4 4) Sumar a3 – b3 – 5a2b
    – 4ab2 a3 – 7ab2 – b3 Posteriormente se reducen
    los términos semejantes en sentido vertical. En la columna
    donde haya un solo término se coloca tal como esté.
    APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
    – 5 –

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    ; 1) 5) Sumar X3 – XY2 – Y3 ; X3 – 5X2Y –
    Y3 2X3 – 4XY2 – 5Y3 Trabajando con “a” :
    –3a +2a = –a Trabajando con “b” : +5b
    –9b = –4b = –a –4b (–3a +5b)
    – (9b –2a) = –3a +5b –9b +2a = –a
    –4b En la práctica, suele escribirse el sustraendo
    con sus signos 4X3 – 5X2Y – 5XY2 – 7Y3 6) Sumar
    X4 – X2Y2 ; – 5X3Y + 6XY3 ; – 4XY3 +Y4 ;
    –4X2Y2 – 6 cambiados debajo del minuendo, de modo que
    los términos semejantes queden en columnas y se hace la
    reducción de éstos, separándolos unos de
    otros con sus propios signos. Ejemplo : 5X3 + 3X – 2 menos
    –2X2 + 9X –4 Se le cambian los signos al sustraendo
    (lo que se va a restar) 2X2 – 9X + 4 ?RESTA DE POLINOMIOS :
    Para restar dos polinomios se debe escribir el minuendo con sus
    propios signos y a continuación el sustraendo con los
    signos cambiados y se reducen los términos semejantes si
    los hay. Se coloca debajo del minuendo (al que se le va a restar)
    de manera que los términos semejantes queden en columnas.
    Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o
    descendente) y donde falte un término se dejará el
    espacio vacío. 5X3 + 3X – 2 2X2 – 9X + 4
    minuendo sustraendo m – s = d diferencia Posteriormente se
    reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la
    columna donde haya un solo término se coloca tal como
    esté. 5X3 + 3X – 2 2X2 – 9X + 4 5X3 + 2X2
    – 6X + 2 Ejemplo : De –3a +5b restar 9b –2a Se
    escribe el minuendo (al que se le va a restar) con sus propios
    signos y a continuación el sustraendo (lo que se va a
    restar) con los signos cambiados : –3a +5b –9b +2a Se
    reducen por separado los términos semejantes entre
    sí. APUNTES DE ÁLGEBRA Resultado : 5X3 + 2X2
    – 6X + 2 Es bueno aclarar que en la resta de polinomios se
    aplican los mismos criterios que en la suma de polinomios una vez
    que se le cambien los signos al sustraendo (lo que se va a
    restar). Ing. José Luis Albornoz Salazar – 6 –

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    Lo importante entonces es identificar el sustraendo (lo que se va
    a restar) y cambiarle todos los signos, no importa la forma como
    se plantee el ejercicio. Ejercicios : 1) De a + b restar a
    – b 2) De 2X – 3Y restar – X + 2Y 3) De 8a + b
    restar – 3a + 4 4) De X2 – 3X restar – 5X + 6
    Respuestas: ?SIGNOS DE AGRUPACIÓN : Los signos de
    agrupación son de cuatro (4) clases : el paréntesis
    ( ), el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra
    — (el último es muy poco usado). Los signos de
    agrupación se emplean para indicar que las cantidades
    encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como
    una sola cantidad. Así, X + (Y – Z), que equivale a
    X + (+Y – Z), indica que la diferencia Y – Z debe
    sumarse con X, y ya sabemos que para efectuar esta suma
    escribimos a continuación de X las demás cantidades
    con su propio signo y tendremos : X + (Y – Z) = X + Y
    – Z La expresión X+(–2Y+Z) indica que a X hay
    que sumarle – 2Y + Z; luego, a continuación de X,
    escribimos – 2Y + Z con sus propios signos y tendremos : X
    + (– 2Y + Z) = X – 2Y + Z Vemos, pues, que hemos
    suprimido el paréntesis precedido del signo +, dejando a
    cada una de las cantidades que estaban dentro de él con
    sus propios signos. 5) Restar 6) Restar 7) Restar 7a2b + 9ab2 X
    – Y+ Z – X – Y+ Z de a3 – a2b de X
    – Y + Z de X + Y – Z La expresión X – (Y
    + Z), que equivale a X – (+Y + Z), indica que de X hay que
    restar la suma Y + Z y como para restar escribimos el sustraendo
    con los signos cambiados a continuación del minuendo,
    tendremos: X – (Y + Z), = X – Y – Z La
    expresión X – (– Y + Z),indica que de X hay
    que restar – Y + Z; luego cambiando los signos al
    sustraendo tendremos: Respuestas: APUNTES DE ÁLGEBRA X
    – (– Y + Z), = X + Y – Z Vemos pues, que hemos
    suprimido el paréntesis precedido del signo –,
    cambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban
    encerradas en el paréntesis. El corchete [ ], las llaves {
    } y el vínculo o barra —, tienen la misma
    significación que el paréntesis y se suprimen del
    mismo modo. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 7 –

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    = 2a Ejercicios : Simplificar, suprimiendo los signos de
    agrupación y reduciendo términos semejantes: Cuando
    unos signos de incluidos dentro de otros : agrupación
    están 1) Simplificar la expresión : Primero suprimo
    (elimino) el signo de agrupación que esté incluido
    dentro de otro (los más interiores), en este caso se puede
    observar que existe un paréntesis dentro de un corchete.
    Como el paréntesis está precedido de un signo
    negativo, se cambian los signos de los términos que
    estén dentro de él : Posteriormente se procede a
    suprimir el otro signo de agrupación (corchete): Como el
    corchete está precedido por un signo positivo, no se
    alteran los signos de los términos que estén dentro
    de los referidos corchetes Una vez que no hayan signos de
    agrupación se reducen los términos semejantes : 11.
    a+a – b + – a+b (vínculo o barra) = a + a
    – b – a + b = 2a – a = a Trabajando con las
    “a” : + 2a + a – a 12. a – a – b
    – – a – b (vínculo o barra) Trabajando
    con las “b” : – b = – b = a – a + b
    + a + b = 2a – a + 2b = a + 2b APUNTES DE ÁLGEBRA El
    resultado es : 2a – b Ing. José Luis Albornoz
    Salazar – 8 –

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    = 2) Simplificar la expresión: – [ – 3a
    – { b + [ – a + ( 2a – b) – ( – a +
    b ) ] + 3b } + 4a ] Empezando por los más interiores que
    son los paréntesis ; si el signo anterior al
    paréntesis es positivo, le dejo los signos iguales a los
    que estén dentro del paréntesis ; si el signo
    anterior al paréntesis es negativo, le cambio los signos a
    los que estén dentro del paréntesis : – [
    – 3a – { b + [ – a + 2a – b + a – b
    ] + 3b } + 4a ] Después el corchete que está entre
    las llaves ( como en este caso el corchete está precedido
    por un signo positivo se mantienen los signos iguales) : –
    [ – 3a – { b – a + 2a – b + a – b +
    3b } + 4a ] Después las llaves que están dentro de
    los corchetes ( como en este caso las llaves están
    precedidas por un signo negativo, se cambian todos los signos que
    estén dentro de ellas) : – [ – 3a – b +
    a – 2a + b – a + b – 3b + 4a ] Por
    último se suprimen los corchetes exteriores, y como en
    este caso está precedido por un signo negativo, se le
    cambiarán todos los signos que están dentro de
    él : + 3a + b – a + 2a – b + a – b + 3b
    – 4a Una vez que no hayan signos de agrupación se
    reducen los términos semejantes : 3) Simplificar la
    expresión: 4) Simplificar la expresión: 5)
    Simplificar la expresión: 6) Simplificar la
    expresión: Trabajando con las “a” : + 3a
    – a + 2a + a – 4a 6a – 5a = a Trabajando con
    las “b” : + b – b – b + 3b = 4b –
    2b = 2b El resultado es : a + 2b APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
    José Luis Albornoz Salazar – 9 –

