APUNTES DE ÁLGEBRA
?ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA :
IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o expresiones
algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplos : 4 + 5 = 9 ;
a = b +c
;
3X2= 4X + 15
ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera
para determinados valores de las incógnitas.
Así, 5X + 2 = 17 es una ecuación, porque es una igualdad en la
que hay una incógnita, la “X”, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que
solo es verdadera, para el valor “X = 3”. En efecto, si sustituimos la “X”
por “3”, tenemos :
5(3) + 2 = 17
;
15 + 2 = 17, o sea : 17 = 17
Si le damos a “X” un valor distinto de “3”, la igualdad no se verifica
o no es verdadera.
MIEMBROS de una ecuación son las expresiones que están a
ambos lados de la igualdad.
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 38 –
Se llama primer miembro a la expresión que está a la izquierda
del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la
derecha.
Así, en la ecuación 3X – 5 = 2X – 3 , el primer miembro es 3X – 5
y el segundo miembro 2X – 3.
CLASES DE ECUACIONES
Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más
letras que las incógnitas,
Ejemplo : 3X – 5 = 2X – 3 donde la única letra es la incógnita “X”.
Una ecuación literal es una ecuación que además de las
incógnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas.
Ejemplo : 3X – 5a = 2b – 3bX
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene
denominador como en los dos ejemplos anteriores, y es fraccionada
cuando algunos o todos sus términos tienen denominador.
Ejemplo :
+
= 5 +
GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor
exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
Ejemplo : 4X – 6 = 3X – 1 y aX + b = b2X + c son
ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de “X” es “1”.
Ejemplo : 4X2 – 6X+ 5 = 0 es una ecuación de segundo grado
porque el mayor exponente de “X” es “2”.
Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples
o ecuaciones lineales.
APUNTES DE ÁLGEBRA
RAICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de
las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que
sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en
identidad.
Ejemplo : En la ecuación 5X – 6 = 3X + 8 , la raíz es “7” porque
haciendo X=7 se tiene
5(7) – 6 = 3(7) + 8 ; 35 – 6 = 21 + 8 ; 29 = 29
Donde se puede observar que “7” satisface la ecuación.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una
sola raíz.
RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar sus raíces, o sea el
valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES :
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales (en ambos
miembros de la ecuación), los resultados serán iguales.
REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA:
1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por
una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.
4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una
misma potencia o si a los dos miembros se extrae la
misma raíz, la igualdad subsiste
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 39 –
LA TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS consiste en cambiar
los términos de una ecuación de un miembro al otro. Cualquier término
de una ecuación se puede pasar de un miembro al otro pero
cambiándole el signo.
CAMBIO DE SIGNOS DE UNA ECUACIÓN :
Los
signos de todos los miembros de una ecuación se pueden cambiar
sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos
miembros de la ecuación por “– 1”, con lo cual la igualdad no varía.
(Regla 3 del Axioma Fundamental de las ecuaciones. Pág.39).
?RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS
DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA :
Generalmente para resolver este tipo de ecuaciones se siguen los
siguientes pasos:
1) Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer
miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y
en el otro miembro (derecho) todas las cantidades conocidas.
2) Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
3) Se despeja la incógnita.
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación 5X = 8X – 15
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer
miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro
miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio
del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
5X – 8X = – 15
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
– 3X = – 15
APUNTES DE ÁLGEBRA
Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
VERIFICACION:
La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la
incógnita es correcto.
La verificación se realiza sustituyendo en los dos miembros de la
ecuación dada la incógnita por el valor obtenido, y si éste es correcto, la
ecuación dada se convertirá en identidad.
Así, en la ecuación anterior, haciendo “X = 5” en la ecuación dada
tenemos:
5(5) = 8(5) – 15 ; 25 = 40 – 15 ; 15 = 15
Ejemplo 2 : Resolver la ecuación 4X+ 1 = 2
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer
miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro
miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio
del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
4X = 2 – 1
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
4X = 1
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 40 –
APUNTES DE ÁLGEBRA
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 41 –
Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
Hay ejercicios donde resulta más cómodo reducir los términos
semejantes en cada miembro y después aplicar los pasos
recomendados en la página anterior.
Verificando la respuesta del ejercicio 6 tenemos :
21 – 6(3) = 27 – 8(3) ; 21 – 18 = 27 – 24 ; 3 = 3
Verificando la respuesta del ejercicio 14 tenemos :
8(1) – 15(1) – 30(1) – 51(1) = 53(1) – 31(1) – 172
8 – 15 – 30 – 51 = 53 – 31 – 172
;
88 = 88
APUNTES DE ÁLGEBRA
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 42 –
?RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRI-
MER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPA-
CIÓN :
Antes de abordar este aspecto se recomienda “repasar” lo indicado
en “SIGNOS DE AGRUPACIÓN” (páginas 7, 8 y 9).
Este tipo de ecuaciones se resuelve de manera similar a las
Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita (página 40), una
vez que se hayan suprimido los signos de agrupación.
