; 18X
– 8 + 10X – 8X – 8 EJEMPLO: Dividir 3X2 + 2X
– 8 entre X + 2 Se colocan los dos polinomios de manera
similar a como lo hacemos para realizar la división en
aritmética: Este cuarto término del cociente (
– 8 ). se multiplica por todo el divisor y al producto se
le cambian los signos. APUNTES DE ÁLGEBRA Se divide el
primer término del dividendo (3X2) entre el primer
término del divisor (X) y tendremos el primer
término del cociente. Ing. José Luis Albornoz
Salazar – 28 –
3X2 + 2X – 8 X+2 Ejercicios : 3X Este primer término
del cociente se multiplica por todo el divisor y al producto se
le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su
semejante y se efectúa la operación : 3X2 + 2X
– 8 – 3X2 – 6X X+2 3X – 4X – 8 Se
divide el primer término del resto (– 4X) entre el
primer término del divisor (X) y tendremos el segundo
término del cociente. 3X2 + 2X – 8 – 3X2
– 6X X+2 3X – 4 – 4X – 8 Este segundo
término del cociente (– 4) se multiplica por todo el
divisor y al producto se le cambian los signos y se
efectúa la operación : 3X2 + 2X – 8 –
3X2 – 6X X+2 3X – 4 – 4X – 8 4X + 8 0
Como el residuo es igual a cero, la división es exacta y
el resultado es: 3X2 + 2X – 8 entre X + 2 = 3X – 4
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 29 –
Mas Ejercicios : NOTA IMPORTANTE: En la división de
polinomios, el exponente del término de mayor grado del
cociente es igual a la diferencia del exponente del
término de mayor grado del dividendo menos el exponente
del término de mayor grado del divisor. APUNTES DE
ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 30
–
COCIENTE MIXTO En los casos de división estudiados
anteriormente el dividendo era divisible exactamente por el
divisor (el residuo final era igual a cero). Cuando el dividendo
no es divisible exactamente por el divisor, la división no
es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos,
así llamados porque constan de entero y quebrado. En las
divisiones donde el residuo es distinto de cero: EJEMPLO: Dividir
X2 – X – 6 entre X + 3 APUNTES DE ÁLGEBRA Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 31 –
1 1 ?DIVISIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO Se copia el primer
coeficiente del dividendo debajo de él mismo : LA REGLA DE
RUFFINI : Esta regla solo puede ser utilizada cuando el divisor
es un binomio del tipo (X + a) o del tipo (X – a). X4 1
– 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12
– 12 Ejemplo 1 : Dividir X4 – 4X3 – X2 + 16X
– 12 entre X – 1 Para aplicar la REGLA DE RUFFINI en
la división de dos polinomios se deben seguir los
siguientes pasos : Primero los polinomios deben estar ordenados
en forma descendente (decreciente). Cuando sea necesario se debe
completar el dividendo. Se multiplica la raíz con el
primer coeficiente que se bajó y el producto se copia
debajo del segundo coeficiente : Luego se copian los coeficientes
del polinomio “dividendo” en una tabla similar a la
siguiente: X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X
16 – 12 – 12 X4 – 4X3 – X2 + 16X –
12 1 1 1 1 – 4 – 1 16 – 12 Luego se
efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas
en la columna donde se colocó el producto: Se coloca el
segundo término del divisor en la parte izquierda pero con
el signo cambiado (X – 1 ). Este valor recibe el nombre de
raíz del polinomio : X4 – 4X3 – X2 + 16X
– 12 X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 1 – 4
– 1 16 – 12 1 – 4 – 1 16 – 12 1 1 1
1 – 3 Se multiplica la raíz por el resultado de la
suma algebraica realizada y este producto se copia debajo del
tercer coeficiente : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 32 –
X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 –
12 – 12 X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 +
16X 16 – 12 – 12 1 1 1 – 3 – 3 1 1 1
– 3 – 3 – 4 – 4 12 Se multiplica la
raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y
Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades
ubicadas en la columna donde se colocó el producto: este
producto se copia debajo del quinto coeficiente : X4 – 4X3
– X2 + 16X – 12 X4 1 – 4X3 – 4 – X2
– 1 + 16X 16 – 12 – 12 1 1 – 4 1 –
1 – 3 16 – 4 – 12 12 1 1 – 3 1 – 3
– 4 12 1 – 3 – 4 Luego se efectúa la
suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna
donde se colocó el producto: Se multiplica la raíz
por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto
se copia debajo del cuarto coeficiente : X4 1 – 4X3 –
4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 X4 –
4X3 – X2 + 16X – 12 1 1 1 – 3 – 3 –
4 – 4 12 12 0 1 1 1 – 4 1 – 3 – 1 –
3 – 4 16 – 4 – 12 Como el resultado final es
cero ( 0 ), esto nos indica que la división es exacta (no
hay resto), La información que queda en la última
fila representa el polinomio “cociente” (el resultado
de dividir X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 entre X
– 1) Luego se efectúa la suma algebraica de las dos
cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el
producto: APUNTES DE ÁLGEBRA Para llegar a esa
deducción debo tener presente que en la división de
polinomios, el exponente del término de mayor grado del
cociente es igual Ing. José Luis Albornoz Salazar – 33
–
X2 a la diferencia del exponente del término de mayor
grado del dividendo (X4) menos el exponente del término de
mayor grado del divisor (X). Ejemplo 3 : Dividir X3 – 3X2
– 4X + 12 entre X – 1 X4 – 4X3 – X2 + 16X
– 12 Recuerde que hay que cambiarle el signo a 1 – 4
– 1 16 – 12 X 3 – 3X2 – 4X + 12 1 1 1
– 3 – 3 – 4 – 4 12 12 0 1 1 – 3 1
– 4 – 2 12 – 6 1 – 2 – 6 6 Con esta
información se deduce que : (X4 – 4X3 – X2 +
16X – 12) ÷ ( X – 1) = X3 – 3X2 –
4X + 12 Ejemplo 2 : Dividir X4 – 11X2 – 18X – 8
entre X + 1 Para aplicar la REGLA DE RUFFINI en aquellos
polinomios donde falta un término debemos colocar el mismo
acompañado del coeficiente cero (Completar el dividendo).
Como el resultado final es distinto de cero (6 en este caso),
significa que la división no es exacta. Este 6 representa
el residuo de la división. Con esta información se
deduce que el cociente de dicha división es – 2X
– 6 y el resto o residuo es 6. Ejemplo 4 : Dividir X3
– 3X2 – 4X + 12 entre X + 1 Recuerde que hay que
cambiarle el signo a En este caso en particular notamos que el
dividendo no tiene el termino de grado tres, se conformará
de la siguiente manera : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X
– 8 – 1 X 3 1 1 – 3X2 – 3 – 1
– 4 – 4X – 4 4 0 + 12 12 0 12 Como el resultado
final es distinto de cero (12 en este caso), significa que la
división no es exacta. Este 12 representa el residuo de la
división. Con esta información se deduce que el
cociente de dicha división es (X4 – 11X2 – 18X
– 8) ÷ ( X + 1) = X3 – X2 – 10X –
8 X2 – 4X y el resto o residuo es 12. APUNTES DE
ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 34
–
?PRODUCTOS NOTABLES : Se llama productos notables a ciertos
productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir, sin realizar la
multiplicación. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES : El
cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad más el doble producto de la primera
cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda
cantidad. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para comprobar el enunciado
anterior resolveremos este ejercicio “paso a paso” :
(a + b)2 = elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este
binomio por si mismo = (a + b). (a + b) Efectuando la
multiplicación (recordando lo indicado en
Multiplicación de Polinomios pág. 14) tendremos :
Ejemplos : a +b a +b a2 +ab +ab a2 + 2ab +b2 +b2 CUADRADO DE LA
DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES : El cuadrado de la diferencia de
dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos
el doble producto de la primera cantidad por la segunda
más el cuadrado de la segunda cantidad. (a – b)2 =
a2 – 2ab + b2 Para comprobar el enunciado anterior
resolveremos este ejercicio “paso a paso” : (a
– b)2 = elevar al cuadrado (a – b) equivale a
multiplicar este binomio por si mismo = (a – b). (a –
b) Efectuando la multiplicación (recordando lo indicado en
Multiplicación de Polinomios pág. 14) tendremos :
APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 35 –
Ejemplos : a a a2 a2 – b – b –ab –ab
– 2ab +b2 +b2 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS
CANTIDADES : La suma de dos cantidades multiplicada por su
diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia)
menos el cuadrado del sustraendo. Generalmente acostumbramos a
definirlo como : El cuadrado del primero menos el cuadrado del
segundo. (a + b).(a – b) = a2 – b2 Para comprobar el
enunciado anterior efectuaremos la multiplicación
(recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios
pág. 14) : a +b a – b a2 +ab –ab –b2
APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplos : a2 0 –b2 Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 36 –
CUBO DE UN BINOMIO (CUANDO EL BINOMIO ES LA SUMA DE DOS
CANTIDADES) : El cubo de la suma de dos cantidades es igual al
cubo de la primera cantidad más el triple producto del
cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente,
más el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad
por la primera sin exponente, más el cubo de la segunda
cantidad. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = elevar al
cubo (a + b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo dos
veces = (a + b) . (a + b) . (a + b) Efectúe la
multiplicación recordando lo indicado en Producto
Continuado de Polinomios pág. 19 y notará que el
resultado será = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 CUBO DE UN BINOMIO
(CUANDO EL BINOMIO ES LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES) : El cubo
de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad menos el triple producto del cuadrado de la primera