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    = x ?MULTIPLICACIÓN : La multiplicación es una
    operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades
    llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera
    cantidad, llamada producto. Así, en el producto abcd,
    tenemos: abcd = a(bcd) (ab)(cd) = (abc)d (Ley Asociativa de la
    multiplicación). Ley de los signos : multiplicando
    multiplicador a b = c producto 1) (+ a).(+ b) = + ab 2) (–
    a).(– b) = + ab 3) (+ a).(– b) = – ab 4)
    (– a).(+ b) = – ab Lo anterior podemos resumirlo
    diciendo que : El multiplicando y el multiplicador son llamados
    factores del producto. En nuestras clases de aritmética
    nos enseñaron que esta operación es representada a
    través del signo “x” (por). En álgebra
    para evitar confusiones (por utilizar la “x” como una
    variable o incógnita) se ha convenido representarla de
    otras maneras : Es así cómo la operación
    “ a por b” puede ser indicada de alguna de las
    siguientes maneras : 1) a.b 2) ab 3) a*b 4) (a).(b) 5) (a)(b) En
    álgebra para evitar confusiones en la
    multiplicación de cantidades conocidas (números) se
    acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis.
    Así, la multiplicación “12 por 20”
    suele indicarse como (12)*(20) o como (12).(20) o como (12)(20)
    El orden de los factores no altera el producto. Así, el
    producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse
    también bac o acb (Ley Conmutativa de la
    multiplicación) Los factores de un producto pueden
    agruparse de cualquier modo. APUNTES DE ÁLGEBRA 1) + por +
    da + 2) – por – da + 3) + por – da – 4)
    – por + da – El signo del producto de varios factores
    es positivo cuando tiene un número par de factores
    negativos o ninguno : (– a).(– b).(–
    c).(– d) = abcd (+ a).(+ b).(+ c).(+ d) = abcd El signo del
    producto de varios factores es negativo cuando tiene un
    número impar de factores negativos : (– a).(–
    b).(– c) = – abc Ley de los exponentes : Para
    multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y
    se le pone por exponente la suma de los exponentes de los
    factores. Ejemplos: 1) (Xm) (Xn) = Xm+n 2) (XmYn) (XsYt) = Xm+s
    Yn+t 3) (X2) (X) = X2+1 = X3 4) (X2Y2) (XY3) = (X2+1) (Y2+3) =
    X3Y5 Ley de los coeficientes : El coeficiente del producto de dos
    factores es el producto de los coeficientes de los factores.
    (3a).(4b) = 12ab Ing. José Luis Albornoz Salazar – 10

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    ?MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS : Se multiplican los
    coeficientes y a continuación de este producto se escriben
    las letras de los factores en orden alfabético,
    poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de
    los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto
    vendrá dado por la Ley de los signos. Ejemplo 1 :
    Multiplicar 3a por – 4b Primero se multiplican los
    coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos : (3).(–4)
    = –12 A continuación se escriben las letras en orden
    alfabético : –12ab (3a).(–4b) = –12ab
    Ejemplo 2 : Multiplicar 2b2 por 3b3 A continuación de este
    producto se escriben las letras de los factores en orden
    alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
    igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
    –20 (X2+1) (Y2+3) (–4X2Y2) (5XY3) = –20 (X2+1)
    (Y2+3) = –20 X3Y5 Ejemplo 6 : Multiplicar 3a por – 4b
    por 2c Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la
    Ley de los signos : (3).(–4).(2) = –24 A
    continuación se escriben las letras en orden
    alfabético : –24abc (3a).(–4b) .(2c) = –
    24abc Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la
    Ley de Ejemplo 7 : Multiplicar – 4X2Y2 por 5XY3 por –
    XYZ los signos : (2).(3) = 6 A continuación de este
    producto se escriben las letras de los factores en orden
    alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
    igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
    6(b2+3) = 6b5 ( 2b2 ) ( 3b3 ) = (2)(3)(b2+3) = 6b5 Primero se
    multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
    : (–4).(5).(–1) = 20 A continuación de este
    producto se escriben las letras de los factores en orden
    alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
    igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
    20(X2+1+1) (Y2+3+1)Z (–4X2Y2) (5XY3) (–XYZ) = 20
    (X2+1+1) (Y2+3+1)Z = 20 X4Y6Z Ejemplo 3 : Multiplicar 2b por
    –3b ( 2b ) ( –3b ) = (2)(–3)(b1+1) = –
    6b2 Ejemplo 8 : Multiplicar – 4XY2Z por –5XY2 por
    – 2XYZ Ejemplo 4 : Multiplicar –2b2 por –3b3 (
    –2b2 ) ( –3b3 ) = (–2)(–3)(b2+3) = + 6b5
    Ejemplo 5 : Multiplicar – 4X2Y2 por 5XY3 Primero se
    multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
    : (–4).(5) = –20 APUNTES DE ÁLGEBRA Primero se
    multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
    : (–4).(–5).(–2) = –40 A
    continuación de este producto se escriben las letras de
    los factores en orden alfabético, poniéndole a cada
    letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en
    los factores : –40(X1+1+1) (Y2+2+1) (Z1+1) (–4XY2Z)
    (–5XY2) (–2XYZ) = –40 (X1+1+1) (Y2+2+1) (Z1+1)
    = –40 X3Y5Z2 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 11

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    2m+n+m+1 Ejemplo 9 : Multiplicar – 2X2m+nYn-1 por 3Xm+1Yn
    Ejemplo 2 : Multiplicar 3X2 –2X + 5 por 2X2 Primero se
    multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
    : (–2).(3) = –6 A continuación de este
    producto se escriben las letras de los factores en orden
    alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
    igual a la suma de La multiplicación se indica como :
    (2X2).( 3X2 –2X + 5) = Se multiplica el monomio (2X2) por
    cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta
    en cada caso la regla de los signos: los exponentes que tenga en
    los factores : –6(X ) (Yn–1+n) (2X2).( 3X2 –2X
    + 5) = 6X2+2 (–2X2m+nYn-1) (3Xm+1Yn) = –6(X2m+n+m+1)
    (Yn–1+n) (2X2).( 3X2 –2X + 5) = 6X4 – 4X2+1 =
    –6 X3m+n+1Y2n–1 (2X2).( 3X2 –2X + 5) = 6X4
    – 4X3 + 10X2 ?MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR
    MONOMIOS : Se multiplica el monomio por cada uno de los
    términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la
    regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus
    propios signos (Ley Distributiva de la multiplicación).
    Ejemplo 1 : Multiplicar 2b por 3X2 –2X + 5 (2X2).( 3X2
    –2X + 5) = 6X4 – 4X3 + 10X2 La ecuación
    también puede disponerse en forma similar a lo aprendido
    en nuestras clases de aritmética : La
    multiplicación se indica como : (2b).( 3X2 –2X + 5)
    = Se multiplica el monomio (2b) por cada uno de los
    términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la
    regla de los signos: 3X2 2X2 –2X +5 A continuación
    multiplicamos el monomio (2X2) por cada uno de los (2b).( 3X2
    –2X + 5) = 6bX2 términos del polinomio, teniendo en
    cuenta en cada caso la regla de los signos y colocando el
    resultado en la parte de abajo. (2b).( 3X2 –2X + 5) = 6bX2
    – 4bX 3X2 –2X +5 2X2 (2b).( 3X2 –2X + 5) = 6bX2
    – 4bX + 10b 6X4 – 4X3 + 10X2 (2b).( 3X2 –2X +
    5) = 6bX2 – 4bX + 10b APUNTES DE ÁLGEBRA Por
    cualquiera de los dos métodos el resultado será el
    mismo. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 12 –

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    Ejercicios : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis
    Albornoz Salazar – 13 –

