Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Como graficar una función de segundo grado



    Monografias.com

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -1-
    COMO GRAFICAR UNA FUNCION
    DE SEGUNDO GRADO
    Lo primero que debemos hacer para empezar a graficar
    una función de segundo grado es ordenarla en forma
    descendente de manera que quede expresada como :
    f(x) =
    aX2+ bX + c
    EJERCICIO 1 :
    Graficar
    f(x) = X2– 2X
    – 3
    Solución :

    Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
    siguientes pasos :
    Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
    a=1
    ;
    b= – 2
    ;
    c= – 3
    Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;

    Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=1
    Esto significa que por X = 1 pasará una recta perpendicular al eje X que
    representa al eje de simetría de la parábola.

    Se introduce este valor en la función f(x) = X2 – 2X – 3 para
    determinar el vértice de la parábola.
    f(1) = (1)2– 2(1) – 3
    = 1– 2 – 3 = – 4
    ;
    f(1) = – 4
    Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 1, – 4 )
    Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
    uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
    Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
    la función.
    ? Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
    (corta al eje X en dos puntos).
    ? Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
    su vértice en un punto contenido en el eje X).

    ? Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
    corta al eje X).
    b2 – 4ac
    =
    (- 2)2 – 4(1)(-3)
    = 4 + 12
    =
    16
    Como
    b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
    en dos puntos).

    Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
    fórmula general de segundo grado o resolvente:
    Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
    radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.

    Monografias.com

    -2-
    =
    =
    X1 =
    =
    X1 = 3
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(3,0)
    X2 =
    =
    X2 = – 1
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–1,0)

    Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
    coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
    EJERCICIO 2 :
    Graficar
    f(x) = X2+ 4
    Solución :

    Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
    siguientes pasos :

    Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
    a=1
    ;
    b=0
    ;
    c=4
    Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;

    Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =

    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    Vértice (1,-4)
    Eje de
    simetría
    (-1, 0)
    (3,0)
    (1,-4)

    El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
    facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
    visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
    concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
    En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
    fácilmente que la parábola quedará graficada así :
    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO

    Monografias.com

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -3-
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=0
    Esto significa que por X = 0 pasará una recta perpendicular al eje X
    que representa al eje de simetría de la parábola (en este caso el eje de
    simetría será el eje “Y” del sistema de coordenadas).
    Se introduce este valor en la función f(x) = X2+ 4 para determinar el
    vértice de la parábola.
    f(0) = (0)2 + 4
    = 0+4 = 4
    ;
    f(0) = 4
    Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 0 , 4 )

    Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
    uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).

    Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
    la función.
    ? Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
    (corta al eje X en dos puntos).
    ? Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
    su vértice en un punto contenido en el eje X).
    ? Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
    corta al eje X).
    b2 – 4ac
    =
    (0)2 – 4(1)(4)
    = 0 – 16 = – 16
    Como b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje
    X ).

    Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función
    se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado
    izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará
    visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
    Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando
    X = – 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la
    función f(x) = X2+ 4
    Para X = – 1 ;
    f(-1) = (-1)2+ 4 = 1 + 4 = 5
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (–1,5)
    Para X = 1 ;
    f(1) = (1)2+ 4 = 1 + 4 = 5
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
    El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
    facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
    visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
    concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
    (-1,5)
    (1,5)
    (0,4)
    Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
    coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.

    Y
    X

    Monografias.com

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -4-
    EJERCICIO 3 :
    Graficar
    f(x) = – X2+ 5X
    – 4
    Solución :

    Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
    a = –1
    ;
    b=5
    ;
    c= – 4
    Cuando a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo ;
    Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=
    ;
    X = 2,5
    Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X
    que representa al eje de simetría de la parábola.
    f(x) = – X2 + 5X – 4 para
    Se introduce este valor en la función
    determinar el vértice de la parábola.
    f(2,5) = – (2,5)2+ 5(2,5) – 4
    = – 6,25+ 12,5 – 4 = 2,25

    f(2,5) = 2,25
    Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )

    Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
    uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
    b2 – 4ac
    =
    (5)2 – 4(-1)(-4)
    = 25 – 16 =
    9
    Como
    b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
    en dos puntos).
    Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
    fórmula general de segundo grado o resolvente:
    Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
    radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.

    =
    Vértice (0,4)
    Eje de
    simetría
    X
    Y

    Monografias.com

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -5-
    X1 =
    =
    X1 = 1
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(1,0)
    X2 =
    =
    X2 = 4
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
    Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
    coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
    El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
    facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
    visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
    concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
    EJERCICIO 4 :
    Graficar
    f(x) =
    X2– 8X + 16
    Solución :
    Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
    a=1
    ;
    b=-8
    ;
    c = 16
    Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;

    Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=4
    Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X
    que representa al eje de simetría de la parábola.
    f(x) = X2 – 8X + 16 para
    Se introduce este valor en la función
    determinar el vértice de la parábola.
    f(4) =(4)2– 8(4) + 16
    = 16– 32 + 16
    = 0
    ;
    f(4) = 0
    Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )

    Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
    uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
    b2 – 4ac
    =
    (8)2 – 4(1)(16)
    = 64 – 64 = 0
    Como
    b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice
    en un punto contenido en el eje X).
    Eje de
    simetría
    Vértice (2.5,2.25)

    Monografias.com

    -6-
    Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea
    igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X
    es el mismo vértice.

    Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si
    no existieran raíces reales.
    Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno
    ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho,
    esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.

    Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando
    X= 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la
    función f(x) = X2– 8X + 16
    Para X = 3 ;
    f(3) = (3)2– 8(3) + 16 = 9– 24 + 16 = 1
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (3,1)
    Para X = 5 ;
    f(5) = (5)2– 8(5) + 16 = 25– 40 + 16 = 1
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (5,1)
    Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
    coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
    El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
    facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
    visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
    concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
    En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
    fácilmente que la parábola quedará graficada así :

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    EJERCICIO 5 :
    Graficar
    f(x) =
    X2 + 4X
    Solución :

    Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
    a=1
    ;
    b=4
    ;
    c=0
    Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;

    Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =

    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    Vértice (4,0)
    Eje de
    simetría
    X
    (5,1)
    (3,1)

    Monografias.com

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -7-
    X=
    ;
    X=
    ;
    X=
    ;
    X = -2
    Esto significa que por X = – 2 pasará una recta perpendicular al eje X
    que representa al eje de simetría de la parábola.

    Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4X para determinar el
    vértice de la parábola.
    f(-2) = (-2)2 + 4(-2) = 4 – 8
    = – 4
    ;
    f(-2) = – 4
    Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( -2 ,-4 )

    Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
    uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
    b2 – 4ac
    =
    (4)2 – 4(1)(0)
    = 16 – 0 = 16
    Como
    b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
    en dos puntos).

    Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
    fórmula general de segundo grado o resolvente:

    Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
    radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.

    =
    X1 =
    =
    X1 = 0
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(0,0)
    X2 =
    =
    X2 = – 4
    Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–4,0)

    Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
    coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.

    El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
    facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
    visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
    concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.

    Monografias.com

    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -8-
    EJERCICIO 6 :
    Graficar
    f(x) = – 8X2
    + 24X – 16
    EJERCICIO 7 :
    Graficar
    Vértice (1.5,2)
    Vértice (1,-4)

    COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
    f(x) = X2– 2X – 3

    Eje de
    simetría

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter