ÁLGEBRA ?EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la
representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas. ÁLGEBRA es la rama de
la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo
más general posible. Ejemplos: a, 5x, , (a+b)c, x2, El
concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más
amplio que en Aritmética. ?TÉRMINO es un conjunto
formado por los cuatro (4) elementos siguientes: En
Aritmética las cantidades se representan por
números y éstos expresan valores determinados.
Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un
valor mayor o menor que éste habrá que escribir un
número distinto de 20. En Álgebra, para lograr la
generalización, las cantidades se representan por medio de
letras, las cuales pueden representar todos los valores.
Así, “a” representa el valor que nosotros le
asignemos, y Coeficiente Signo Exponente Parte literal por lo
tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a
nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en
un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra
no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto
del que le hemos asignado. Los símbolos usados en
Álgebra para representar las cantidades son los
números y las letras. Los números se emplean para
representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se
emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean
conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar
distintos valores diferenciándolos por medio de comillas (
a’, a´´,a’’’) o
también por medio de subíndices ( X1, X2, X3 ). Con
las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden
hacer las mismas operaciones que con los números
aritméticos. APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplos :
–3X2 es un término : tiene signo negativo, el
coeficiente es “3”, la parte literal es
“X” y su exponente es “2”. +2a es un
término : tiene signo positivo, coeficiente
“2”, parte literal “a” y aunque no se
observa ningún exponente se sobre entiende que tiene
exponente “1” (en álgebra a1 = a). 7n5 es un
término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
que es positivo, el coeficiente es “7”, la parte
literal es “n” y su exponente es “5”.
–n3 es un término : tiene signo negativo, aunque no
se observa el coeficiente se sobre entiende que es
“1” (cualquier variable multiplicada por
“1” es igual a dicha variable), la parte literal es
“n” y su exponente es “3”. X es un
término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
que es positivo, aunque no se observa el coeficiente se sobre
entiende que es Ing. José Luis Albornoz Salazar – 1
–
y 1) “1”, la parte literal es “X y aunque no se
observa ningún exponente se sobre entiende que tiene
exponente “1” (recuerde que X1 = X). 5 es un
término : aunque no se observa el signo se sobre entiende
que es positivo, el coeficiente es “5”, no tiene
parte literal (pero pudiera ser cualquier variable elevada a cero
que es igual a “1”). Un término que no tenga
parte literal se denomina “término
independiente”. –5X2Y3 es un término : tiene
signo negativo, el coeficiente es “5” , la parte
literal es “XY”, la letra “X” tiene
exponente “2” y la letra “Y” tiene
exponente “3”. ?TÉRMINOS SEMEJANTES : Dos
términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal y el mismo exponente. Mismo exponente –7X3n5 y
2n5X3 son términos semejantes, todos tienen la misma parte
literal (las letras “X” y “n”) y el mismo
exponente en cada una de las dos letras. No importa que las
letras estén ordenadas de manera distinta, lo importante
es que sean las mismas letras y que cada una tenga el mismo
exponente en ambos términos (X3 = X3 ; n5 = n5).
–6X2 y 8X3 NO son términos semejantes, ambos tienen
parte literal “X” pero el exponente es distinto (X2 ?
X3). 4X2 y –4Y2 NO son términos semejantes, ambos
tienen exponente “2” pero distinta parte literal (X2
? Y2). –7n3Y2 y 2n2Y3 NO son términos semejantes,
porque aunque tienen la misma parte literal (“nY”) el
exponente en cada una de las dos letras es distinto (n3 ? n2 ; Y2
? Y3) . –9X3Y2 y 9X3Y3 NO son términos semejantes,
porque aunque tienen la misma parte literal (“XY”) y
el exponente de la letra “X” es igual, el exponente
de la letra “Y” es distinto (Y2 ? Y3). –3a3b2
5b3a2 NO son términos semejantes, porque aunque tienen la
misma parte literal (“ab”) el exponente en cada una
de las dos letras es distinto (a3 ? a2 ; b2 ? b3). Misma parte
literal Ejemplos : –3X2 y 7X2 son términos
semejantes, ambos tienen parte literal “X” y
exponente “2” (X2 = X2). –5XY ; 8XY y 72XY son
términos semejantes, todos tienen la misma parte literal
(“XY”) y el mismo exponente en cada una de las dos
letras (X = X ; Y = Y) . –7X4Y2 y 2X4Y2 son términos
semejantes, todos tienen la misma parte literal
(“XY”) y el mismo exponente en cada una de las dos
letras (“X” tiene exponente “4” y
“Y” exponente “2”) ; (X4 = X4 ; Y2 = Y2).