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    2 ?MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS : Se multiplican todos los
    términos del multiplicando por cada uno de los X X +3
    –2 términos del multiplicador, teniendo en cuenta la
    Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
    Ejemplo 1 : Multiplicar X + 3 por X – 2 La
    multiplicación se indica como : (X + 3).( X – 2) =
    Se multiplican todos los términos del multiplicando por
    cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en
    cuenta la Ley de los signos (X + 3).( X –2) = X2 (X + 3).(
    X –2) = X2 –2X (X + 3).( X –2) = X2 –2X +
    3X Primero se multiplica el primer término del
    multiplicador (X) por los dos términos del multiplicando
    (X+3) : X +3 X –2 X2 +3X Posteriormente se multiplica el
    segundo término del multiplicador (–2) por los dos
    términos del multiplicando (X+3), escribiendo los
    productos parciales de modo que los términos semejantes
    queden en columna : X +3 X –2 X2 +3X –2X –6 Por
    último se reducen los términos semejantes : X +3 X
    –2 (X + 3).( X –2) = X2 –2X + 3X – 6 X2
    +3X –2X X +X –6 –6 Una vez efectuada la
    operación se reducen los términos semejantes del
    polinomio resultante (producto) : (X + 3).( X –2) = X2
    –2X + 3X – 6 = X2 + X – 6 La operación
    también puede disponerse en forma similar a lo aprendido
    en la multiplicación de un polinomio por un monomio
    (pág. 12).: Los dos factores deben ordenarse con
    relación a una misma letra y colocarse uno debajo del
    otro: APUNTES DE ÁLGEBRA El resultado es el mismo que con
    el método anterior. Ejemplo 1 : Multiplicar 2X + 3 por 3X2
    –2 La multiplicación se indica como : (2X + 3).( 3X2
    – 2) = Se multiplican todos los términos del
    multiplicando por cada uno de los términos del
    multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos (2X + 3).(
    3X2 –2) = 6X3 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 14

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    (2X + 3).( 3X2 –2) = 6X3 – 4X (2X + 3).( 3X2
    –2) = 6X3 – 4X + 9X2 (2X + 3).( 3X2 –2) = 6X3
    – 4X + 9X2 – 6 Una vez efectuada la operación
    se debe ordenar el polinomio resultante (producto) : (2X + 3).(
    3X2 –2) = 6X3 – 4X + 9X2 – 6 = 6X3 + 9X2
    – 4X – 6 Ejercicios : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
    José Luis Albornoz Salazar – 15 –

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    APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
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    APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
    – 17 –

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    Ejercicios con exponentes literales : APUNTES DE ÁLGEBRA
    Ing. José Luis Albornoz Salazar – 18 –

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    ?PRODUCTO CONTINUADO DE POLINO- MIOS : Cuando se presente la
    multiplicación de tres o más polinomios, la
    operación se desarrolla efectuando el producto de dos
    factores (polinomios) cualquieras; este producto se multiplica
    por el tercer factor (polinomio) y así sucesivamente hasta
    incluirlos a todos en la operación: Ejemplo 1 : Efectuar
    4.(a + 5).(a – 3) Primero multiplico “4 por a +
    5” y el resultado obtenido lo multiplico por “a
    – 3” obteniendo el producto definitivo. Ejemplo 2 :
    Efectuar 3a2.(X + 1).(X – 1) Primero multiplico “3a2
    por X + 1” y el resultado obtenido lo multiplico por
    “X – 1” obteniendo el producto definitivo.
    APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplo 3 : Efectuar 2.(a – 3).(a
    – 1).(a + 4) Primero multiplico “2 por a –
    3”, el resultado obtenido lo multiplico por “a
    – 1” y ese nuevo producto lo multiplico por “a
    + 4” obteniendo el producto definitivo. Ing. José
    Luis Albornoz Salazar – 19 –

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    – 20 –

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    ?MULTIPLICACIÓN COMBINADA CON SUMA Y RESTA : Ejemplo 1 :
    Simplificar (X + 3).(X – 4) + 3.(X – 1).(X + 2) Se
    efectúa la primera multiplicación o producto
    “ (X + 3).(X – 4)”; después la segunda
    multiplicación “3.(X – 1).(X + 2)” y por
    último se suman los dos productos obtenidos. Efectuando el
    primer producto (recordando lo estudiado en Multiplicación
    de Polinomios pág. 14) : (X + 3).(X – 4) = X2
    – X – 12 Efectuando el segundo producto (recordando
    lo estudiado en Producto Continuado de Polinomios pág. 19)
    : 3.(X – 1).(X + 2) = 3X2 + 3X – 6 Sumando los dos
    productos (Suma de Polinomios pág. 4): (X2 – X
    – 12) + (3X2 + 3X – 6) = X2 – X – 12 +
    3X2 + 3X – 6 = 4X2 + 2X – 18 Ejercicios : APUNTES DE
    ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 21

