Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Algunas consideraciones sobre la raíz cuadrada y los números primos



    Monografias.com

    ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA RAÍZ CUADRADA Y LOS

    NÚMEROS PRIMOS
    RAMON FREYTEZ OLIVEROS
    Ingeniero de Sistemas
    cesarfreytez@gmail.com
    Twitter: @codigo_aligheri
    Sanare. Estado Lara. Venezuela.
    08/07/2015.
    “No creo que sea totalmente inútil plantear aquellas proposiciones que son
    muy probables aunque falte una verdadera demostración, pues aún cuando
    se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una
    nueva verdad.”
    Christian Goldbach, 1742 en carta a Leonhard Euler.
    RESUMEN
    Una pequeña investigación sobre la raíz cuadrada como concepto fundamental
    dentro del ejercicio y el papel de los matemáticos, abordar los procesos dirigidos a
    posicionar el conocimiento para su uso social dentro de una concepción
    matemática que aproveche la variación y el cambio. Una explicación más sencilla

    para abordar las funciones notables o trascendentes. La función raíz cuadrada
    además de incluir la operación inversa de elevar al cuadrado un número siendo
    una construcción real positiva define el concepto de raíz aritmética, más allá,
    especifica sobre un plano una grafica que se ajusta al concepto estricto de función.

    Históricamente apareció en la geometría de los babilonios y bajo el estudio de la
    recta, de triángulos y rectángulos ya sabían calcular raíces cuadradas que más
    tarde los griegos apuntalarían en la escuela de Pitágoras, ya en el uso y desarrollo

    Monografias.com

    de ecuaciones cuadráticas. El presente ensayo incluye enunciados, demostraciones

    y curiosidades propias de los números primos relacionados con el mundo de la
    raíz cuadrada como complemento al trabajo publicado en el portal web
    “monografías.com” sobre “Orden total en el conjunto de los números enteros”.
    PALABRAS CLAVES: Raíz cuadrada, numero primo, función, aritmética, valor
    absoluto, múltiplo, paradoja fuerte de Goldbach, descomposición factorial,

    cuadrado perfecto
    ABSTRACT
    This is a little research on the square root as a fundamental concept in the exercise
    and the role of mathematicians, addressing processes to position the knowledge to
    social use within a mathematical concept that leverages the variation and change.
    A simpler explanation for the remarkable address or transcendental functions. The

    square root function also include inverse of squaring numbers being a real positive
    construction defines arithmetic root, beyond specifies a graph on a plane that fits
    the narrow concept of function. Historically appeared on the geometry of the
    Babylonians and under the study of the line, triangles and rectangles already knew

    calculate square roots later the Greeks would be backed in the school of
    Pythagoras, and in the use and development of quadratic equations. This essay
    includes statements, demonstrations and own curiosities of primes related to the
    world of the square root complementing work published on the web portal

    "monografías.com" on "Order Total in the set of integers".
    KEYWORDS: Square root, prime number, function, arithmetic, absolute value,

    multiple, strong paradox Goldbach, factorization, perfect square.

    Monografias.com

    1. INTRODUCCIÓN
    El uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas impone un
    ritmo un poco acelerado en los métodos de aprendizaje, a la par de la innovación

    se debe mezclar la calidad y el sustento de la experiencia con efectos que sean
    realmente permanentes para quienes aprenden las ciencias de los números. El
    complejo manejo de ciertos elementos del cálculo matemático conlleva a
    perfeccionar los niveles del tecnicismo y adaptarlos a las etapas a partir de
    concepciones bien claras y lo más sencillas posibles.
    La presente exposición de formas curiosas en el comportamiento y las variaciones

    de los números primos permitirán a otros investigadores innovar métodos en la
    búsqueda y el atrevimiento en la demostración de los grandes problemas y
    paradojas en muchos órdenes y disciplinas.
    La sucesión de números naturales que al parecer no tuviesen un orden aparente y
    cuya frecuencia disminuye a medida que se avanza en la sucesión es una

    característica aparente de los números primos, ya en épocas remotas prolíficos
    matemáticos han abordado interesantes paradojas, enunciados y demostraciones;
    desde Euclides, Mersenne, Fermat, Pascal, Euler, Goldbach, Legendre, Cantor,
    Schnirelmann,Vinagodrov,Jingrun,Brocard,Cramer,Gauss,Dirichlet,
    Chebyshev,Riemann, Hadamard, Vallée-Poussin,Hardy,Littlewood,Ramanujan y
    tantos más; todos en cada lugar y tiempo han otorgado una contribución
    interesante en la teoría numérica.
    2. MATERIALES Y METODOS
    La teoría de números y las diferentes propiedades de las raíces en perfecta
    armonía con la aritmética aportan el conocimiento para desarrollar importantes
    iniciativas que comprometen a seguir profundizando en el mundo de las
    heterogéneas relaciones en el conjunto de los números primos.

