Algunas consideraciones sobre la raíz cuadrada y los números primos
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA RAÍZ CUADRADA Y LOS
NÚMEROS PRIMOS
RAMON FREYTEZ OLIVEROS
Ingeniero de Sistemas
cesarfreytez@gmail.com
Twitter: @codigo_aligheri
Sanare. Estado Lara. Venezuela.
08/07/2015.
No creo que sea totalmente inútil plantear aquellas proposiciones que son
muy probables aunque falte una verdadera demostración, pues aún cuando
se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una
nueva verdad.
Christian Goldbach, 1742 en carta a Leonhard Euler.
RESUMEN
Una pequeña investigación sobre la raíz cuadrada como concepto fundamental
dentro del ejercicio y el papel de los matemáticos, abordar los procesos dirigidos a
posicionar el conocimiento para su uso social dentro de una concepción
matemática que aproveche la variación y el cambio. Una explicación más sencilla
para abordar las funciones notables o trascendentes. La función raíz cuadrada
además de incluir la operación inversa de elevar al cuadrado un número siendo
una construcción real positiva define el concepto de raíz aritmética, más allá,
especifica sobre un plano una grafica que se ajusta al concepto estricto de función.
Históricamente apareció en la geometría de los babilonios y bajo el estudio de la
recta, de triángulos y rectángulos ya sabían calcular raíces cuadradas que más
tarde los griegos apuntalarían en la escuela de Pitágoras, ya en el uso y desarrollo
de ecuaciones cuadráticas. El presente ensayo incluye enunciados, demostraciones
y curiosidades propias de los números primos relacionados con el mundo de la
raíz cuadrada como complemento al trabajo publicado en el portal web
monografías.com sobre Orden total en el conjunto de los números enteros.
PALABRAS CLAVES: Raíz cuadrada, numero primo, función, aritmética, valor
absoluto, múltiplo, paradoja fuerte de Goldbach, descomposición factorial,
cuadrado perfecto
ABSTRACT
This is a little research on the square root as a fundamental concept in the exercise
and the role of mathematicians, addressing processes to position the knowledge to
social use within a mathematical concept that leverages the variation and change.
A simpler explanation for the remarkable address or transcendental functions. The
square root function also include inverse of squaring numbers being a real positive
construction defines arithmetic root, beyond specifies a graph on a plane that fits
the narrow concept of function. Historically appeared on the geometry of the
Babylonians and under the study of the line, triangles and rectangles already knew
calculate square roots later the Greeks would be backed in the school of
Pythagoras, and in the use and development of quadratic equations. This essay
includes statements, demonstrations and own curiosities of primes related to the
world of the square root complementing work published on the web portal
"monografías.com" on "Order Total in the set of integers".
KEYWORDS: Square root, prime number, function, arithmetic, absolute value,
multiple, strong paradox Goldbach, factorization, perfect square.
1. INTRODUCCIÓN
El uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas impone un
ritmo un poco acelerado en los métodos de aprendizaje, a la par de la innovación
se debe mezclar la calidad y el sustento de la experiencia con efectos que sean
realmente permanentes para quienes aprenden las ciencias de los números. El
complejo manejo de ciertos elementos del cálculo matemático conlleva a
perfeccionar los niveles del tecnicismo y adaptarlos a las etapas a partir de
concepciones bien claras y lo más sencillas posibles.
La presente exposición de formas curiosas en el comportamiento y las variaciones
de los números primos permitirán a otros investigadores innovar métodos en la
búsqueda y el atrevimiento en la demostración de los grandes problemas y
paradojas en muchos órdenes y disciplinas.
La sucesión de números naturales que al parecer no tuviesen un orden aparente y
cuya frecuencia disminuye a medida que se avanza en la sucesión es una
característica aparente de los números primos, ya en épocas remotas prolíficos
matemáticos han abordado interesantes paradojas, enunciados y demostraciones;
desde Euclides, Mersenne, Fermat, Pascal, Euler, Goldbach, Legendre, Cantor,
Schnirelmann,Vinagodrov,Jingrun,Brocard,Cramer,Gauss,Dirichlet,
Chebyshev,Riemann, Hadamard, Vallée-Poussin,Hardy,Littlewood,Ramanujan y
tantos más; todos en cada lugar y tiempo han otorgado una contribución
interesante en la teoría numérica.