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    ?SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPA- CIÓN CON PRODUCTOS
    INDICADOS : Ejercicio 1 : Simplificar la siguiente
    expresión Un coeficiente colocado junto a un signo de
    agrupación nos indica que hay que multiplicarlo por cada
    uno de los términos encerrados en el signo de
    agrupación. Así en este caso multiplicaremos
    “+2” por ( –X + 1) y tendremos : Ahora
    observamos que antes del corchete aparece un signo negativo, lo
    que nos indica que debemos cambiarle los signos a todos los
    términos que estén dentro de él. Por
    último se reducen los términos semejantes y el
    resultado será : 7. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
    José Luis Albornoz Salazar – 22 –

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    ?DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto,
    dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los
    factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). dividendo
    Lo anterior podemos resumirlo diciendo que : 1) + entre + da + 2)
    – entre – da + 3) + entre – da – 4)
    – entre + da – Ley de los exponentes : Para dividir
    potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone
    de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el
    exponente del divisor. divisor cociente Ejemplos: De esta
    definición se deduce que el cociente multiplicado por el
    divisor reproduce el dividendo. Ley de los coeficientes : El
    coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente
    del dividendo entre el coeficiente del divisor. Ley de los signos
    : La Ley de los signos en la división es la misma que en
    la multiplicación. Signos iguales dan positivo y signos
    diferentes dan negativo. APUNTES DE ÁLGEBRA 3a es el
    cociente porque 3a por 2a = 6a2. Y vemos que el coeficiente del
    cociente 3, es el cociente de dividir 6 entre 2. En otras
    palabras : divido el coeficiente del término del numerador
    (6) entre el coeficiente del término del denominador (2)
    6/2 = 3 A continuación realizo la división de las
    partes literales, siguiendo los pasos mostrados en esta misma
    página en la Ley de los exponentes : a2 / a = a Y
    después se multiplican los dos resultados = = 3a Ing.
    José Luis Albornoz Salazar – 23 –

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    ?DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS : Se divide el coeficiente del
    dividendo (numerador) entre el coeficiente del divisor 4)
    ÷ (denominador) y a continuación se escriben en
    orden alfabético las letras, poniéndole a cada
    letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que
    tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el
    divisor (denominador). El signo lo da la Ley de los signos.
    Ejemplos : 1) (10Xm) ÷ (5Xn) = divisor A
    continuación se escriben en orden alfabético las
    letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la
    diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo
    (numerador) y el exponente que tiene en el divisor (denominador).
    2Xm-n ÷ ÷ ÷ APUNTES DE ÁLGEBRA Se
    divide el coeficiente del dividendo o numerador (10X3Y6) entre el
    coeficiente del divisor o denominador (– 5X2Y4) . El signo
    lo da la Ley de los signos. A continuación se escriben en
    orden alfabético las letras, poniéndole a cada
    letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que
    tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el
    divisor (denominador). – 2(X3-2) (Y6-4) La operación
    quedará expresada : ÷ Ing. José Luis
    Albornoz Salazar – 24 –

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    ?DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO : Se divide cada
    uno de los términos del polinomio por el monomio separando
    los coeficientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley
    Distributiva de la división. Ejemplo 1 : Ejemplo 2 :
    APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
    – 25 –