    Monografias.com

    .
    .
    +1
    3. RESULTADOS

    Números y raíces cuadradas exactas:
    Enunciado 1. Sean cuatro números consecutivos a< b< c< d; a,b,c,d ? N y

    a,b,c,d? 0; tal que b.c – 1 = a.d + 1 ; se cumple:

    v . . . + 1 = | . – 1|
    Demostración.
    Sea
    b.c – 1 = a.d + 1
    (por hipótesis)
    . –1
    . =( .
    + 1) .
    (multiplicamos por el factor b.c >0
    a ambos lados de la ecuación)
    . . . – . = . . . + .
    (por propiedad distributiva de la
    multiplicación con respecto a la

    suma de naturales)
    – . – . = . . .
    (por propiedad asociativa de la suma de naturales)
    –2 . + 1 = . . .
    +1
    (sumamos 1 en ambos miembros de la

    ecuación)
    ( . ) –2 . +1 = . . . +1

    ( . – 1) = . . . + 1
    (potenciación en naturales)

    (por producto notable, trinomio

    cuadrado perfecto)
    ( . – 1) =v . . . + 1

    | . – 1|=v . . .
    (introducimos ambos miembros de la ecuación

    en una raíz cuadrada)

    (por propiedad de valor absoluto)
    Lo que reproduce la tesis del enunciado.

    Ejemplo:
    a= 2, b=3, c=4, d=5

    v . . . + 1 = | . – 1|

    v2.3.4.5 + 1 =v120 + 1 =v121 = 11
    3.4-1 = 12-1 = 11

    Monografias.com

    Conclusión.
    Del Enunciado 1. se desprende que:
    Enunciado 1.1. Sean cuatro números consecutivos múltiplos de dos, a< b< c< d;
    a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al cuadrado

    perfecto, tal que

    v . . . + 2 = . – v2

    Enunciado 1.2. Sean cuatro números consecutivos, múltiplos de tres a< b< c< d;
    a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al cuadrado

    perfecto, tal que:

    v . . . + 3 = . – v3

    Por tanto:
    Enunciado 2. Sean cuatro números consecutivos, múltiplos de cualquier primo

    a< b< c< d; a,b,c,d ? N y a,b,c,d? 0; existe un número k ? N más próximo al

    cuadrado perfecto, tal que:
    v . . . +
    = .
    -v
    Enunciado 3. Sean dos números primos consecutivos y mayores que dos a< b;
    a,b ? N; existe un número k ? N más próximo al cuadrado perfecto, tal que:
    v . +
    =
    Ejemplo:
    a=919

    b=929

    v919.929 + 5 =v853751 + 25=v853776= (919+929) / 2 =1848/2 = 924

    Monografias.com

    y
    Enunciado 4. Sean cinco números naturales consecutivos a,b,c.d,e ? N,
    a,b,c.d,e? 0; se cumple que:

    a.e + 3 = b.d
    Ejemplo:
    Sean a=1, b=2, c=3, d=4, e=5
    1.5+3 = 2.4

    5+3 = 8
    Dentro de la paradoja de Goldbach se puede considerar el siguiente
    planteamiento:
    Si tenemos dos primos
    cuya suma nos da un número par se cumple:
    .
    =
    +
    , donde k es un número natural que completa la suma más
    próxima al cuadrado perfecto.

    Ejemplo:
    ? Sea
    .
    =3

    =
    +
    =13
    v3.13 + 5 = 2v39 + 25=2v64 = 2.8= 3+13= 16
    ? Sea
    = 13
    =13
    v13.13 + 0 =2v169= 2.13 = 13+13 = 26

    Curiosidades:
    Paradoja1:

    v4.5.6 + 456 =v120 + 456 =v576 = 24 la relación entre las cifras es única.
    Descomposición factorial de 120 y 456:
    120=2 . 3. 5

    456=2 .3. 19
    El Máximo Común Divisor MCD(120,456)= 2 .3 =24, el cual coincide con la
    raíz cuadrada planteada de la paradoja.

    Paradoja2:

    v777 + 7 =v784= 4.7 = 28 la secuencia del número 7 es única y su raíz
    cuadrada es un número perfecto.

    Monografias.com





    Paradoja3:
    Dado un número natural par, cualquiera mayor que 8, se puede conseguir al
    menos una pareja de primos que cumpla con la conjetura fuerte de Goldbach
    si :
    Se descompone el número dado en sus factores primos.