APUNTES DE ÁLGEBRA ?REDUCCIÓN DE TÉRMINOS
SEMEJANTES : Cuando en una misma expresión algebraica se
encuentren dos o más términos semejantes se deben
convertir en uno solo que sea equivalente a ellos. Ejemplos : 3X
+ 7X = Notamos que son dos términos semejantes (ambos
tienen parte literal “X” y exponente
“1”). Cuando una expresión algebraica presenta
su primer término sin signo se sobre entiende que tiene
signo positivo. Esto nada más se sobre entiende en el
primer término, en ninguna otra ubicación
más. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 2 –
3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 9X3Y2 2 5 2 5 2 5 – Cuando dos o
más términos semejantes tengan igual signo se
conserva el signo y se suman los coeficientes : 3X + 7X = 10X 2)
–3n –5n = Notamos que son dos términos
semejantes (ambos tienen parte literal “n” y
exponente “1”), también podemos observar que
ambos tienen signo negativo. Cuando dos o más
términos semejantes tengan igual signo se conserva el
signo y se suman los coeficientes : –3n –5n =
–8n 3) 4X Y + 3X Y + 2X Y = 7) –9X n + 2n X = –
7X3n2 8) –3b +5b –9b +2b = Notamos que son cuatro
términos semejantes (todos tienen parte literal
“b” y exponente “1”), también
podemos observar que tienen signos distintos. Cuando sean
más de dos términos semejantes con diferentes
signos, se recomienda primero sumar por separado los del mismo
signo y después proceder como en los ejemplos anteriores.
Sumando los términos con signo positivo : 5b + 2b = 7b
Sumando los términos con signo negativo : – 3b
– 9b = – 12b 4) – 10a b – 4a b – 2a
b = 16a2b5 La expresión quedará como : 7b –
12b = Aplicando el procedimiento indicado en los ejemplos 5, 6 y
7 de 5) –9a +2a = Notamos que son dos términos
semejantes (ambos tienen parte literal “a” y
exponente “1”), también podemos observar que
tienen signos distintos. Cuando dos términos semejantes
tengan signos distintos, se colocará el signo del
coeficiente mayor y se restarán los coeficientes :
–9a +2a = –7a 6) 7X2 – 3X2 = Notamos que son
dos términos semejantes (ambos tienen parte literal
“X” y exponente “2”), también
podemos observar que tienen signos distintos. Aunque el primer
termino (7X2) no presenta ningún signo, se sobre entiende
que tiene signo positivo. Cuando dos términos semejantes
tengan signos distintos, se colocará el signo del
coeficiente mayor y se restarán los coeficientes : 7X2
– 3X2 = 4X2 APUNTES DE ÁLGEBRA esta misma
página tendremos : 7b – 12b = – 5b 9) 5X
–9X +6X = 11X – 9X = 2X 10) 5XY –9XY +6XY + 3YX
– 8YX = 14XY – 17XY = – 3XY 11) Y –3Y +4Y
+ 13Y – 15Y = 18Y – 18Y = 0 12) –3a +5b
–9b +2a = Notamos que son cuatro términos pero no
todos son semejantes (dos tienen parte literal “a” y
exponente “1” y dos tienen parte literal
“b” y exponente “1”) En estos casos se
deben reducir por separado los términos semejantes entre
si. Trabajando con “a” : –3a +2a = –a
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 3 –
y Trabajando con “b” : +5b –9b = –4b
–3a +5b –9b +2a = –a –4b ?MONOMIO : Es
una expresión algebraica que consta de un solo
término. Se dice que un polinomio es completo con
relación a una letra cuando contiene todos los exponentes
sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más
bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el
polinomio x5 + x4 – x3 + x2 -3x es completo respecto de la
“x”, porque contiene todos los exponentes sucesivos
de la “x” desde el más alto “5”,
hasta el más bajo “1”, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el
polinomio a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 es completo
respecto de “a” y “b”. Ejemplos : 3a,
–9b, X2, – 5X3Y5, Polinomio ordenado con respecto a una
letra es un polinomio ?POLINOMIO : Es una expresión
algebraica que consta de más de un término.
Ejemplos : a + b, a+x – y, X3 + 2X2 + X – Y BINOMIO
es un polinomio que consta de dos términos. Ejemplos : a +
b, x – y, en el cual los exponentes de una letra escogida,
van aumentando o disminuyendo. Así, el polinomio x4
– 4×3 + 2×2 – 5x + 8 está ordenado en orden
descendente con relación a la letra “x”; el
polinomio a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 está
ordenado en orden descendente respecto a la letra “a”
y en orden ascendente respecto a la letra “b”. ?SUMA
DE POLINOMIOS : Para sumar dos o más polinomios se
escriben uno a continuación de los otros con sus propios
signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
TRINOMIO es un polinomio que consta de tres términos.
