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Equilibrio de particulas



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    ?F ?F
    -1-
    EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS
    Glosario de conceptos:

    1. Equilibrio.
    “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan
    sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en
    equilibrio”.
    2. Ecuaciones de equilibrio:

    x ? 0 y ? 0

    3. Primera condición de equilibrio:

    “Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula
    es cero, la partícula permanecerá en reposo (si
    originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad
    constante en línea recta (si originalmente estaba en
    movimiento)”.

    4. Diagrama de cuerpo libre:

    “Un gran número de problemas que tratan de
    estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al
    equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una
    partícula significativa y dibujando un diagrama separado
    que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre
    ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo
    libre.”
    Los ejercicios que resolveremos a continuación
    estarán referidos a partículas y/o cuerpos que se
    encuentren en reposo.

    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
    Ejercicio 1 :
    Determinar la magnitud que debe poseer la
    F2 = 10 N

    Solución :

    Existen varios procedimientos que nos permiten llegar a la solución. Sin
    embargo, utilizaremos uno que consideramos puede ser utilizado en
    cualquier tipo de problemas de equilibrio con la finalidad de que el
    estudiante se familiarice con éste y se le facilite el enfoque y solución de
    problemas con mayor grado de dificultad.

    Como se indicó anteriormente : Si la resultante de todas las fuerzas
    que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en
    equilibrio”.

    Luego, el problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del
    sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los
    ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas
    (?Fx = 0 y ?Fy = 0).

    Estudiando la fuerza F1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    30º
    30º
    fuerza F3 para que el siguiente sistema esté en equilibrio :

    F1 = 10 N
    F3
    10 N
    F1y

    30º
    F1x
    F1x = (cos 30º)(F1) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)

    F1y = (sen 30º)(F1) = (0,5)(10) = 5 N (hacia arriba)(+)
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar

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    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
    Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
    -2-
    F2x = (cos 30º)(F2) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)

    F2y = (sen 30º)(F2) = (0,5)(10) = 5 N (hacia abajo)(-)

    Estudiando la fuerza F3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    Como estos son los valores desconocidos, lo incluimos en la tabla como
    incógnitas :
    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    SFx = 0
    + 8,66 + 8,66 – F3x = 0
    ;
    17,32 – F3x = 0
    ;
    17,32 = F3x
    SFy = 0
    + 5 – 5 – F3y = 0
    ;
    0 – F3y = 0
    ;
    F3y = 0
    La solución gráfica será :
    Ejercicio 2 :
    si la masa de la caja es de 10 kg.
    El peso de la caja será W = m.g = (10)(9,81) = 98,10 N
    30º
    10 N
    F2y
    Estudiando la fuerza F2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    F2x
    30º
    F2 = 10 N

    Determine la tensión en las cuerdas ab y ad,
    30º
    F1 = 10 N
    F3 = 17,32 N
    c

    Solución :

    Se construye el diagrama de cuerpo libre :
    b
    a
    d
    30º
    W
    Tb
    Td
    30º

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    El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
    sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
    “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
    ?Fy = 0).
    Estudiando la tensión Tb ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    Tbx = (cos 30º)(Tb) = (0,866)(Tb) = 0,866 Tb (hacia la derecha)(+)
    Tby = (sen 30º)(Tb) = (0,5)(Tb) = 0,5 Tb (hacia arriba)(+)

    Estudiando la tensión Td ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
    componente en X será igual a su magnitud (Td = Tdx)
    Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
    componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy)
    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    SFx = 0
    + 0,866 Tb – Tdx = 0
    ;
    0,866 Tb = Tdx
    SFy = 0
    + 0,5 Tb – 98,1 = 0
    ;
    0,5 Tb = 98,1
    Tb =
    ;
    Tb = 196,20 N
    Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en
    la sumatoria de fuerzas horizontales (0,866 Tb = Tdx) y obtendré el
    valor de la tensión en “d”.
    0,866 Tb = Tdx
    ;
    (0,866)(196,20) = Tdx ;
    169,91 = Tdx
    Como Tdx = Td
    ;
    Td = 169,91 N
    La solución gráfica será :
    30º