2. MATERIALES Y METODOS
La teoría de números y las diferentes propiedades de las raíces en perfecta
armonía con la aritmética aportan el conocimiento para desarrollar importantes
iniciativas que comprometen a seguir profundizando en el mundo de las
heterogéneas relaciones en el conjunto de los números primos.
.
.
+1
3. RESULTADOS
Números y raíces cuadradas exactas:
Enunciado 1. Sean cuatro números consecutivos a< b< c< d; a,b,c,d ? N y
a,b,c,d? 0; tal que b.c 1 = a.d + 1 ; se cumple:
v . . . + 1 = | . – 1|
Demostración.
Sea
b.c 1 = a.d + 1
(por hipótesis)
. 1
. =( .
+ 1) .
(multiplicamos por el factor b.c >0
a ambos lados de la ecuación)
. . . . = . . . + .
(por propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la
suma de naturales)
. – . = . . .
(por propiedad asociativa de la suma de naturales)
2 . + 1 = . . .
+1
(sumamos 1 en ambos miembros de la
ecuación)
( . ) 2 . +1 = . . . +1
( . – 1) = . . . + 1
(potenciación en naturales)
(por producto notable, trinomio
cuadrado perfecto)
( . – 1) =v . . . + 1
| . – 1|=v . . .
(introducimos ambos miembros de la ecuación
en una raíz cuadrada)
(por propiedad de valor absoluto)
Lo que reproduce la tesis del enunciado.
Ejemplo:
a= 2, b=3, c=4, d=5
v . . . + 1 = | . – 1|
v2.3.4.5 + 1 =v120 + 1 =v121 = 11
3.4-1 = 12-1 = 11
Conclusión.
Del Enunciado 1. se desprende que:
Enunciado 1.1. Sean cuatro números consecutivos múltiplos de dos, a< b< c< d;
a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al cuadrado
perfecto, tal que
v . . . + 2 = . – v2
Enunciado 1.2. Sean cuatro números consecutivos, múltiplos de tres a< b< c< d;
a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al cuadrado
perfecto, tal que:
v . . . + 3 = . – v3
Por tanto:
Enunciado 2. Sean cuatro números consecutivos, múltiplos de cualquier primo
a< b< c< d; a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al
cuadrado perfecto, tal que:
v . . . +
= .
-v
Enunciado 3. Sean dos números primos consecutivos y mayores que dos a< b;
a,b ? N; existe un número k ? N más próximo al cuadrado perfecto, tal que:
v . +
=
Ejemplo:
a=919
b=929
v919.929 + 5 =v853751 + 25=v853776= (919+929) / 2 =1848/2 = 924
y
Enunciado 4. Sean cinco números naturales consecutivos a,b,c.d,e ? N,
a,b,c.d,e? 0; se cumple que:
a.e + 3 = b.d
Ejemplo:
Sean a=1, b=2, c=3, d=4, e=5
1.5+3 = 2.4
5+3 = 8
Dentro de la paradoja de Goldbach se puede considerar el siguiente
planteamiento:
Si tenemos dos primos
cuya suma nos da un número par se cumple:
.
=
+
, donde k es un número natural que completa la suma más
próxima al cuadrado perfecto.
Ejemplo:
? Sea
.
=3
=
+
=13
v3.13 + 5 = 2v39 + 25=2v64 = 2.8= 3+13= 16
? Sea
= 13
=13
v13.13 + 0 =2v169= 2.13 = 13+13 = 26
Curiosidades:
Paradoja1:
v4.5.6 + 456 =v120 + 456 =v576 = 24 la relación entre las cifras es única.
Descomposición factorial de 120 y 456:
120=2 . 3. 5
456=2 .3. 19
El Máximo Común Divisor MCD(120,456)= 2 .3 =24, el cual coincide con la
raíz cuadrada planteada de la paradoja.
Paradoja2:
v777 + 7 =v784= 4.7 = 28 la secuencia del número 7 es única y su raíz
cuadrada es un número perfecto.
–
–
–
–
Paradoja3:
Dado un número natural par, cualquiera mayor que 8, se puede conseguir al
menos una pareja de primos que cumpla con la conjetura fuerte de Goldbach
si :
Se descompone el número dado en sus factores primos.