Ejemplo : Sumar –3a +5b –9b +2a Ejemplos : a+b
– c, x – y+6, Se escriben los dos polinomios uno a
continuación del otro conservando los signos : EL GRADO de
un polinomio puede ser absoluto y con relación a una
letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su
término de mayor grado. Así, en el polinomio X4
– 5X3 + X2 – 3X el primer término es de cuarto
grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado,
y el ultimo, de primer grado; luego, el grado absoluto del
polinomio es el cuarto. Grado de un polinomio con relación
a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Así, el polinomio a6 + a4x2 – a2x4 es de sexto grado
con relación a la “a” y de cuarto grado con
relación a la “x”. APUNTES DE ÁLGEBRA
–3a +5b –9b +2a Se reducen por separado los
términos semejantes entre si. Trabajando con
“a” : –3a +2a = –a Trabajando con
“b” : +5b –9b = –4b –3a +5b
–9b +2a = –a –4b En la práctica, suelen
colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los
términos semejantes queden en columnas y se hace la
reducción de éstos, separándolos unos de
otros con sus propios signos. Ing. José Luis Albornoz
Salazar – 4 –
y ; ; 4 y ; ; Ejemplos : 5X3 2X2 + 3X – 2 – 9X + 4 1)
Sumar 4a – 3b – 5c 7b – 9a – 3c 5X3 + 2X2
– 6X + 2 Se coloca uno debajo del otro de manera que los
términos semejantes queden en columnas (“a”
debajo de “a”, “b” debajo de
“b” y “c” debajo de “c”).
Todos los términos conservan sus signos. Resultado : 5X3 +
2X2 – 6X + 2 El segundo polinomio se reordena de manera tal
que las letras 3) Sumar 5X3 + 3X – 2 X4 – 6X2 2X2
– 9X + 7 queden en el mismo orden que en el primer
polinomio: + 4a – 3b – 5c – 9a + 7b – 3c
Posteriormente se reducen los términos semejantes en
sentido vertical. Se colocan uno debajo del otro de manera que
los términos semejantes queden en columnas. Todos los
términos conservan sus signos. Los polinomios deben
ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde
falte un término se dejará el espacio vacío.
+4a – 3b – 5c – 9a + 7b – 3c – 5a +
4b – 8c X4 5X3 – 6X2 2X2 + 3X – 9X – 2 +7
Resultado : – 5a + 4b – 8c Posteriormente se reducen
los términos semejantes en sentido vertical. En la columna
donde haya un solo término se coloca tal como 2) Sumar 5X3
+ 3X – 2 2X2 – 9X + 4 esté. X 5X3 – 6X2
+ 3X – 2 Se coloca uno debajo del otro de manera que los
términos semejantes queden en columnas. Todos los
términos conservan sus signos. 2X2 – 9X + 7 X4 + 5X3
– 4X2 – 6X + 5 Los polinomios deben ordenarse en el
mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un
término se dejará el espacio vacío. 5X3 + 3X
– 2 2X2 – 9X + 4 4) Sumar a3 – b3 – 5a2b
– 4ab2 a3 – 7ab2 – b3 Posteriormente se reducen
los términos semejantes en sentido vertical. En la columna
donde haya un solo término se coloca tal como esté.
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 5 –
; 1) 5) Sumar X3 – XY2 – Y3 ; X3 – 5X2Y –
Y3 2X3 – 4XY2 – 5Y3 Trabajando con “a” :
–3a +2a = –a Trabajando con “b” : +5b
–9b = –4b = –a –4b (–3a +5b)
– (9b –2a) = –3a +5b –9b +2a = –a
–4b En la práctica, suele escribirse el sustraendo
con sus signos 4X3 – 5X2Y – 5XY2 – 7Y3 6) Sumar
X4 – X2Y2 ; – 5X3Y + 6XY3 ; – 4XY3 +Y4 ;
–4X2Y2 – 6 cambiados debajo del minuendo, de modo que
los términos semejantes queden en columnas y se hace la
reducción de éstos, separándolos unos de
otros con sus propios signos. Ejemplo : 5X3 + 3X – 2 menos
–2X2 + 9X –4 Se le cambian los signos al sustraendo
(lo que se va a restar) 2X2 – 9X + 4 ?RESTA DE POLINOMIOS :
Para restar dos polinomios se debe escribir el minuendo con sus
propios signos y a continuación el sustraendo con los
signos cambiados y se reducen los términos semejantes si
los hay. Se coloca debajo del minuendo (al que se le va a restar)
de manera que los términos semejantes queden en columnas.
Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o
descendente) y donde falte un término se dejará el
espacio vacío. 5X3 + 3X – 2 2X2 – 9X + 4
minuendo sustraendo m – s = d diferencia Posteriormente se
reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la
columna donde haya un solo término se coloca tal como
esté. 5X3 + 3X – 2 2X2 – 9X + 4 5X3 + 2X2
– 6X + 2 Ejemplo : De –3a +5b restar 9b –2a Se
escribe el minuendo (al que se le va a restar) con sus propios
signos y a continuación el sustraendo (lo que se va a
restar) con los signos cambiados : –3a +5b –9b +2a Se
reducen por separado los términos semejantes entre
sí. APUNTES DE ÁLGEBRA Resultado : 5X3 + 2X2
– 6X + 2 Es bueno aclarar que en la resta de polinomios se
aplican los mismos criterios que en la suma de polinomios una vez
que se le cambien los signos al sustraendo (lo que se va a
restar). Ing. José Luis Albornoz Salazar – 6 –
Lo importante entonces es identificar el sustraendo (lo que se va
a restar) y cambiarle todos los signos, no importa la forma como
se plantee el ejercicio. Ejercicios : 1) De a + b restar a
– b 2) De 2X – 3Y restar – X + 2Y 3) De 8a + b
restar – 3a + 4 4) De X2 – 3X restar – 5X + 6
Respuestas: ?SIGNOS DE AGRUPACIÓN : Los signos de
agrupación son de cuatro (4) clases : el paréntesis
( ), el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra
— (el último es muy poco usado). Los signos de
agrupación se emplean para indicar que las cantidades
encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como
una sola cantidad. Así, X + (Y – Z), que equivale a
X + (+Y – Z), indica que la diferencia Y – Z debe
sumarse con X, y ya sabemos que para efectuar esta suma
escribimos a continuación de X las demás cantidades
con su propio signo y tendremos : X + (Y – Z) = X + Y
– Z La expresión X+(–2Y+Z) indica que a X hay
que sumarle – 2Y + Z; luego, a continuación de X,
escribimos – 2Y + Z con sus propios signos y tendremos : X
+ (– 2Y + Z) = X – 2Y + Z Vemos, pues, que hemos
suprimido el paréntesis precedido del signo +, dejando a
cada una de las cantidades que estaban dentro de él con
sus propios signos. 5) Restar 6) Restar 7) Restar 7a2b + 9ab2 X
– Y+ Z – X – Y+ Z de a3 – a2b de X
– Y + Z de X + Y – Z La expresión X – (Y
+ Z), que equivale a X – (+Y + Z), indica que de X hay que
restar la suma Y + Z y como para restar escribimos el sustraendo
con los signos cambiados a continuación del minuendo,
tendremos: X – (Y + Z), = X – Y – Z La
expresión X – (– Y + Z),indica que de X hay
que restar – Y + Z; luego cambiando los signos al
sustraendo tendremos: Respuestas: APUNTES DE ÁLGEBRA X
– (– Y + Z), = X + Y – Z Vemos pues, que hemos
suprimido el paréntesis precedido del signo –,
cambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban
encerradas en el paréntesis. El corchete [ ], las llaves {
} y el vínculo o barra —, tienen la misma
significación que el paréntesis y se suprimen del
mismo modo. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 7 –
= 2a Ejercicios : Simplificar, suprimiendo los signos de
agrupación y reduciendo términos semejantes: Cuando
unos signos de incluidos dentro de otros : agrupación
están 1) Simplificar la expresión : Primero suprimo
(elimino) el signo de agrupación que esté incluido
dentro de otro (los más interiores), en este caso se puede
observar que existe un paréntesis dentro de un corchete.
Como el paréntesis está precedido de un signo
negativo, se cambian los signos de los términos que
estén dentro de él : Posteriormente se procede a
suprimir el otro signo de agrupación (corchete): Como el
corchete está precedido por un signo positivo, no se
alteran los signos de los términos que estén dentro
de los referidos corchetes Una vez que no hayan signos de
agrupación se reducen los términos semejantes : 11.
a+a – b + – a+b (vínculo o barra) = a + a
– b – a + b = 2a – a = a Trabajando con las
“a” : + 2a + a – a 12. a – a – b
– – a – b (vínculo o barra) Trabajando
con las “b” : – b = – b = a – a + b
+ a + b = 2a – a + 2b = a + 2b APUNTES DE ÁLGEBRA El
resultado es : 2a – b Ing. José Luis Albornoz
Salazar – 8 –
= 2) Simplificar la expresión: – [ – 3a
– { b + [ – a + ( 2a – b) – ( – a +
b ) ] + 3b } + 4a ] Empezando por los más interiores que
son los paréntesis ; si el signo anterior al
paréntesis es positivo, le dejo los signos iguales a los
que estén dentro del paréntesis ; si el signo
anterior al paréntesis es negativo, le cambio los signos a
los que estén dentro del paréntesis : – [
– 3a – { b + [ – a + 2a – b + a – b
] + 3b } + 4a ] Después el corchete que está entre
las llaves ( como en este caso el corchete está precedido
por un signo positivo se mantienen los signos iguales) : –
[ – 3a – { b – a + 2a – b + a – b +
3b } + 4a ] Después las llaves que están dentro de
los corchetes ( como en este caso las llaves están
precedidas por un signo negativo, se cambian todos los signos que
estén dentro de ellas) : – [ – 3a – b +
a – 2a + b – a + b – 3b + 4a ] Por
último se suprimen los corchetes exteriores, y como en
este caso está precedido por un signo negativo, se le
cambiarán todos los signos que están dentro de