    Se resta la columna izquierda menos la columna derecha de factores. Se
    descompone nuevamente el resultado adquirido.

    En el caso de los pares terminados en cero, se le suma 5, se descompone
    factorialmente y se toma el último factor a la izquierda, que se
    constituye en uno de los primos buscados.
    El otro primo lo obtenemos, restando el número dado menos el encontrado

    en el paso anterior. En el caso de presentarse que este último número no
    sea primo le aplicamos el procedimiento de factorización y tomamos el
    último factor primo conseguido (ver ejemplo3).

    Ejemplo1:

    Sea n=12
    Numero

    12

    6

    3

    1

    12+6=18

    18-4=14

    Descomponemos 14

    14
    Factores primos

    2

    2

    3

    2+2=4

    2

    Monografias.com

    7
    7
    1

    7 se constituye en uno de los primos buscados, el otro primo lo obtenemos de la

    resta del número dado 12-7=5; el par Goldbach buscado es (5,7).

    Ejemplo2:
    Sea n=30

    Como este número es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=35
    Numero

    35

    7
    Factores primos

    5

    7
    1

    7 es uno de los primos buscado 7+23 =30; el par Goldbach obtenido es (7,23)

    Ejemplo3:
    Sea n=20
    Como este número es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=25
    Numero

    25

    5
    Factores primos

    5

    5
    1

    5 sería en todo caso el primo buscado, sin embargo 5+15=20, por tanto 15 no es
    primo, ahora factorizamos a 15:

    Monografias.com

    Numero

    15

    3
    Factores primos

    5

    3
    1

    3 es el primo buscado y su pareja es 17; 3+17=20, el par Goldbach obtenido es
    (3,17).

    Ejemplo4:
    Sea n=500
    Es un par terminado en cero, le sumamos 5, ahora n=505
    Numero

    505

    101
    Factores primos

    5

    101
    1

    101 sería en todo caso uno de los primos, pero 101+399=500, luego 399 no es

    primo, ahora factorizamos a 399:
    Numero

    399

    133

    19
    Factores primos

    3

    7

    19
    1

    19+481=500, pero 481 no es primo.

    Finalmente descomponemos a 481:

    Monografias.com

    .
    Numero

    481

    37
    Factores primos

    13

    37
    1

    37+463 =500, 463 es primo; la pareja Goldbach es (37,463)

    Paradoja4:
    Hay números primos que tienen un comportamiento de acuerdo al contenido de
    sus cifras (la inversión de sus cifras terminales) con relación a su cuadrado
    perfecto más cercano.
    = ( +
    )/2
    Ejemplos:

    v113.131 + 81 =v14803 + 3 = 122

    v313.331 + 81 =v103603 + 3 = 322

    v613.631 + 1296 =v386803 + 3 =v386884= 622

    v619.691 + 1296 = 427729 + (2.3) =v429025 = 655

    v919.991 + 1296 = 910729 + (2.3) =v912025 = 955

    4. DISCUSION

    El inmenso potencial matemático que se recoge en el mundo actual para un siglo
    que apenas comienza pretende facilitar el camino de otras disciplinas que cuentan
    con esta laboriosa herramienta. La comprensión de modelos sistemáticos que
    apuntan a la facilitación de las actividades humanas, la recreación y la educación

    con la finalidad de volver más productiva en tiempo y cultura, es quizás el

    Monografias.com

    elemento coadyuvante que motiva a los investigadores a profundizar en las

    diferentes investigaciones. Motiva en sí, las coincidencias y las curiosidades del
    ámbito numérico y de acuerdo a estas inquietantes causalidades se van
    encontrando leyes que enriquecen esta fabulosa ciencia. Se impone este
    complemento como aporte a la exposición pasada referente al Conjunto de los

    Números Primos y en general al Conjunto de los Números enteros como
    propuesta para seguir profundizando en ellas.
    5. REFERENCIAS
    1.- DOMINIO DE FUNCIONES CON RAIZ CUADRADA
    http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/data/docs/Guajardo.pdf
    2.-LAS RAICES CUADRADAS EN LA ANTIGUA BABILONIA
    http://www.ejournal.unam.mx/cns/no86/CNS086000003.pdf
    3.-RAICES CUADRADAS EN CUERPOS PRIMOS DE CARACTERISTICAS
    P
    http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETAMATEMATICA_1968_20_5-6_05.pdf
    4,-SOBRE RAICES Y RADICALES. EFECTO DE DOS CULTURAS DE
    ENSEÑANZAS (ESPAÑA-RUMANIA)
    http://www.uv.es/gomezb/25Sobreraicesyradicales.pdf

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter