Demostración de la Conjetura de Goldbach
Autor: Ramón Ruiz
Barcelona,
España
Email: ramonruiz1742@gmail.com
Enero 2015
Resumen.
Enunciado de la Conjetura de Goldbach: “Todo número par mayor de 2 se puede expresar como la suma de dos números primos”.
Inicialmente, para demostrar esta conjetura se pueden formar dos sucesiones (A y B), diferentes para cada número par, con todos los
números naturales con posibilidades de ser primos que sumados, por parejas, den el número par correspondiente.
El estudio del modo como se emparejan, en general, todos los términos no primos de la sucesión A con términos de la sucesión B, o
viceversa, para obtener el número par, y observando que siempre se forman algunas parejas de primos, nos permite desarrollar una
fórmula, no probabilística, para calcular de un modo aproximado el número de pares de primos que cumplirán la conjetura para un
número par . El resultado de esta fórmula siempre es igual o mayor que 1 y tiende a infinito cuando tiende a infinito lo que
permite afirmar que la Conjetura de Goldbach es verdadera.
En este trabajo se ha usado, aparte de algunos axiomas, el teorema de los números primos enunciado por Carl Friedrich Gauss y el
teorema de los números primos para progresiones aritméticas.
1. Números primos y números compuestos.
Se denomina primo a todo número natural, mayor que 1, que solo tiene dos divisores, el 1 y el propio número.
Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Tal como demostró el matemático griego Euclides, existen infinitos números
primos aunque son más escasos a medida que avanzamos en la recta numérica.
Exceptuando el 2 y el 3, todos los números primos son de la forma (6n + 1) o (6n – 1) siendo n número natural.
Podemos diferenciar a los primos 2, 3 y 5 del resto. El 2 es el primer primo y el único que es par, el 3 es el único de la forma (6n – 3)
y el 5 es el único acabado en 5. Todos los otros primos son impares y su cifra final será 1, 3, 7 o 9.
En contraposición a los números primos, se denomina compuesto a todo número natural que tiene más de dos divisores.
Ejemplos de números compuestos: 4 (divisores 1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6), 15 (1, 3, 5, 15), 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).
Excepto el 1, todo número natural es primo o compuesto. Por convenio, el número 1 no se considera ni primo ni compuesto ya que
solo tiene un divisor. Como no puede cumplir la conjetura, y para esta demostración, incluiremos el 1 en el conjunto de los números
compuestos sin que esta cuestión tenga ninguna relevancia en el desarrollo o en el resultado final.
Podemos clasificar el conjunto de los números primos (excepto 2, 3 y 5) en 8 grupos dependiendo de la situación de cada uno de ellos
respecto a múltiplos de 30, (30 = 2·3·5). Siendo n = 0, 1, 2, 3, 4,…, 8.
30n + 1
30n + 7
30n + 11
30n + 13
30n + 17
30n + 19
30n + 23
30n + 29
Estas expresiones representan todas las progresiones aritméticas de módulo 30, (30n + b), tales que mcd(30, b) = 1 siendo 30 > b > 0.
Estos 8 grupos contienen todos los números primos (excepto 2, 3 y 5). También incluyen el 1 y todos los números compuestos que
sean múltiplos de primos mayores que 5. Como 30 y b son primos entre sí no pueden contener múltiplos de 2 ni de 3 ni de 5.
Lógicamente, a medida que aumenta n disminuye la proporción de primos y aumenta la de compuestos que hay en cada grupo.
Enunciado del teorema de Dirichlet [1]: “Una progresión aritmética (an + b) tal que mcd(a, b) = 1 contiene infinitos números primos”.
Aplicando este teorema a los 8 grupos descritos podemos afirmar que cada uno de ellos contiene infinitos números primos.
También se puede aplicar el teorema de los números primos para progresiones aritméticas [2]: “Para todo módulo a, los números
primos tienden a distribuirse equitativamente entre las diferentes progresiones (an + b) tales que mcd(a, b) = 1”.
Para verificar la precisión de este teorema y mediante un autómata programable (PLC), como los usados para el control automático
de máquinas, he obtenido los siguientes datos:
Hay 50.847.531 primos menores que 109, (2, 3 y 5 no incluidos), distribuidos del siguiente modo:
Grupo
Grupo
Grupo
Grupo
Grupo
Grupo
Grupo
Grupo
(30n + 1)
(30n + 7)
(30n + 11)
(30n + 13)
(30n + 17)
(30n + 19)
(30n + 23)
(30n + 29)
6.355.189
6.356.475
6.356.197
6.356.062
6.355.839
6.354.987
6.356.436
6.356.346
primos
primos
primos
primos
primos
primos
primos
primos
12,49852033 %
12,50104946 %
12,50050273 %
12,50023723 %
12,49979866 %
12,49812307 %
12,50097276 %
12,50079576 %
50.847.531 / 6.355.189 = 8,0009471
50.847.531 / 6.356.475 = 7,999328401
50.847.531 / 6.356.197 = 7,999678267
50.847.531 / 6.356.062 = 7,999848176
50.847.531 / 6.355.839 = 8,000128858
50.847.531 / 6.354.987 = 8,001201419
50.847.531 / 6.356.436 = 7,999377481
50.847.531 / 6.356.346 = 7,999490745
Podemos comprobar que la desviación máxima para 109, (entre 6.354.987 y el valor medio 6.355.941), es menor que 0,01502 %.
Deduzco que, en cumplimiento de este teorema, la desviación máxima tiende a 0 % a medida que analizamos números más grandes.
1
2. Casos especiales de la conjetura.
Como hemos visto, los números 2, 3 y 5 son diferentes del resto de primos y no están incluidos en los 8 grupos descritos.
Estudiaremos, como casos especiales, los números pares 4, 6, 8, 10, 12 y 16 cuyas soluciones para cumplir la conjetura contienen el
2, el 3 o el 5. Escribiremos todas las parejas posibles para estos números pares resaltando en negrita los números primos.