él : + 3a + b – a + 2a – b + a – b + 3b
– 4a Una vez que no hayan signos de agrupación se
reducen los términos semejantes : 3) Simplificar la
expresión: 4) Simplificar la expresión: 5)
Simplificar la expresión: 6) Simplificar la
expresión: Trabajando con las “a” : + 3a
– a + 2a + a – 4a 6a – 5a = a Trabajando con
las “b” : + b – b – b + 3b = 4b –
2b = 2b El resultado es : a + 2b APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 9 –
= x ?MULTIPLICACIÓN : La multiplicación es una
operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades
llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera
cantidad, llamada producto. Así, en el producto abcd,
tenemos: abcd = a(bcd) (ab)(cd) = (abc)d (Ley Asociativa de la
multiplicación). Ley de los signos : multiplicando
multiplicador a b = c producto 1) (+ a).(+ b) = + ab 2) (–
a).(– b) = + ab 3) (+ a).(– b) = – ab 4)
(– a).(+ b) = – ab Lo anterior podemos resumirlo
diciendo que : El multiplicando y el multiplicador son llamados
factores del producto. En nuestras clases de aritmética
nos enseñaron que esta operación es representada a
través del signo “x” (por). En álgebra
para evitar confusiones (por utilizar la “x” como una
variable o incógnita) se ha convenido representarla de
otras maneras : Es así cómo la operación
“ a por b” puede ser indicada de alguna de las
siguientes maneras : 1) a.b 2) ab 3) a*b 4) (a).(b) 5) (a)(b) En
álgebra para evitar confusiones en la
multiplicación de cantidades conocidas (números) se
acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis.
Así, la multiplicación “12 por 20”
suele indicarse como (12)*(20) o como (12).(20) o como (12)(20)
El orden de los factores no altera el producto. Así, el
producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse
también bac o acb (Ley Conmutativa de la
multiplicación) Los factores de un producto pueden
agruparse de cualquier modo. APUNTES DE ÁLGEBRA 1) + por +
da + 2) – por – da + 3) + por – da – 4)
– por + da – El signo del producto de varios factores
es positivo cuando tiene un número par de factores
negativos o ninguno : (– a).(– b).(–
c).(– d) = abcd (+ a).(+ b).(+ c).(+ d) = abcd El signo del
producto de varios factores es negativo cuando tiene un
número impar de factores negativos : (– a).(–
b).(– c) = – abc Ley de los exponentes : Para
multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y
se le pone por exponente la suma de los exponentes de los
factores. Ejemplos: 1) (Xm) (Xn) = Xm+n 2) (XmYn) (XsYt) = Xm+s
Yn+t 3) (X2) (X) = X2+1 = X3 4) (X2Y2) (XY3) = (X2+1) (Y2+3) =
X3Y5 Ley de los coeficientes : El coeficiente del producto de dos
factores es el producto de los coeficientes de los factores.
(3a).(4b) = 12ab Ing. José Luis Albornoz Salazar – 10
–
?MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS : Se multiplican los
coeficientes y a continuación de este producto se escriben
las letras de los factores en orden alfabético,
poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de
los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto
vendrá dado por la Ley de los signos. Ejemplo 1 :
Multiplicar 3a por – 4b Primero se multiplican los
coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos : (3).(–4)
= –12 A continuación se escriben las letras en orden
alfabético : –12ab (3a).(–4b) = –12ab
Ejemplo 2 : Multiplicar 2b2 por 3b3 A continuación de este
producto se escriben las letras de los factores en orden
alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
–20 (X2+1) (Y2+3) (–4X2Y2) (5XY3) = –20 (X2+1)
(Y2+3) = –20 X3Y5 Ejemplo 6 : Multiplicar 3a por – 4b
por 2c Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la
Ley de los signos : (3).(–4).(2) = –24 A
continuación se escriben las letras en orden
alfabético : –24abc (3a).(–4b) .(2c) = –
24abc Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la
Ley de Ejemplo 7 : Multiplicar – 4X2Y2 por 5XY3 por –
XYZ los signos : (2).(3) = 6 A continuación de este
producto se escriben las letras de los factores en orden
alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
6(b2+3) = 6b5 ( 2b2 ) ( 3b3 ) = (2)(3)(b2+3) = 6b5 Primero se
multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
: (–4).(5).(–1) = 20 A continuación de este
producto se escriben las letras de los factores en orden
alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores :
20(X2+1+1) (Y2+3+1)Z (–4X2Y2) (5XY3) (–XYZ) = 20
(X2+1+1) (Y2+3+1)Z = 20 X4Y6Z Ejemplo 3 : Multiplicar 2b por
–3b ( 2b ) ( –3b ) = (2)(–3)(b1+1) = –
6b2 Ejemplo 8 : Multiplicar – 4XY2Z por –5XY2 por
– 2XYZ Ejemplo 4 : Multiplicar –2b2 por –3b3 (
–2b2 ) ( –3b3 ) = (–2)(–3)(b2+3) = + 6b5
Ejemplo 5 : Multiplicar – 4X2Y2 por 5XY3 Primero se
multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
: (–4).(5) = –20 APUNTES DE ÁLGEBRA Primero se
multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
: (–4).(–5).(–2) = –40 A
continuación de este producto se escriben las letras de
los factores en orden alfabético, poniéndole a cada
letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en
los factores : –40(X1+1+1) (Y2+2+1) (Z1+1) (–4XY2Z)