    W = 98,10 N
    Tb = 196,20 N
    Td = 169,91 N

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    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
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    Calcule la fuerza “F” para que la pesa esté en
    Se construye el diagrama de cuerpo libre :
    El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
    sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
    “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
    ?Fy = 0).
    Estudiando la tensión Ta ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    Tax = (cos 53º)(Ta) = (0,6018)(Ta) = 0,6018 Ta (hacia la izquierda)(-)

    Tay = (sen 53º)(Ta) = (0,7986)(Ta) = 0,7986 Ta (hacia arriba)(+)

    Estudiando la Fuerza F ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
    componente en X será igual a su magnitud (F = Fx)

    Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
    componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 80 N)
    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    SFx = 0
    – 0,6018 Ta + Fx = 0
    ;
    Fx = 0,6018 Ta
    SFy = 0
    + 0,7986 Ta – 80 = 0
    ;
    0,7986 Ta = 80
    Ta =
    ;
    Ta = 100,18 N
    53º
    W = 80 N

    El valor del ángulo que se forma entre “Ta” y el eje X se calcula tomando
    en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triangulo rectángulo
    es igual a 180º; luego : 180 – 90 – 37 = 53.
    F
    Ta
    Ejercicio 3 :
    equilibrio :

    a

    Solución :

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    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
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    Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en
    la sumatoria de fuerzas horizontales (Fx = 0,6018 Ta) y obtendré el
    valor de la componente en X de la fuerza F.
    Fx = 0,6018 Ta
    ;
    Fx = (0,6018)(100,18)
    ;
    Fx = 60,29
    ;
    F = 60,29 N
    Ejercicio 4 : Si W = 40 N en la situación de equilibrio de la
    figura adjunta, determine T1 y T2.
    53º
    W = 80 N
    F = 60,29 N
    Como Fx = F

    La solución gráfica será :

    Ta = 100,18 N
    60º
    W = 40 N

    El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
    sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
    “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
    ?Fy = 0).

    Estudiando la tensión T1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    T1x = (cos 60º)(T1) = (0,5)(T1) = 0,5 T1 (hacia la izquierda)(-)

    T1y = (sen 60º)(T1) = (0,866)(T1) = 0,866 T1 (hacia arriba)(+)
    T2
    Solución :

    Se construye el diagrama de cuerpo libre :

    T1
    70º
    20º

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    -6-
    Estudiando la tensión T2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    T2x = (cos 20º)(T2) = (0,9397)(T2) = 0,9397 T2 (hacia la derecha)(+)
    T2y = (sen 20º)(T2) = (0,3420)(T2) = 0,3420 T2 (hacia abajo)(-)

    Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
    componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 40 N)
    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    SFx = 0
    – 0,5 T1 + 0,9397 T2 = 0
    ;
    0,9397 T2 = 0,5 T1
    SFy = 0
    + 0,866 T1 – 0,3420 T2 – 40 = 0
    ;
    0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40
    Con las dos ecuaciones obtenidas anteriormente se puede construir un
    sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas y calcular los valores de
    “T1” y “T2”.
    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
    Utilizando el método de sustitución:
    Si
    0,9397 T2 = 0,5 T1
    ;
    ;
    T1 = 1,88 T2
    Introduciendo este valor en la segunda ecuación :

    0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40

    Tendremos (0,866)(1,88 T2) – 0,3420 T2 = 40
    1,628 T2 – 0,3420 T2 = 40
    ;
    1,286 T2 = 40
    :
    T2 = 31,10 N
    Como T1 = 1,88 T2
    ;
    T1 = 1,88 (31,1)
    ;
    T1 = 58,47 N
    60º
    W = 40 N
    T2 = 31,1 N
    La solución gráfica será :

    T1 = 58,47 N
    70º
    20º

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    EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
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    -7-
    Ejercicio 5 : En la figura siguiente, las poleas no presentan
    fuerza de fricción y el sistema cuelga en equilibrio. ¿Cuáles son los
    valores de los pesos W1 y W2 ?.