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación X – (2X+ 1) = 8 – (3X+ 3)
Se suprimen los signos de agrupación en ambos miembros de la
ecuación.
X – 2X – 1 = 8 – 3X – 3
Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la
ecuación.
– X – 1 = 5 – 3X
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer
miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro
miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio
del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
– X + 3X = 5 + 1
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
2X = 6
Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
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Ing. José Luis Albornoz Salazar – 44 –
?RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRI-
MER GRADO CON PRODUCTOS INDICA-
DOS :
Antes de abordar este aspecto se recomienda “repasar” lo indicado
en “MULTIPLICAIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS” (página 12) y
en “MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS” (página 14).
Este tipo de ecuaciones se resuelve de manera similar a las
Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita (página 40), con
la salvedad de que inicialmente se deben efectuar los productos indicados
en la ecuación.
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación X + 3(X – 1) = 6 – 4(2X+ 3)
Se efectúan los productos indicados.
X + 3X – 3 = 6 – 8X – 12
Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la
ecuación.
4X – 3 = – 8X – 6
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer
miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro
miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio
del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
4X + 8X = – 6 +3
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
12X = – 3
Se despeja la incógnita.
APUNTES DE ÁLGEBRA
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
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Ing. José Luis Albornoz Salazar – 46 –
?RESOLUCION DE ECUACIONES LITERA-
LES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓG-
NITA :
Las ECUACIONES LITERALES, son aquellas en las que algunos o
todos los coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que
figuran en la ecuación están representadas por letras.
Estas letras suelen ser a, b, c, d, m, y n según costumbre,
representando la “X” la incógnita.
Las ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se
resuelven aplicando las mismas reglas que hemos empleado en las
ecuaciones numéricas.
Ejemplos :
?RESOLUCION DE ECUACIONES FRAC-
CIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA :
Antes de abordar este tema se recomienda “repasar” lo indicado en
“DIVISIÓN” pág. 23, “DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS” pág. 24 y
“DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO” pág. 25.
De igual manera se recomienda “repasar” de nuestras clases de
bachillerato CÓMO CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm).
SUPRESIÓN DE DENOMINADORES : Esta es una
operación importantísima que consiste en convertir una ecuación
fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir sin
denominadores.
La supresión de denominadores se funda en la propiedad, ya
conocida, de las igualdades : Una igualdad no varía si sus dos
miembros se multiplican por una misma cantidad.
Para suprimir denominadores en una ecuación se
multiplican todos los términos de la ecuación por el
mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Y simplificando estas fracciones, queda
6X = 2X – 3
Ecuación que es equivalente a la ecuación dada y entera que es lo
que buscábamos, porque la resolución de ecuaciones enteras ya la
hemos estudiado.
2
1.
3.
APUNTES DE ÁLGEBRA
Ing. José Luis Albornoz Salazar – 47 –
Ahora bien, la operación que hemos efectuado equivale a
dividir el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y
multiplicar cada resultado por el numerador respectivo.
Ejemplo : Suprimir denominadores en la ecuación
El m.c.m. de 4, 8 y 40 es 40. El primer término “2” equivale a 2/1.
Entonces, divido 40÷1 = 40 y este cociente 40 lo multiplico por 2;
40÷40 = 1 y este cociente 1 lo multiplico por X – 1; 40÷4 = 10 y este
cociente 10 lo multiplico por 2X – 1; 40÷8 = 5 y este cociente 5 lo
multiplico por 4X – 5 y tendremos :
2 (40) – 1 ( X – 1) = 10 (2X – 1) – 5 (4X – 5)
Efectuando las multiplicaciones indicadas y quitando paréntesis,
queda :
80 – X + 1 = 20X – 10 – 20X + 25
Ecuación que ya es entera.
Ejemplos : Resolver las ecuaciones siguientes
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La experiencia, como instructor de la materia, me ha
demostrado que la mayor dificultad que presentan los estudiantes
en la resolución de este tipo de problemas viene dada en el manejo
de los signos de los términos fraccionarios negativos.
En atención a lo apuntado anteriormente, me permito
recomendar que el primer paso en la resolución de estos problemas
sea pasar los términos negativos al otro miembro para evitar
cometer errores. Es decir, garantizar que todos los términos
fraccionarios de la ecuación tengan signo positivo.
Ejemplo : Resolver la siguiente ecuación
Primero paso los términos negativos al otro miembro cambiándole
el signo, entendiendo que el signo que se cambia es el que está antes
de la raya-fracción y no los que estén dentro del numerador.
m.c.m. = 60
30(X – 1) + 12(X – 5) = 20(X – 2) + 15(X – 3)
30X – 30 + 12X – 60 = 20X – 40 + 15X – 45
Ya la hemos convertido en una ecuación entera y su resolución es
conocida por nosotros.
42X – 90 = 35X – 85
42X – 35X = – 85 + 90
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