(–5XY2) (–2XYZ) = –40 (X1+1+1) (Y2+2+1) (Z1+1)
= –40 X3Y5Z2 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 11
–
2m+n+m+1 Ejemplo 9 : Multiplicar – 2X2m+nYn-1 por 3Xm+1Yn
Ejemplo 2 : Multiplicar 3X2 –2X + 5 por 2X2 Primero se
multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos
: (–2).(3) = –6 A continuación de este
producto se escriben las letras de los factores en orden
alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de La multiplicación se indica como :
(2X2).( 3X2 –2X + 5) = Se multiplica el monomio (2X2) por
cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta
en cada caso la regla de los signos: los exponentes que tenga en
los factores : –6(X ) (Yn–1+n) (2X2).( 3X2 –2X
+ 5) = 6X2+2 (–2X2m+nYn-1) (3Xm+1Yn) = –6(X2m+n+m+1)
(Yn–1+n) (2X2).( 3X2 –2X + 5) = 6X4 – 4X2+1 =
–6 X3m+n+1Y2n–1 (2X2).( 3X2 –2X + 5) = 6X4
– 4X3 + 10X2 ?MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR
MONOMIOS : Se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la
regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus
propios signos (Ley Distributiva de la multiplicación).
Ejemplo 1 : Multiplicar 2b por 3X2 –2X + 5 (2X2).( 3X2
–2X + 5) = 6X4 – 4X3 + 10X2 La ecuación
también puede disponerse en forma similar a lo aprendido
en nuestras clases de aritmética : La
multiplicación se indica como : (2b).( 3X2 –2X + 5)
= Se multiplica el monomio (2b) por cada uno de los
términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la
regla de los signos: 3X2 2X2 –2X +5 A continuación
multiplicamos el monomio (2X2) por cada uno de los (2b).( 3X2
–2X + 5) = 6bX2 términos del polinomio, teniendo en
cuenta en cada caso la regla de los signos y colocando el
resultado en la parte de abajo. (2b).( 3X2 –2X + 5) = 6bX2
– 4bX 3X2 –2X +5 2X2 (2b).( 3X2 –2X + 5) = 6bX2
– 4bX + 10b 6X4 – 4X3 + 10X2 (2b).( 3X2 –2X +
5) = 6bX2 – 4bX + 10b APUNTES DE ÁLGEBRA Por
cualquiera de los dos métodos el resultado será el
mismo. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 12 –
Ejercicios : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis
Albornoz Salazar – 13 –
2 ?MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS : Se multiplican todos los
términos del multiplicando por cada uno de los X X +3
–2 términos del multiplicador, teniendo en cuenta la
Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo 1 : Multiplicar X + 3 por X – 2 La
multiplicación se indica como : (X + 3).( X – 2) =
Se multiplican todos los términos del multiplicando por
cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en
cuenta la Ley de los signos (X + 3).( X –2) = X2 (X + 3).(
X –2) = X2 –2X (X + 3).( X –2) = X2 –2X +
3X Primero se multiplica el primer término del
multiplicador (X) por los dos términos del multiplicando
(X+3) : X +3 X –2 X2 +3X Posteriormente se multiplica el
segundo término del multiplicador (–2) por los dos
términos del multiplicando (X+3), escribiendo los
productos parciales de modo que los términos semejantes
queden en columna : X +3 X –2 X2 +3X –2X –6 Por
último se reducen los términos semejantes : X +3 X
–2 (X + 3).( X –2) = X2 –2X + 3X – 6 X2
+3X –2X X +X –6 –6 Una vez efectuada la
operación se reducen los términos semejantes del
polinomio resultante (producto) : (X + 3).( X –2) = X2
–2X + 3X – 6 = X2 + X – 6 La operación
también puede disponerse en forma similar a lo aprendido
en la multiplicación de un polinomio por un monomio
(pág. 12).: Los dos factores deben ordenarse con
relación a una misma letra y colocarse uno debajo del
otro: APUNTES DE ÁLGEBRA El resultado es el mismo que con
el método anterior. Ejemplo 1 : Multiplicar 2X + 3 por 3X2
–2 La multiplicación se indica como : (2X + 3).( 3X2
– 2) = Se multiplican todos los términos del
multiplicando por cada uno de los términos del
multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos (2X + 3).(
3X2 –2) = 6X3 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 14
–
(2X + 3).( 3X2 –2) = 6X3 – 4X (2X + 3).( 3X2
–2) = 6X3 – 4X + 9X2 (2X + 3).( 3X2 –2) = 6X3
– 4X + 9X2 – 6 Una vez efectuada la operación
se debe ordenar el polinomio resultante (producto) : (2X + 3).(
3X2 –2) = 6X3 – 4X + 9X2 – 6 = 6X3 + 9X2
– 4X – 6 Ejercicios : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 15 –
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 16 –
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 17 –
Ejercicios con exponentes literales : APUNTES DE ÁLGEBRA
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 18 –
?PRODUCTO CONTINUADO DE POLINO- MIOS : Cuando se presente la
multiplicación de tres o más polinomios, la
operación se desarrolla efectuando el producto de dos
factores (polinomios) cualquieras; este producto se multiplica
por el tercer factor (polinomio) y así sucesivamente hasta
incluirlos a todos en la operación: Ejemplo 1 : Efectuar
4.(a + 5).(a – 3) Primero multiplico “4 por a +
5” y el resultado obtenido lo multiplico por “a
– 3” obteniendo el producto definitivo. Ejemplo 2 :
Efectuar 3a2.(X + 1).(X – 1) Primero multiplico “3a2
por X + 1” y el resultado obtenido lo multiplico por
“X – 1” obteniendo el producto definitivo.
APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplo 3 : Efectuar 2.(a – 3).(a
– 1).(a + 4) Primero multiplico “2 por a –
3”, el resultado obtenido lo multiplico por “a
– 1” y ese nuevo producto lo multiplico por “a
+ 4” obteniendo el producto definitivo. Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 19 –
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 20 –
?MULTIPLICACIÓN COMBINADA CON SUMA Y RESTA : Ejemplo 1 :
Simplificar (X + 3).(X – 4) + 3.(X – 1).(X + 2) Se
efectúa la primera multiplicación o producto
“ (X + 3).(X – 4)”; después la segunda
multiplicación “3.(X – 1).(X + 2)” y por
último se suman los dos productos obtenidos. Efectuando el
primer producto (recordando lo estudiado en Multiplicación
de Polinomios pág. 14) : (X + 3).(X – 4) = X2
– X – 12 Efectuando el segundo producto (recordando
lo estudiado en Producto Continuado de Polinomios pág. 19)
: 3.(X – 1).(X + 2) = 3X2 + 3X – 6 Sumando los dos
productos (Suma de Polinomios pág. 4): (X2 – X
– 12) + (3X2 + 3X – 6) = X2 – X – 12 +
3X2 + 3X – 6 = 4X2 + 2X – 18 Ejercicios : APUNTES DE
ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 21
–
?SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPA- CIÓN CON PRODUCTOS
INDICADOS : Ejercicio 1 : Simplificar la siguiente
expresión Un coeficiente colocado junto a un signo de
agrupación nos indica que hay que multiplicarlo por cada
uno de los términos encerrados en el signo de
agrupación. Así en este caso multiplicaremos
“+2” por ( –X + 1) y tendremos : Ahora
observamos que antes del corchete aparece un signo negativo, lo
que nos indica que debemos cambiarle los signos a todos los
términos que estén dentro de él. Por
último se reducen los términos semejantes y el
resultado será : 7. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 22 –
?DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto,
dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los
factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). dividendo
Lo anterior podemos resumirlo diciendo que : 1) + entre + da + 2)
– entre – da + 3) + entre – da – 4)
– entre + da – Ley de los exponentes : Para dividir
potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone
de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor. divisor cociente Ejemplos: De esta
definición se deduce que el cociente multiplicado por el
divisor reproduce el dividendo. Ley de los coeficientes : El
coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente
del dividendo entre el coeficiente del divisor. Ley de los signos
: La Ley de los signos en la división es la misma que en
la multiplicación. Signos iguales dan positivo y signos
diferentes dan negativo. APUNTES DE ÁLGEBRA 3a es el
cociente porque 3a por 2a = 6a2. Y vemos que el coeficiente del
cociente 3, es el cociente de dividir 6 entre 2. En otras
palabras : divido el coeficiente del término del numerador
(6) entre el coeficiente del término del denominador (2)
6/2 = 3 A continuación realizo la división de las
partes literales, siguiendo los pasos mostrados en esta misma
página en la Ley de los exponentes : a2 / a = a Y
después se multiplican los dos resultados = = 3a Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 23 –
?DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS : Se divide el coeficiente del
dividendo (numerador) entre el coeficiente del divisor 4)
÷ (denominador) y a continuación se escriben en
orden alfabético las letras, poniéndole a cada
letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que
tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el
divisor (denominador). El signo lo da la Ley de los signos.
Ejemplos : 1) (10Xm) ÷ (5Xn) = divisor A
continuación se escriben en orden alfabético las
letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la
diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo
(numerador) y el exponente que tiene en el divisor (denominador).