4=1+ 3 = 2 + 2
4= 2 + 2
(única con el primo 2)
6=1+ 5 = 2 +4= 3 + 3
8=1+ 7 = 2 +6= 3 + 5 =4+4
10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5
12 = 1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7 = 6 + 6
16 = 1 + 15 = 2 + 14 = 3 + 13 = 4 + 12 = 5 + 11 = 6 + 10 = 7 + 9 = 8 + 8
6= 3 + 3
8= 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
Comprobamos que los pares 4, 6, 8, 10, 12 y 16 se pueden expresar como suma de dos primos. Para el resto de números pares se debe
demostrar o verificar que cumplen la conjetura mediante una o varias parejas de primos que no contengan ni el 3 ni el 5.
3. Clasificación de los números pares.
Del mismo modo que hemos hecho con los números primos, dividiremos el conjunto de todos los números pares (2, 4, 6, 8, 10,…) en
15 grupos dependiendo de la situación de cada uno de ellos respecto a múltiplos de 30. Siendo n = 0, 1, 2, 3, 4,…, 8.
30n + 2
30n + 4
30n + 6
30n + 8
30n + 10
30n + 12
30n + 14
30n + 16
30n + 18
30n + 20
30n + 22
30n + 24
30n + 26
30n + 28
30n + 30
4. Combinar grupos de números pares y grupos de números primos.
Ahora reuniremos los grupos de números pares y los de números primos para expresar las 36 combinaciones posibles de la conjetura
de Goldbach. Podemos comprobar que cada grupo de números pares tiene sus propias combinaciones diferentes del resto.
30n1 + 2 = (30n2 + 1) + (30n3 + 1) = (30n4 + 13) + (30n5 + 19)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 + 1
Comprobamos que para los números pares (30n + 2) resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Para el número 2, solo se puede aplicar la combinación 2 = 1 + 1. Este número par está excluido en el enunciado de la conjetura.
30n1 + 4 = (30n2 + 11) + (30n3 + 23) = (30n4 + 17) + (30n5 + 17)
Siendo: n1 = n2 + n3 + 1 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Estas combinaciones no se pueden aplicar al número 4 por lo que, tal como he indicado, es considerado caso especial, (4 = 2 + 2).
30n1 + 6 = (30n2 + 7) + (30n3 + 29) = (30n4 + 13) + (30n5 + 23) = (30n6 + 17) + (30n7 + 19)
Siendo: n1 = n2 + n3 + 1 = n4 + n5 + 1 = n6 + n7 + 1
Resultan 3 combinaciones diferentes usando 6 grupos de primos.
Estas combinaciones no se pueden aplicar al número 6 por lo que es considerado caso especial, (6 = 3 + 3).
30n1 + 8 = (30n2 + 1) + (30n3 + 7) = (30n4 + 19) + (30n5 + 19)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Para el número 8, solo la combinación 8 = 1 + 7 que no cumple la conjetura por lo que el 8 es considerado caso especial, (8 = 3 + 5).
30n1 + 10 = (30n2 + 11) + (30n3 + 29) = (30n4 + 17) + (30n5 + 23)
Siendo: n1 = n2 + n3 + 1 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 4 grupos de primos.
Estas combinaciones no se pueden aplicar al número 10 por lo que es considerado caso especial, (10 = 3 + 7 = 5 + 5).
30n1 + 12 = (30n2 + 1) + (30n3 + 11) = (30n4 + 13) + (30n5 + 29) = (30n6 + 19) + (30n7 + 23)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 + 1 = n6 + n7 + 1
Resultan 3 combinaciones diferentes usando 6 grupos de primos.
Para el número 12, solo la combinación 12 = 1 + 11 que no cumple la conjetura por lo que es considerado caso especial, (12 = 5 + 7).
2
30n1 + 14 = (30n2 + 1) + (30n3 + 13) = (30n4 + 7) + (30n5 + 7)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
30n1 + 16 = (30n2 + 17) + (30n3 + 29) = (30n4 + 23) + (30n5 + 23)
Siendo: n1 = n2 + n3 + 1 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Estas combinaciones no se pueden aplicar al número 16 por lo que es considerado caso especial, (16 = 3 + 13 = 5 + 11).
30n1 + 18 = (30n2 + 1) + (30n3 + 17) = (30n4 + 7) + (30n5 + 11) = (30n6 + 19) + (30n7 + 29)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 = n6 + n7 + 1
Resultan 3 combinaciones diferentes usando 6 grupos de primos.
Para el número 18, solo se pueden aplicar las combinaciones 18 = 1 + 17 = 7 + 11.
30n1 + 20 = (30n2 +1) + (30n3 + 19) = (30n4 + 7) + (30n5 + 13)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 4 grupos de primos.
30n1 + 22 = (30n2 + 11) + (30n3 + 11) = (30n4 + 23) + (30n5 + 29)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
(También: 18 = 5 + 13).
Para el número 22, solo se puede aplicar la combinación 22 = 11 + 11.
(También: 22 = 3 + 19 = 5 + 17).
30n1 + 24 = (30n2 + 1) + (30n3 + 23) = (30n4 + 7) + (30n5 + 17) = (30n6 + 11) + (30n7 + 13)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 = n6 + n7
Resultan 3 combinaciones diferentes usando 6 grupos de primos.
30n1 + 26 = (30n2 + 7) + (30n3 + 19) = (30n4 + 13) + (30n5 + 13)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
30n1 + 28 = (30n2 + 11) + (30n3 + 17) = (30n4 + 29) + (30n5 + 29)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 + 1
Resultan 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Para el número 28, solo se puede aplicar la combinación 28 = 11 + 17.
(También: 28 = 5 + 23).
30n1 + 30 = (30n2 + 1) + (30n3 + 29) = (30n4 + 7) + (30n5 + 23) = (30n6 + 11) + (30n7 + 19) = (30n8 + 13) + (30n9 + 17)
Siendo: n1 = n2 + n3 = n4 + n5 = n6 + n7 = n8 + n9
Resultan 4 combinaciones diferentes usando los 8 grupos de primos disponibles.
Observamos que los números pares no múltiplos de 6 ni de 10 tienen 2 combinaciones diferentes usando 3 grupos de primos.
Los múltiplos de 6, (30n + 6), (30n + 12), (30n + 18) y (30n + 24) tienen 3 combinaciones diferentes usando 6 grupos de primos.
Los múltiplos de 10, (30n + 10) y (30n + 20) tienen 2 combinaciones diferentes usando 4 grupos de primos.
Los múltiplos de 30, (30n + 30), tienen 4 combinaciones diferentes usando los 8 grupos de primos disponibles.
Es lógico pensar que, dado un número par, el número de parejas de primos (también llamadas particiones de Goldbach) que
cumplirán la conjetura estará en relación con la cantidad de grupos de primos usados (3, 4, 6 o 8). Ejemplos con valores reales:
3.600
3.602
125 particiones
48 particiones
8 grupos
3 grupos
Múltiplo de 30
3.606
3.610
90 particiones
66 particiones
6 grupos
4 grupos
Múltiplo de 6
Múltiplo de 10
Como dato sorprendente podemos comprobar que, debido al número de grupos de primos usados, números pares consecutivos
pueden tener una diferencia notable en el número de particiones. Ejemplo: 3.600 tiene 125 particiones y 3.602 solo 48.
5. Ejemplo.
Se puede aplicar lo descrito hasta ahora al número 784 sirviendo como ejemplo para cualquiera de las 36 combinaciones expuestas y
para cualquier número par aunque sea muy grande. Usaré la lista de los números primos menores que 1.000.
784 = 30·26 + 4 = (30n2 + 11) + (30n3 + 23) = (30n4 + 17) + (30n5 + 17)
siendo: 26 = n2 + n3 + 1 = n4 + n5 + 1
Para la combinación 784 = (30n2 + 11) + (30n3 + 23) escribiremos la sucesión A de todos los números (30n2 + 11) desde 0 a 784.
Escribiremos también la sucesión B de todos los números (30n3 + 23) desde 784 a 0. Resaltamos en negrita los números primos.
3
A
B
A
B
11 – 41 – 71 -101-131-161-191-221-251-281-311-341-371-401-431-461-491-521-551-581-611-641-671-701-731-761
773-743-713-683-653-623-593-563-533-503-473-443-413-383-353-323-293-263-233-203-173-143-113 – 83 – 53 – 23
La segunda combinación, 784 = (30n4 + 17) + (30n5 + 17), usa el mismo grupo de primos para las dos sucesiones.
Escribiremos la sucesión A de todos los números (30n4 + 17) desde 0 a 392 (mitad de 784).
Escribiremos también la sucesión B de todos los números (30n5 + 17) desde 784 a 392.
17 – 47 – 77- 107-137-167-197-227-257-287-317-347-377
767-737-707-677-647-617-587-557-527-497-467-437-407
Ordenados de esta manera, cada término de una sucesión A se puede sumar con su pareja de la sucesión B para obtener 784.
En las 4 sucesiones anteriores están subrayadas las 18 parejas de primos que cumplen la conjetura para el número 784.
El estudio de las sucesiones A y B, individual y en conjunto, es la base de esta demostración.
Analizaré las sucesiones completas, (A desde 0 a y B desde a 0). Para la fórmula final se tendrán en cuenta las sucesiones medias.
Para calcular el número de términos de cada una de las sucesiones A o B recordemos que son progresiones aritméticas de módulo 30.
Número de términos de cada sucesión A o B para el número par . Obviamente es igual al número de parejas que se forman.
(26 términos en cada sucesión y 26 parejas que se forman para
Analizando, con carácter general, la fórmula anterior tenemos:
Número de términos y de parejas = resultado fórmula
Número de términos y de parejas = parte entera resultado
Número de términos y de parejas = (parte entera resultado) + 1
= 784).
si es múltiplo de 30
si n1 = n2 + n3 + 1
si n1 = n2 + n3
6. La conjetura aplicada a números pares pequeños.
Según hemos visto, los números compuestos presentes en los 8 grupos de primos serán múltiplos solamente de primos mayores que 5
(primos 7, 11, 13, 17, 19, 23,…). Indico a continuación los primeros números compuestos que aparecen en ellos.
49 = 72
77 = 7·11
91 = 7·13
119 = 7·17
121 = 112
133 = 7·19
143 = 11·13
161 = 7·23
169 = 132
Y así sucesivamente formando productos, de dos o más factores, con primos mayores que 5.
De lo expuesto deducimos que para números pares menores que 49, todos los términos de las sucesiones A-B correspondientes serán
números primos (excepto el 1) y todas las parejas cumplirán la conjetura de Goldbach (excepto las que contengan el 1).
Escribimos todas las parejas entre los términos de las sucesiones A-B de números pares menores que 49 (excepto casos especiales).
14 = 1 + 13 = 7 + 7
18 = 1 + 17 = 7 + 11
20 = 1 + 19 = 7 + 13
22 = 11 + 11
24 = 1 + 23 = 7 + 17 = 11 + 13
26 = 7 + 19 = 13 + 13
28 = 11 + 17
30 = 1 + 29 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17
34 = 11 + 23 = 17 + 17
36 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19
38 = 1 + 37 = 31 + 7 = 19 + 19
40 = 11 + 29 = 17 + 23
42 = 1 + 41 = 31 + 11 = 13 + 29 = 19 + 23
44 = 1 + 43 = 31 + 13 = 7 + 37
46 = 17 + 29 = 23 + 23
48 = 1 + 47 = 31 + 17 = 7 + 41 = 37 + 11 = 19 + 29
32 = 1 + 31 = 13 + 19
Por otro lado, observamos que en las sucesiones A-B completas del número 784, usado como ejemplo, predominan los números
primos (17 primos y 9 compuestos en la sucesión A y 18 primos y 8 compuestos en la B).
Este hecho se manifiesta para números pares pequeños (hasta
4.500).