    Solución :
    La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas
    es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es
    despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de
    ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la
    siguiente manera :
    W1x = (sen 50º)(W1) = (0,766)(W1) = 0,766 W1 (hacia la izquierda)(-)
    W1y = (cos 50º)(W1) = (0,6428)(W1) = 0,6428 W1 (hacia arriba)(+)
    Estudiando la tensión W2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
    componente en Y será igual a su magnitud (W2 = W2y)

    Estudiando la tensión W3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    W3x = (sen 35º)(W3) = (0,5736)(200) = 114,72 N (hacia la derecha)(+)

    W3y = (cos 35º)(W3) = (0,8192)(200) = 163,83 N (hacia arriba)(+)

    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    SFx = 0
    – 0,766 W1 + 114,72 = 0
    ;
    114,72 = 0,766 W1
    ;
    W1 =
    W1 = 150 N

    SFy = 0

    + 0,6428 W1 – W2y + 163,83 = 0

    Como ya conocemos el valor de W1, lo podemos introducir en la
    ecuación :
    (0,6428)(150) – W2y + 163,83 = 0
    ;
    96,42 – W2y + 163,83 = 0
    260,25 – W2y = 0
    ;
    W2y = 260,25
    W2
    El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
    sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
    “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
    ?Fy = 0).
    Estudiando la tensión W1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
    W3 = 200 N
    W1
    50º 35º

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    -8-
    ;
    W2 = 260 N
    Como W2 = W2y

    La solución gráfica será :
    W3 = 200 N
    W1 = 150 N
    50º 35º

    W2 = 260 N

    Ejercicio 6 : Calcular el ángulo ? y la tensión en la cuerda W
    para que haya equilibrio sabiendo que M = 300 N y Q = 400 N :

    Q

    Solución :

    La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas
    es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es
    despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de
    ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la
    siguiente manera :
    ?
    M = 300 N

    El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
    sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
    “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
    ?Fy = 0).

    Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Wx = (sen ?)(W) (hacia la izquierda)(-)

    Wy = (cos ?)(W) (hacia arriba)(+)

    Estudiando la Fuerza M ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
    componente en Y será igual a su magnitud (My = M = 300 N)

    Estudiando la tensión V ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
    ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :

    Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
    componente en X será igual a su magnitud (Vx = V = 400 N = Q)

    Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
    dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
    fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
    V = Q = 400 N
    Se construye el diagrama de cuerpo libre :

    W

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    -9-
    SFx = 0
    – (W)(sen ?) + 400 = 0
    ;
    (W)(sen ?) = 400
    SFy = 0
    + (W)(cos ?) – 300 = 0
    ;
    (W)(cos ?) = 300
    El ángulo se puede calcular con la tangente:
    tg ?
    =
    ?
    = Arctg
    = 53º
    (W)(sen ?) = 400
    ;
    W =
    ;
    W =
    (W)(cos ?) = 300

    Igualando estos dos valores de W :
    =
    ;
    =
    ?
    V = Q = 400 N
    Wx = 400 N
    M = 300 N

    La magnitud de W se calcula como la raíz cuadrada de la suma de
    los componentes al cuadrado (teorema de Pitágoras) :

    = 500 N
    Con estos valores puedo graficar el equilibrio, faltando solamente
    calcular el ángulo (como lo hicimos en la guía de FUERZA
    RESULTANTE).

    W
    Wy = 300 N
    ?
    M = 300 N
    V = Q = 400 N
    W.cos ?
    W.sen ?
    Otra manera de enfocarlo pudo ser :

    W
    53º
    M = 300 N
    V = Q = 400 N
    Por relación trigonométrica 1,33 = tg ? ; luego ? = 53º

    La solución gráfica será :

    W = 500 N

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