2Xm-n ÷ ÷ ÷ APUNTES DE ÁLGEBRA Se
divide el coeficiente del dividendo o numerador (10X3Y6) entre el
coeficiente del divisor o denominador (– 5X2Y4) . El signo
lo da la Ley de los signos. A continuación se escriben en
orden alfabético las letras, poniéndole a cada
letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que
tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el
divisor (denominador). – 2(X3-2) (Y6-4) La operación
quedará expresada : ÷ Ing. José Luis
Albornoz Salazar – 24 –
?DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO : Se divide cada
uno de los términos del polinomio por el monomio separando
los coeficientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley
Distributiva de la división. Ejemplo 1 : Ejemplo 2 :
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 25 –
?DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS : Dividir – 11X2 + X4
– 18X – 8 entre X + 1 Para facilitar la
comprensión de los procedimientos recomendados en este
trabajo, colocaremos a continuación una división de
dos polinomios donde se identificará cada una de las
partes que la conforman: Primero se debe ordenar y completar el
dividendo ( – 11X2 + X4 – 18X – 8 ) con
relación a una misma letra. En aquellos casos donde falte
un término se colocará cero para garantizar que el
polinomio Dividendo X2 – X – 6 – X2 – 3X
– 4X – 6 4X + 12 6 X+3 X – 4 Divisor
esté completo. Dividir X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
– 8 entre X + 1 Se colocan los dos polinomios de manera
similar a como lo hacemos para realizar la división en
aritmética: Residuo o Resto Cociente X4 + 0X3 – 11X2
– 18X – 8 X+1 Se divide el primer término del
dividendo ( X4 ) entre el primer término del divisor (X) y
tendremos el primer término del cociente ( X3 ). En las
divisiones exactas : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8
X+1 X3 Este primer término del cociente se multiplica por
todo el divisor y al producto se le cambia el signo, escribiendo
cada término debajo de su En las divisiones donde el
residuo es distinto de cero: semejante. X3 por X = X4 y al
cambiarle el signo queda – X4 y lo coloco debajo del
dividendo X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 – X4
X+1 X3 APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz
Salazar – 26 –
X2 X3 X3 – X2 X3 – X2 X+1 X3 X3 – X2 X3 por 1 =
X3 y al cambiarle el signo queda – X3 y lo coloco debajo
del dividendo X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1
– X2 por 1 = –X2 y al cambiarle el signo queda debajo
del dividendo y lo coloco – X4 – X3 X3 X4 + 0X3
– 11X2 – 18X – 8 – X4 – X3 X+1 X3
– X2 – X3 – 11X2 – 18X – 8 Ahora
efectuamos la operación : X4 + 0X3 – 11X2 –
18X – 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2
– 18X – 8 X+1 X3 + X2 Al efectuar la operación
(restarlo) : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 Se
divide el primer término del resto ( –X3 ) entre el
primer término del divisor (X) y tendremos el segundo
término del cociente ( –X2 ). – X4 – X3
– X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 –
10X2 – 18X – 8 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
– 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
18X – 8 X+1 Se divide el primer término del resto (
– 10X2 ) entre el primer término del divisor (X) y
tendremos el tercer término del cociente ( –10X ).
Este segundo término del cociente ( –X2 ). se
multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el
signo. X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 – X4
– X3 X3 – X2 – 10X – X2 por X = –X3
y al cambiarle el signo queda debajo del dividendo y lo coloco
– X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 –
10X2 – 18X – 8 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
– 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
18X – 8 X3 X+1 Este tercer término del cociente (
–10X ). se multiplica por todo el divisor y al producto se
le cambian los signos. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 27 –
0 X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 X4 + 0X3
– 11X2 – 18X – 8 X+1 – X4 – X3 X3
– X2 – 10X – 8 – X4 – X3 – X3
– 11X2 X3 + X2 – 10X2 + 10X2 – 18X – 8
– 18X – 8 + 10X X3 – X2 – 10X – X3
– 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 – 10X2 –
18X – 8 + 10X2 + 10X – 8X – 8 + 8X + 8 Al
efectuar la operación (restarlo) : Al efectuar la
operación (restarlo) : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
– 8 – X4 – X3 – X3 – 11X2 –
18X – 8 X3 + X2 – 10X2 – 18X – 8 + 10X2 +
10X – 8X – 8 X+1 X3 – X2 – 10X X4 + 0X3
– 11X2 – 18X – 8 – X4 – X3 –
X3 – 11X2 – 18X – 8 X3 + X2 – 10X2
– 18X – 8 + 10X2 + 10X – 8X – 8 X+1 X3
– X2 – 10X – 8 + 8X + 8 Se divide el primer
término del resto ( – 8X ) entre el primer
término del divisor (X) y tendremos el cuarto
término del cociente ( – 8 ). Como el residuo es
igual a cero, la división es exacta y el resultado es: X4
+ 0X3 – 11X2 – 18X – 8 X+1 – X4 –
X3 – X3 – 11X2 X3 + X2 – 18X – 8 X3
– X2 – 10X – 8 – 10X2 + 10X2 &ndash
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