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    ?DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS : Dividir – 11X2 + X4
    – 18X – 8 entre X + 1 Para facilitar la
    comprensión de los procedimientos recomendados en este
    trabajo, colocaremos a continuación una división de
    dos polinomios donde se identificará cada una de las
    partes que la conforman: Primero se debe ordenar y completar el
    dividendo ( – 11X2 + X4 – 18X – 8 ) con
    relación a una misma letra. En aquellos casos donde falte
    un término se colocará cero para garantizar que el
    polinomio Dividendo X2 – X – 6 – X2 – 3X
    – 4X – 6 4X + 12 6 X+3 X – 4 Divisor
    esté completo. Dividir X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
    – 8 entre X + 1 Se colocan los dos polinomios de manera
    similar a como lo hacemos para realizar la división en
    aritmética: Residuo o Resto Cociente X4 + 0X3 – 11X2
    – 18X – 8 X+1 Se divide el primer término del
    dividendo ( X4 ) entre el primer término del divisor (X) y
    tendremos el primer término del cociente ( X3 ). En las
    divisiones exactas : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8
    X+1 X3 Este primer término del cociente se multiplica por
    todo el divisor y al producto se le cambia el signo, escribiendo
    cada término debajo de su En las divisiones donde el
    residuo es distinto de cero: semejante. X3 por X = X4 y al
    cambiarle el signo queda – X4 y lo coloco debajo del
    dividendo X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 – X4
    X+1 X3 APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz
    Salazar – 26 –

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    X2 X3 X3 – X2 X3 – X2 X+1 X3 X3 – X2 X3 por 1 =
    X3 y al cambiarle el signo queda – X3 y lo coloco debajo
    del dividendo X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1
    – X2 por 1 = –X2 y al cambiarle el signo queda debajo
    del dividendo y lo coloco – X4 – X3 X3 X4 + 0X3
    – 11X2 – 18X – 8 – X4 – X3 X+1 X3
    – X2 – X3 – 11X2 – 18X – 8 Ahora
    efectuamos la operación : X4 + 0X3 – 11X2 –
    18X – 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2
    – 18X – 8 X+1 X3 + X2 Al efectuar la operación
    (restarlo) : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 Se
    divide el primer término del resto ( –X3 ) entre el
    primer término del divisor (X) y tendremos el segundo
    término del cociente ( –X2 ). – X4 – X3
    – X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 –
    10X2 – 18X – 8 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
    – 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
    18X – 8 X+1 Se divide el primer término del resto (
    – 10X2 ) entre el primer término del divisor (X) y
    tendremos el tercer término del cociente ( –10X ).
    Este segundo término del cociente ( –X2 ). se
    multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el
    signo. X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 – X4
    – X3 X3 – X2 – 10X – X2 por X = –X3
    y al cambiarle el signo queda debajo del dividendo y lo coloco
    – X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 –
    10X2 – 18X – 8 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
    – 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
    18X – 8 X3 X+1 Este tercer término del cociente (
    –10X ). se multiplica por todo el divisor y al producto se
    le cambian los signos. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José
    Luis Albornoz Salazar – 27 –

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    0 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 X4 + 0X3
    – 11X2 – 18X – 8 X+1 – X4 – X3 X3
    – X2 – 10X – 8 – X4 – X3 – X3
    – 11X2 X3 + X2 – 10X2 + 10X2 – 18X – 8
    – 18X – 8 + 10X X3 – X2 – 10X – X3
    – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 – 10X2 –
    18X – 8 + 10X2 + 10X – 8X – 8 + 8X + 8 Al
    efectuar la operación (restarlo) : Al efectuar la
    operación (restarlo) : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
    – 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
    18X – 8 X3 + X2 – 10X2 – 18X – 8 + 10X2 +
    10X – 8X – 8 X+1 X3 – X2 – 10X X4 + 0X3
    – 11X2 – 18X – 8 – X4 – X3 –
    X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 – 10X2
    – 18X – 8 + 10X2 + 10X – 8X – 8 X+1 X3
    – X2 – 10X – 8 + 8X + 8 Se divide el primer
    término del resto ( – 8X ) entre el primer
    término del divisor (X) y tendremos el cuarto
    término del cociente ( – 8 ). Como el residuo es
    igual a cero, la división es exacta y el resultado es: X4
    + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 – X4 –
    X3 – X3 – 11X2 X3 + X2 – 18X – 8 X3
    – X2 – 10X – 8 – 10X2 + 10X2 &ndash

    Partes: 1, 2

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