Por lo tanto, para números pares menores que 4.500 está asegurado el cumplimiento de la conjetura de Goldbach con las sucesiones
A y B ya que, aún en el caso de que todos los números compuestos estén emparejados con números primos, siempre sobrarán, en las
dos sucesiones, algunos primos que formarán parejas entre ellos. Aplicando este razonamiento al número 784 tendríamos:
17 – 8 = 18 – 9 = 9 parejas de primos como mínimo (en el capítulo anterior podemos comprobar que son 12 parejas reales).
4
A
B
7. Aplicando el razonamiento lógico a la conjetura.
Las sucesiones A y B están formadas por términos que pueden ser números compuestos o números primos que forman parejas entre
ellos. Para diferenciar, definiré como compuesto libre aquel que no está emparejado con otro compuesto por lo que su pareja será un
número primo de la otra sucesión. Por lo tanto, las parejas entre los términos de las sucesiones A-B estarán formadas por:
(Número compuesto sucesión A) + (Número compuesto sucesión B)
(Número compuesto libre de A o de B) + (Número primo de B o de A)
(Número primo sucesión A) + (Número primo sucesión B)
(parejas CC)
(parejas CP-PC)
(parejas PP)
Sustituyamos los números primos por P y los compuestos por C en las sucesiones A-B del número 784 usado como ejemplo.
P P P
P P C
P P
P P
C P
C P
C P
P C
P P C C P
P C P C P
P P P P C C
P C P P P C
C P
P C
C P C P
P P P P
El número de parejas primo-primo (PPP) que se formen dependerá del número de compuestos (libres) que estén emparejados con
primos de la otra sucesión. Con carácter general, se cumplirá el siguiente axioma:
PPP = (Nº de primos sucesión A) – (Nº de compuestos libres suces. B) = (Nº de primos suces. B) – (Nº de compuestos libres suces. A)
Para el número 784:
PPP = 17 – 5 = 18 – 6 = 12
parejas de primos en las sucesiones A-B.
Considero que este axioma es perfectamente válido aunque sea muy simple y “evidente”. Se usará más adelante en la demostración.
Teniendo en cuenta el axioma anterior, deduzco que siempre se deben formar las suficientes parejas de números compuestos entre las
dos sucesiones para que el número de compuestos libres de la sucesión A no sea mayor que el número de primos de la B.
Inversamente, el número de compuestos libres de la sucesión B no puede ser mayor que el número de primos de la A.
Esto es especialmente importante para sucesiones A-B de números pares muy grandes en las que la proporción de números primos es
mucho menor que la de compuestos.
Esta cuestión se verá con más detalle cuando se aplique el álgebra a las sucesiones A-B.
Analicemos, escuetamente, como se forman las diferentes clases de parejas entre los términos de las sucesiones A-B.
Un número compuesto de la sucesión A estará emparejado con un compuesto de la sucesión B si ambos, como pareja, cumplen unas
condiciones que dependerán de las características del número par (si es una potencia de 2 o múltiplo de una potencia de 3 o de 5 o
múltiplo de uno o varios primos mayores que 5, etc.).
Los números compuestos de cada sucesión que no consigan un compuesto de la otra para cumplir las condiciones requeridas estarán
emparejados con un número primo (con el cual sí que las cumplirán).
Finalmente, los números primos sobrantes de las dos sucesiones formarán las parejas que cumplirán la conjetura.
Esta cuestión se verá con más detalle en el próximo capítulo.
Con lo descrito anteriormente se puede idear un razonamiento lógico que permita deducir que la conjetura de Goldbach es verdadera.
Tal como he indicado, el cumplimiento de la conjetura está asegurado para números pares pequeños (menores que 4.500) ya que en
las sucesiones A-B correspondientes predominan los números primos. Por lo tanto, en estas sucesiones encontraremos parejas PP
(por haber mayoría de primos) y si hay números compuestos, parejas CC y parejas CP-PC.
Si verificamos números cada vez más grandes notamos que ya predominan los números compuestos y disminuye la proporción de
primos. Supongamos que hay un número par suficientemente grande que no cumple la conjetura. En este supuesto, con todas las
sucesiones A-B de este número (recordemos, 2, 3 o 4 combinaciones de grupos de primos dependiendo del número par) solo
podríamos formar parejas CC y parejas CP-PC entendiendo que todos los números compuestos libres de cada combinación A-B se
emparejarían con todos los números primos de la misma combinación con una extraordinaria precisión matemática.
¿Qué pasará, entonces, para números pares mayores que el que, supuestamente, no cumple?
Podemos suponer que ya no se cumplirá la conjetura a partir del primer par que no la cumpla pero no es posible porque siempre habrá
números primos mayores que él y que sumados a otros primos nos darán números pares más grandes que sí que la cumplirán.
Por otro lado tenemos que a medida que aumenta , aumenta la proporción de números compuestos y disminuye la de primos por lo
que podríamos suponer que, para números muy grandes, algunos números compuestos se quedaran sin pareja por no haber suficientes
primos, lo cual, evidentemente, no es posible porque a cada término de una sucesión A le corresponde una pareja en la B y viceversa.
Al no ser posible los dos supuestos anteriores he de concluir, sin que sirva como demostración, que no encontraremos un número par
que no la cumpla. Por lo tanto, deduzco que la Conjetura de Goldbach es verdadera.
Más adelante reforzaré esta deducción mediante el desarrollo de una fórmula para calcular el número aproximado de particiones para
un número par .
5
A
B
= 22,62
.
que estén
8. Estudiando cómo se forman las parejas entre los términos de las sucesiones A-B.
Analizaré cómo se forman las parejas compuesto-compuesto con las sucesiones A y B. Cuanto mayor es la proporción de parejas CC
quedan menos compuestos libres que necesiten un primo como pareja y, por lo tanto, habrá más números primos para emparejarse.
El secreto de la Conjetura de Goldbach está en el número de parejas compuesto-compuesto que se forman con las sucesiones A y B.
Para la siguiente exposición consideremos m número natural no múltiplo de 2 ni de 3 ni de 5 y j número natural (incluido el 0).