Se resta la columna izquierda menos la columna derecha de factores. Se
descompone nuevamente el resultado adquirido.
En el caso de los pares terminados en cero, se le suma 5, se descompone
factorialmente y se toma el último factor a la izquierda, que se
constituye en uno de los primos buscados.
El otro primo lo obtenemos, restando el número dado menos el encontrado
en el paso anterior. En el caso de presentarse que este último número no
sea primo le aplicamos el procedimiento de factorización y tomamos el
último factor primo conseguido (ver ejemplo3).
Ejemplo1:
Sea n=12
Numero
12
6
3
1
12+6=18
18-4=14
Descomponemos 14
14
Factores primos
2
2
3
2+2=4
2
7
7
1
7 se constituye en uno de los primos buscados, el otro primo lo obtenemos de la
resta del número dado 12-7=5; el par Goldbach buscado es (5,7).
Ejemplo2:
Sea n=30
Como este número es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=35
Numero
35
7
Factores primos
5
7
1
7 es uno de los primos buscado 7+23 =30; el par Goldbach obtenido es (7,23)
Ejemplo3:
Sea n=20
Como este número es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=25
Numero
25
5
Factores primos
5
5
1
5 sería en todo caso el primo buscado, sin embargo 5+15=20, por tanto 15 no es
primo, ahora factorizamos a 15:
Numero
15
3
Factores primos
5
3
1
3 es el primo buscado y su pareja es 17; 3+17=20, el par Goldbach obtenido es
(3,17).
Ejemplo4:
Sea n=500
Es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=505
Numero
505
101
Factores primos
5
101
1
101 sería en todo caso uno de los primos, pero 101+399=500, luego 399 no es
primo, ahora factorizamos a 399:
Numero
399
133
19
Factores primos
3
7
19
1
19+481=500, pero 481 no es primo.
Finalmente descomponemos a 481:
.
Numero
481
37
Factores primos
13
37
1
37+463 =500, 463 es primo; la pareja Goldbach es (37,463)
Paradoja4:
Hay números primos que tienen un comportamiento de acuerdo al contenido de
sus cifras (la inversión de sus cifras terminales) con relación a su cuadrado
perfecto más cercano.
= ( +
)/2
Ejemplos:
v113.131 + 81 =v14803 + 3 = 122
v313.331 + 81 =v103603 + 3 = 322
v613.631 + 1296 =v386803 + 3 =v386884= 622
v619.691 + 1296 = 427729 + (2.3) =v429025 = 655
v919.991 + 1296 = 910729 + (2.3) =v912025 = 955
4. DISCUSION
El inmenso potencial matemático que se recoge en el mundo actual para un siglo
que apenas comienza pretende facilitar el camino de otras disciplinas que cuentan
con esta laboriosa herramienta. La comprensión de modelos sistemáticos que
apuntan a la facilitación de las actividades humanas, la recreación y la educación
con la finalidad de volver más productiva en tiempo y cultura, es quizás el
elemento coadyuvante que motiva a los investigadores a profundizar en las
diferentes investigaciones. Motiva en sí, las coincidencias y las curiosidades del
ámbito numérico y de acuerdo a estas inquietantes causalidades se van
encontrando leyes que enriquecen esta fabulosa ciencia. Se impone este
complemento como aporte a la exposición pasada referente al Conjunto de los
Números Primos y en general al Conjunto de los Números enteros como
propuesta para seguir profundizando en ellas.
5. REFERENCIAS
1.- DOMINIO DE FUNCIONES CON RAIZ CUADRADA
http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/data/docs/Guajardo.pdf
2.-LAS RAICES CUADRADAS EN LA ANTIGUA BABILONIA
http://www.ejournal.unam.mx/cns/no86/CNS086000003.pdf
3.-RAICES CUADRADAS EN CUERPOS PRIMOS DE CARACTERISTICAS
P
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETAMATEMATICA_1968_20_5-6_05.pdf
4,-SOBRE RAICES Y RADICALES. EFECTO DE DOS CULTURAS DE
ENSEÑANZAS (ESPAÑA-RUMANIA)
http://www.uv.es/gomezb/25Sobreraicesyradicales.pdf