cantidad por la segunda sin exponente, más el triple
producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin
exponente, menos el cubo de la segunda cantidad. (a – b)3 =
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = elevar al cubo
(a – b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo
dos veces = (a – b) . (a – b) . (a – b)
Efectúe la multiplicación recordando lo indicado en
Producto Continuado de Polinomios pág. 19 y notará
que el resultado será = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplos : APUNTES DE ÁLGEBRA PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE
LA FORMA (X + a).(X + b) : Estos productos cumplen las siguientes
reglas: 1) El primer término del producto es el producto
de los primeros términos de los binomios (primer
término elevado al cuadrado). 2) El coeficiente del
segundo término del producto es la suma algébrica
de los segundos términos de los binomios y se
acompañará del primer termino de los dos binomios
(X). 3) El tercer término del producto es el producto de
los segundos términos de los binomios (multiplicar los
segundos términos de los dos binomios). El signo lo da la
Ley de los signos : Ejemplo: (X + 3).(X + 2) = X2 + 5X + 6 A
continuación realizaremos la multiplicación de
estos dos binomios para verificar lo anterior. Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 37 –
X2 ; ; Ejemplos : X X X2 +3 +2 +3X +2X +6 +5 X +6 ?ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA : IGUALDAD es la
expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas
tienen el mismo valor. Ejemplos : 4 + 5 = 9 ; a = b +c 3X2 = 4X +
15 ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o varias
cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que
sólo se verifica o es verdadera para determinados valores
de las incógnitas. Así, 5X + 2 = 17 es una
ecuación, porque es una igualdad en la que hay una
incógnita, la “X”, y esta igualdad sólo
se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor “X
= 3”. En efecto, si sustituimos la “X” por
“3”, tenemos : 5(3) + 2 = 17 15 + 2 = 17, o sea : 17
= 17 Si le damos a “X” un valor distinto de
“3”, la igualdad no se verifica o no es verdadera.
MIEMBROS de una ecuación son las expresiones que
están a ambos lados de la igualdad. APUNTES DE
ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 38
–
+ Se llama primer miembro a la expresión que está a
la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la
expresión que está a la derecha. Así, en la
ecuación 3X – 5 = 2X – 3 , el primer miembro
es 3X – 5 y el segundo miembro 2X – 3. CLASES DE
ECUACIONES Una ecuación numérica es una
ecuación que no tiene más letras que las
incógnitas, Ejemplo : 3X – 5 = 2X – 3 donde la
única letra es la incógnita “X”. Una
ecuación literal es una ecuación que además
de las incógnitas tiene otras letras, que representan
cantidades conocidas. Ejemplo : 3X – 5a = 2b – 3bX
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus
términos tiene denominador como en los dos ejemplos
anteriores, y es fraccionada cuando algunos o todos sus
términos tienen denominador. RAICES O SOLUCIONES de una
ecuación son los valores de las incógnitas que
verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que
sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la
ecuación en identidad. Ejemplo : En la ecuación 5X
– 6 = 3X + 8 , la raíz es “7” porque
haciendo X=7 se tiene 5(7) – 6 = 3(7) + 8 ; 35 – 6 =
21 + 8 ; 29 = 29 Donde se puede observar que “7”
satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con
una incógnita tienen una sola raíz. RESOLVER UNA
ECUACIÓN es hallar sus raíces, o sea el valor o los
valores de las incógnitas que satisfacen la
ecuación. AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES : Si con
cantidades iguales se verifican operaciones iguales (en ambos
miembros de la ecuación), los resultados serán
iguales. REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA: Ejemplo : = 5 + 1)
Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. GRADO de una
ecuación con una sola incógnita es el mayor
exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
Ejemplo : 4X – 6 = 3X – 1 y aX + b = b2X + c son
ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de
“X” es “1”. Ejemplo : 4X2 – 6X + 5
= 0 es una ecuación de segundo grado porque el mayor
exponente de “X” es “2”. Las ecuaciones
de primer grado se llaman ecuaciones simples o ecuaciones
lineales. APUNTES DE ÁLGEBRA 2) Si a los dos miembros de
una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste. 3) Si los dos miembros de una
ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste. 4) Si los dos miembros de una
ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste. 5) Si los dos miembros de una
ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos
miembros se extrae la misma raíz, la igualdad subsiste
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 39 –
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