Supongamos que el número par
al que aplicamos la conjetura sea múltiplo del primo 7, ( = 7q siendo q número par).
En este caso, cualquier múltiplo de 7 (7m1) de la sucesión A tendrá como pareja a un múltiplo de 7 (7m2) de la sucesión B de modo
que la suma de los dos números cumpla la condición de ser múltiplo de 7 (7q) tal como hemos supuesto para .
Ampliando este axioma, se puede afirmar que todos los múltiplos de 7 (7m1) (incluido el primo 7 si lo hubiera) de la sucesión A
estarán emparejados con todos los múltiplos de 7 (7m2) (incluido el primo 7 si lo hubiera) de la sucesión B.
= 7q = 7m1 + 7m2 = 7(m1 + m2)
siendo: q = m1 + m2
Apliquemos lo anterior al número 784 = 7·112. Sirve como ejemplo para cualquier número par múltiplo de 7 aunque sea muy grande.
Escribimos las sucesiones A-B correspondientes subrayando los múltiplos de 7.
11 – 41 – 71 -101-131-161-191-221-251-281-311-341-371-401-431-461-491-521-551-581-611-641-671-701-731-761
773-743-713-683-653-623-593-563-533-503-473-443-413-383-353-323-293-263-233-203-173-143-113 – 83 – 53 – 23
Comprobamos:
784 = 7·112 = 7m1 + 7m2 = 161 + 623 = 371 + 413 = 581 + 203
siendo: 112 = 23 + 89 = 53 + 59 = 83 + 29
Observamos que las parejas de múltiplos de 7 se pueden “tachar” de las sucesiones A-B sin afectar a las parejas de primos.
Igualmente pasaría si el número par fuera múltiplo de cualquier otro primo mayor que 5 y menor que .
Matemáticamente, son suficientes los primos menores que
para definir a todos los múltiplos de las sucesiones A-B.
Si el número par fuera múltiplo de varios primos mayores que 5, se formarían más parejas CC quedando menos compuestos libres lo
cual daría más posibilidades a los números primos para emparejarse entre ellos. Por ejemplo, el número 2.002 = 2·7·11·13 tiene 44
particiones mientras que el número 2.048 = 211, que es mayor, solo tiene 25. En el caso hipotético que el número par fuera múltiplo
de todos los primos menores que
, (por supuesto, no es posible), no quedaría ningún compuesto libre y, por lo tanto, todos los
primos mayores que
de las sucesiones A-B se emparejarían entre sí.
El caso más desfavorable es cuando el número par no sea múltiplo de primos mayores que 5. Ejemplo: 512 = 29
Para estos números pares, y siguiendo el orden de los números primos (7, 11, 13, 17, 19,…, anterior a ), podemos anotar:
= 7r + a
= 11s + b
= 13t + c
= 17u + d
= 19v + e
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
r = número natural
s = número natural
t = número natural
u = número natural
v = número natural
a = número natural < 7
b = número natural < 11
c = número natural < 13
d = número natural < 17
e = número natural < 19
512 = 7·73 + 1
512 = 11·46 + 6
512 = 13·39 + 5
512 = 17·30 + 2
512 = 19·26 + 18
r = 73
s = 46
t = 39
u = 30
v = 26
a =1
b =6
c =5
d =2
e = 18
Y así sucesivamente hasta el primo anterior a
En este caso, cualquier múltiplo de 7 (7m11) de la sucesión A tendrá como pareja a un término (7j21 + a) de la sucesión B de modo
que la suma de los dos números cumpla la condición (7r + a) tal como se ha supuesto para .
Inversamente, cualquier término (7j11 + a) de la sucesión A tendrá como pareja a un múltiplo de 7 (7m21) de la sucesión B de modo
que, igualmente, la suma de los dos números cumpla la condición (7r + a).
Ampliando este axioma, se puede afirmar que todos los múltiplos de 7 (7m11) (incluido el primo 7 si lo hubiera) de la sucesión A
estarán emparejados con todos los términos (7j21 + a) de la sucesión B.
Inversamente, todos los términos (7j11 + a) de la sucesión A estarán emparejados con todos los múltiplos de 7 (7m21) (incluido el
primo 7 si lo hubiera) de la sucesión B.
Aplicando el axioma anterior a todos los primos, desde el 7 hasta el anterior a , se puede afirmar que todos los grupos de múltiplos
7m11, 11m12, 13m13, 17m14,… (incluidos los primos menores que que estén presentes) de la sucesión A estarán emparejados, grupo
con grupo, con todos los grupos de términos (7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… de la sucesión B.
Inversamente, todos los grupos de términos (7j11 + a), (11j12 + b), (13j13 + c), (17j14 + d),… de la sucesión A estarán emparejados,
grupo con grupo, con todos los grupos de múltiplos 7m21, 11m22, 13m23, 17m24,… (incluidos los primos menores que
presentes) de la sucesión B.
6
.
A
B
A
B
.
.
.
).
).
).
).
= 7r + a = 7m11 + (7j21 + a) = 7(m11 + j21) + a
= 11s + b = 11m12 + (11j22 + b) = 11(m12 + j22) + b
= 13t + c = 13m13 + (13j23 + c) = 13(m13 + j23) + c
= 17u + d = 17m14 + (17j24 + d) = 17(m14 + j24) + d
= 7r + a = (7j11 + a) + 7m21 = 7(j11 + m21) + a
= 11s + b = (11j12 + b) + 11m22 = 11(j12 + m22) + b
= 13t + c = (13j13 + c) + 13m23 = 13(j13 + m23) + c
= 17u + d = (17j14 + d) + 17m24 = 17(j14 + m24) + d
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
siendo:
r = m11 + j21
s = m12 + j22
t = m13 + j23
u = m14 + j24
r = j11 + m21
s = j12 + m22
t = j13 + m23
u = j14 + m24
Y así sucesivamente hasta el primo anterior a
Apliquemos lo anterior al número 512 = 7·73 + 1 = 11·46 + 6 = 13·39 + 5 = 17·30 + 2 = 19·26 + 18.
Sirve como ejemplo para cualquier número par aunque sea muy grande. Escribimos las sucesiones A-B correspondientes.
13 – 43 – 73- 103-133-163-193-223-253-283-313-343-373-403-433-463-493
499-469-439-409-379-349-319-289-259-229-199-169-139-109 – 79 – 49 – 19
Subrayados los múltiplos 7m11 en A
Subrayados los términos (7j21 + 1) en B
Comprobamos:
512 = 7·73 + 1 = 7m11 + (7j21 + 1) = 133 + 379 = 343 + 169
siendo: 73 = 19 + 54 = 49 + 24
13 – 43 – 73- 103-133-163-193-223-253-283-313-343-373-403-433-463-493
499-469-439-409-379-349-319-289-259-229-199-169-139-109 – 79 – 49 – 19
Subrayados los términos (7j11 + 1) en A
Subrayados los múltiplos 7m21 en B
Comprobamos:
512 = 7·73 + 1 = (7j11 + 1) + 7m21 = 43 + 469 = 253 + 259 = 463 + 49
siendo: 73 = 6 + 67 = 36 + 37 = 66 + 7
Aplicando el mismo procedimiento para los primos 11, 13, 17 y 19 tendremos:
Para el primo 11:
Para el primo 13:
Para el primo 17:
Para el primo 19:
512 = 11·46 + 6 = 11m12 + (11j22 + 6) = 253 + 259
512 = 11·46 + 6 = (11j12 + 6) + 11m22 = 193 + 319
512 = 13·39 + 5 = 13m13 + (13j23 + 5) = 13 + 499 = 403 + 109
512 = 13·39 + 5 = (13j13 + 5) + 13m23 = 343 + 169
512 = 17·30 + 2 = 17m14 + (17j24 + 2) = 493 + 19
512 = 17·30 + 2 = (17j14 + 2) + 17m24 = 223 + 289
512 = 19·26 + 18 = 19m15 + (19j25 + 18) = 133 + 379
512 = 19·26 + 18 = (19j15 + 18) + 19m25 = 493 + 19
siendo: 46 = 23 + 23
siendo: 46 = 17 + 29
siendo: 39 = 1 + 38 = 31 + 8
siendo: 39 = 26 + 13
siendo: 30 = 29 + 1
siendo: 30 = 13 + 17
siendo: 26 = 7 + 19
siendo: 26 = 25 + 1
Las 7 parejas de términos de las sucesiones A-B que no aparecen en las expresiones anteriores son las que cumplen la conjetura de
Goldbach resultando ser ambos términos de cada pareja mayores que
Añadimos la pareja de primos (13 + 499) en la que el primer término es un múltiplo de 13 (13m13) menor que
512 = 73 + 439 = 103 + 409 = 163 + 349 = 283 + 229 = 313 + 199 = 373 + 139 = 433 + 79
(También: 512 = 13 + 499)
Se puede comprobar que todos los múltiplos 7m, 11m, 13m, 17m, 19m,… de una sucesión A o B se emparejan con múltiplos o primos
de la otra formando parejas múltiplo-múltiplo, múltiplo-primo y primo-múltiplo de acuerdo con el axioma que se ha definido.
Al final, las parejas primo-primo sobrantes son las que cumplen la conjetura. En estas parejas, los dos términos son mayores que
Analizando con detalle el axioma anterior, se puede afirmar que el número de múltiplos (incluye números compuestos más primos
menores que que estén presentes) que hay en los términos (7j11 + a), (11j12 + b), (13j13 + c), (17j14 + d),… de la sucesión A
siempre es igual al número de múltiplos que hay en los términos (7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… de la B resultando
ser el número de parejas múltiplo-múltiplo que se forman con las dos sucesiones. Considero que esta cuestión es muy importante para
esta conjetura.
La exposición anterior nos ayuda a entender la relación que hay entre la sucesión A y la sucesión B de cualquier número par .
Para apoyar numéricamente los axiomas expuestos, y usando un autómata programable, he obtenido datos sobre las sucesiones A-B
correspondientes a varios números pares (entre 106 y 109) y que se pueden consultar a partir de la página 21.
Son los siguientes:
1. Número de múltiplos 7m, 11m, 13m, 17m,… de cada sucesión (incluye los números compuestos más los primos menores que
2. Número de primos de cada sucesión (solamente los mayores que
3. Número de múltiplos que hay en los términos (7j + a), (11j + b),… de cada sucesión (compuestos más primos menores que
4. Número de primos que hay en los términos (7j + a), (11j + b), (13j + c), (17j + d),… de cada sucesión (mayores que
7
( )
1
( ) >
(a )
(
)
Para
–
–
)
)
)
9. Demostrando la conjetura.
Usaré como punto de partida la primera parte del último axioma del capítulo anterior:
Todos los múltiplos 7m11, 11m12, 13m13, 17m14,… (incluidos los primos menores que que estén presentes) de la sucesión A
estarán emparejados, respectivamente, con todos los términos (7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… de la sucesión B.
En este axioma, el concepto de múltiplo aplicado a los términos de cada sucesión A o B incluye los números compuestos y los primos
menores que
que estén presentes. Según esta definición, todos los términos menores que
de cada sucesión son múltiplos.
Paralelamente, e igualmente en este axioma, el concepto de primo aplicado a los términos de cada sucesión A o B se refiere
solamente a los primos mayores que
que estén presentes en la sucesión.
Por esta cuestión, a partir de este punto, en vez de referirme a números compuestos lo haré a números múltiplos. Según este concepto,
las parejas de términos estarán formadas por múltiplo-múltiplo, múltiplo libre-primo, primo-múltiplo libre y parejas primo-primo.
Número de términos de cada sucesión A o B para el número par . (Página 4)
Símbolo [3] normalmente usado para expresar el número de primos menores o iguales que .
Según el teorema de los números primos [3]:
( )
siendo
ln(x) = logaritmo natural de
Una mejor aproximación para este teorema viene dada por la integral logarítmica desplazada:
( )
Li(
)
Según estas fórmulas, para todo
= 5 se cumple
. Esta desigualdad se hace mayor a medida que aumenta .
Símbolo para expresar el número de primos mayores que
Símbolo para expresar el número de primos mayores que
de la sucesión A para el número par .
de la sucesión B para el número par .
Para valores grandes de
se puede aceptar:
(a )
(b )
siendo 8 el número de grupos de primos (página 1).
= 109 el error máximo de la aproximación anterior es 0,0215 % para el grupo (30n + 19).
Número de múltiplos de la sucesión A para el número par . Incluye el número 1 en el grupo (30n + 1).
Número de múltiplos de la sucesión B para el número par . Incluye el número 1 en el grupo (30n + 1).
Definiremos como fracción k(a ) de la sucesión A o k(b ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos y el número total
de términos de la sucesión. Como la densidad de los números primos disminuye a medida que avanzamos en la recta numérica, los
valores de k(a ) y k(b ) aumentan gradualmente al aumentar y tienden a 1 cuando tiende a infinito.
k(a
–
1 –
Para la sucesión A: k(
1 –
Para la sucesión B: k(
1 –
La cuestión central de este capítulo es desarrollar una fórmula general para calcular el número de múltiplos que hay en los términos
(7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… de la sucesión B y que, cumpliendo el axioma de origen, estarán emparejados con un
número igual de los múltiplos 7m11, 11m12, 13m13, 17m14,… de la sucesión A. Conocido este dato, se puede calcular el número de los
múltiplos de la sucesión A que quedarán libres (y que estarán emparejados con primos de la B). Finalmente, los primos restantes de la
sucesión B estarán emparejados con primos de la A determinando el número de parejas que cumplen la conjetura.
Para ello vamos a estudiar los términos (7j + a), (11j + b), (13j + c), (17j + d),… de la sucesión B de modo general.
El mismo procedimiento se puede aplicar a los términos de la sucesión A si usamos la segunda parte del axioma referido al principio.
Analicemos cómo están distribuidos los números primos entre los términos (7j + a), (11j + b), (13j + c), (17j + d),….
Para ello veamos la relación entre el primo 7 y los 8 grupos de primos sirviendo como ejemplo para cualquier primo mayor que 5.
Veamos cómo son los grupos de múltiplos de 7 (7m) y los grupos (7j + a) en general o sea (7j + 1), (7j + 2), (7j + 3), (7j + 4), (7j + 5) y
(7j + 6) de la sucesión B. Considerando que es un axioma, deduzco que serán progresiones aritméticas de módulo 210, (210 = 7·30).
En las siguientes expresiones, las 8 progresiones aritméticas de módulo 210 se corresponden, respectivamente, con los 8 grupos de
primos de módulo 30. Resalto en negrita el número que identifica a cada uno de estos 8 grupos. Siendo: n = 0, 1, 2, 3, 4,…, 8.
8
.
(210n + 90 + 1), (210n + 7), (210n + 150 + 11), (210n + 120 + 13), (210n + 60 + 17), (210n + 30 + 19), (210n + 180 + 23) y
(210n + 90 + 29) son múltiplos de 7 (7m). Estos grupos no contienen números primos salvo el 7 en el grupo (210n + 7) para n = 0.
(210n + 1), (210n + 120 + 7), (210n + 60 + 11), (210n + 30 + 13), (210n + 180 + 17), (210n + 150 + 19), (210n + 90 + 23) y
(210n + 29) son términos (7j + 1).
(210n + 120 + 1), (210n + 30 + 7), (210n + 180 + 11), (210n + 150 + 13), (210n + 90 + 17), (210n + 60 + 19), (210n + 23) y
(210n + 120 + 29) son términos (7j + 2).
(210n + 30 + 1), (210n + 150 + 7), (210n + 90 + 11), (210n + 60 + 13), (210n + 17), (210n + 180 + 19), (210n + 120 + 23) y
(210n + 30 + 29) son términos (7j + 3).
(210n + 150 + 1), (210n + 60 + 7), (210n + 11), (210n + 180 + 13), (210n + 120 + 17), (210n + 90 + 19), (210n + 30 + 23) y
(210n + 150 + 29) son términos (7j + 4).
(210n + 60 + 1), (210n + 180 + 7), (210n + 120 + 11), (210n + 90 + 13), (210n + 30 + 17), (210n + 19), (210n + 150 + 23) y
(210n + 60 + 29) son términos (7j + 5).
(210n + 180 + 1), (210n + 90 + 7), (210n + 30 + 11), (210n + 13), (210n + 150 + 17), (210n + 120 + 19), (210n + 60 + 23) y
(210n + 180 + 29) son términos (7j + 6).
Comprobamos que los grupos de múltiplos de 7 (7m) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 210,
(210n + b), tales que mcd(210, b) = 7 siendo b menor que 210, múltiplo de 7 y habiendo 8 términos b, uno de cada grupo de primos.
Igualmente comprobamos que los grupos de términos (7j + 1), (7j + 2), (7j + 3), (7j + 4), (7j + 5) y (7j + 6) de la sucesión B se
corresponden con progresiones aritméticas de módulo 210, (210n + b), tales que mcd(210, b) = 1 siendo b menor que 210, no
divisible por 7 y habiendo 48 términos b, 6 de cada grupo de primos.
Finalmente, podemos comprobar que los 56 términos b, (8 + 48), son todos los que hay en los 8 grupos de primos menores que 210.
Aplicando el axioma anterior para todo p (número primo mayor que 5 y menor que ) se puede afirmar que los grupos de múltiplos
de p (pm) de la sucesión B se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = p siendo
b menor que 30p, múltiplo de p y habiendo 8 términos b, uno de cada grupo de primos.
Igualmente se puede afirmar que los grupos de términos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) de la sucesión B se
corresponden con progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = 1 siendo b menor que 30p, no
divisible por p y habiendo 8(p – 1) términos b, (p – 1) de cada grupo de primos.
Finalmente, se puede afirmar que los 8p términos b, (8 + 8(p – 1)), son todos los que hay en los 8 grupos de primos menores que 30p.
Por otro lado, un axioma que se cumple en las sucesiones A o B es que en cada conjunto de p términos consecutivos hay uno de cada
uno de los siguientes grupos: pm, (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) (aunque no necesariamente en este orden).
Ejemplo:
1
(7·0 + 1)
31
(7·4 + 3)
61
(7·8 + 5)
91
7·13
121
(7·17 + 2)
151
(7·21 + 4)
181
(7·25 + 6)
Términos (30n + 1)
Términos 7m y (7j + a)
Por lo tanto, y según este axioma,
será el número de múltiplos de p (pm) y, también, el número de términos de cada uno de los
grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) que hay en cada sucesión A o B.
Este mismo axioma permite afirmar que estos grupos contienen todos los términos de las sucesiones A o B del siguiente modo:
1. Grupo pm: contiene todos los múltiplos de p (incluido el primo p si lo hubiera).
2. Grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 1): contienen todos los múltiplos (excepto los de p) y los primos mayores que
Según se ha descrito, los grupos (pj + 1), (pj + 2), (pj + 3),…, (pj + p – 2) y (pj + p – 1) de la sucesión B (e igualmente de la A) son
progresiones aritméticas de módulo 30p, (30pn + b), tales que mcd(30p, b) = 1.
Aplicando el teorema de los números primos para progresiones aritméticas [2], expuesto en la página 1, a estos grupos se llega a la
conclusión de que todos ellos tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de primos (
para la sucesión B) y, como todos
ellos tienen el mismo número de términos, también tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de múltiplos.
Del mismo modo, podemos aplicar este teorema a términos que pertenezcan a dos o más grupos. Por ejemplo, los términos que estén,
a la vez, en los grupos (7j + a) y (13j + c) se corresponden con progresiones aritméticas de módulo 2730, (2730 = 7·13·30). En este
caso, todos los grupos de una sucesión A o B que incluyen estos términos (72 grupos resultado de combinar las 6 a con las 12 c)
9
)
)
)
.
)
)
)
3. PPP
PPP
tendrán, aproximadamente, la misma cantidad de primos y, como todos ellos tienen el mismo número de términos, también tendrán,
aproximadamente, la misma cantidad de múltiplos.
Según lo descrito, se deduce que de los
términos (7j + a) que hay en la sucesión B,
serán números primos.
El resto de términos serán múltiplos (de primos mayores que 5 excepto del primo 7).
En general, se deduce que de los
términos (pj + h) que hay en la sucesión B,
serán números primos.
El resto de términos serán múltiplos (de primos mayores que 5 excepto del primo p).
Definiremos como fracción k(7 ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos que hay en el conjunto de términos (7j + a)
y el número total de estos.
Aplicando lo anterior para todo p (número primo mayor que 5 y menor que ) definiremos como fracción k(p ) de la sucesión B la
relación entre el número de múltiplos que hay en el conjunto de términos (pj + h) y el número total de estos.
Podemos observar la similitud entre k(b ) y los factores k(7 ), k(11 ), k(13 ), k(17 ),…, k(p ),… por lo que sus fórmulas serán parecidas.
Usaré en vez de = por la imprecisión en el número de primos que hay en cada grupo.
Usando el mismo procedimiento que para obtener k(b ):
k(p
)
1 –
1 –
k(p
)
1 –
Para el primo 7: k(7
1 –
Para el primo 11: k(11
1 –
Para el primo 31: k(31
1 –
Y así sucesivamente hasta el primo anterior a
Si ordenamos estos factores de menor a mayor valor:
k(7 ) < k(11 ) < k(13 ) < k(17 ) < … < k(997 ) < … < k(b
En la fórmula para obtener k(p ) tenemos que
1 por lo que podemos anotar:
k(p
1 –
k(b
Unificaremos todos los factores k(7 ), k(11 ), k(13 ),…, k(p ),… en uno solo, que denominaremos k(j ), y que agrupará a todos ellos.
Aplicando lo descrito, definiremos como fracción k(j ) de la sucesión B la relación entre el número de múltiplos que hay en el
conjunto de todos los términos (7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… y el número total de estos.
Lógicamente, el valor de k(j ) estará determinado por los valores de los factores k(p ) correspondientes a cada uno de los primos
desde el 7 hasta el anterior a .
Resumiendo lo expuesto: una fracción k(j ) de los términos (7j21 + a), (11j22 + b), (13j23 + c), (17j24 + d),… de la sucesión B serán
múltiplos y, cumpliendo el axioma de origen, estarán emparejados con una fracción igual de los múltiplos 7m11, 11m12, 13m13,
17m14,… de la sucesión A.
Expresándolo de un modo sencillo y con carácter general:
Una fracción k(j ) de los múltiplos de la sucesión A tendrán, como pareja, un múltiplo de la sucesión B.
Recordando el axioma de la página 5 y las fórmulas de la página 8 podemos anotar:
1. Número de parejas múltiplo-múltiplo k(j ) (Número de múltiplos sucesión A)
2. Número de múltiplos libres sucesión A (1 – k(j )) (Número de múltiplos sucesión A)
Número real de parejas de primos mayores que
que se forman con las sucesiones A-B
(Número de primos mayores que
sucesión B) – (Número de múltiplos libres sucesión A)
Expresándolo algebraicamente:
PPP
–
– k(j ))
–
Supongamos que pueda existir un número par suficientemente grande que no cumpla la conjetura. En este caso: PPP = 0.
PPP no puede ser negativo ya que el número de primos de la sucesión B no puede ser menor que el de múltiplos libres de la A.
Se puede definir un factor, que denominaré k(0 ), que sustituyendo a k(j ) en la fórmula anterior dé como resultado PPP = 0.
Como concepto, k(0 ) sería el valor mínimo de k(j ) para el cual la conjetura no se cumpliría.
0
–
– k(0 ))
–
– k(0 ))
–
10
