Cuestión de oscilaciones

I.
OBJETIVOS:

· Investigar sobre el movimiento
armónico simple (MAS) de cuerpos
elásticos.

II. MATERIALES Y
EQUIPOS:

· Soporte universal.

· Regla milimetrada.

· Balanza digital.

· Resorte de acero.

· Juego de pesas más porta
pesas.

· Cronometro.

III. FUNDAMENTO
TEORICO:

El movimiento armónico simple (se
abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda
descrito en función del tiempo por una función
armónica (seno o coseno). Si la descripción de un
movimiento requiriese más de una función
armónica, en general sería un movimiento
armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea
rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s.
oscila alejándose y acercándose de un punto,
situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su
posición en función del tiempo con respecto a ese
punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que
actúa sobre la partícula es proporcional a su
desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida
hacia éste.

Cinemática del movimiento
armónico simple:

Evolución en el tiempo del
desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un
movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple es un
movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo
oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en
una dirección determinada, y en intervalos iguales de
tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo
colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila
alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa
de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y
baja.

Es también, el movimiento que
realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra
cuando esta entra en vibración; pero, pongamos
atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el
movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos
definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento
ondulatorio, es el resultado del movimiento global y
simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

En un movimiento armónico simple
la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es
directamente proporcional a su elongación, esto es la
distancia a la que se encuentra ésta respecto a su
posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo
del eje Ox, tomando el origen O en la posición de
equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la
elongación. El signo negativo indica que en todo momento
la fuerza que actúa sobre la partícula está
dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es,
en sentido contrario a su elongación (la "atrae" hacia la
posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el
movimiento armónico simple se define entonces en una
dimensión mediante la ecuación
diferencial

Siendo la masa del cuerpo en
desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente
ecuación donde ? es la frecuencia angular del
movimiento:

La solución de la ecuación
diferencial (2) puede escribirse en la forma

Dónde:

Es la elongación de la
partícula.

es la amplitud del movimiento
(elongación máxima). es la frecuencia
angular es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de
oscilación o vibración (o fase) en el instante
t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de
oscilación puede escribirse como

y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleración de la
partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo
la expresión

Velocidad:

La velocidad se obtiene derivando la
ecuación de la posición obtenida en el apartado
anterior respecto al tiempo:

Aceleración:

La aceleración es la
variación de la velocidad del movimiento respecto al
tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de
la velocidad respecto al tiempo:

Amplitud y fase inicial:

La amplitud A y la fase inicial
se pueden calcular
a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de
los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0
iniciales.

Sumando miembro a miembro las dos
ecuaciones obtenemos

Dividiendo miembro a miembro las dos
ecuaciones obtenemos

Dinámica del movimiento
armónico simple:

En el movimiento armónico simple la
fuerza que actúa sobre el móvil es directamente
proporcional al desplazamiento respecto a su posición de
equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre
dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil
realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa
posición.

Un ejemplo de MAS sería el que
realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso
k sería la constante de elasticidad del
muelle.

Aplicando la segunda ley de newton
tendríamos:

Comparando esta ecuación y la que
teníamos para la aceleración (6) se
deduce:

Esta ecuación nos permite expresar
el periodo (T) del movimiento armónico simple en
función de la masa de la partícula y de la
constante elástica de la fuerza que actúa sobre
ella:

Energía del movimiento
armónico simple:

Energía del movimiento
armónico simple frente a la elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento
armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas.
En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado
energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para
hallar la expresión de la energía potencial, basta
con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible
a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo,
obteniéndose:

La energía potencial alcanza su
máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor
nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el
punto de equilibrio.

La energía cinética
cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la
velocidad:

La energía cinética es nula
en -A o +A (v=0) y el valor máximo se
alcanza en el punto de equilibrio (máxima
velocidad A?).

Como sólo actúan fuerzas
conservativas, la energía mecánica (suma de la
energía cinética y potencial) permanece
constante.

Finalmente, al ser la energía
mecánica constante, puede calcularse fácilmente
considerando los casos en los que la velocidad de la
partícula es nula y por lo tanto la energía
potencial es máxima, es decir, en los puntos
x = – A y x = A. Se obtiene
entonces que,

O también cuando la velocidad de la
partícula es máxima y la energía potencial
nula, en el punto de equilibrio x = 0

IV.
EXPERIMENTO:

A. Montaje:

Montamos todo el equipo como se muestra en
la figura:

B. Procedimiento:

4.1. Utilizamos la balan para determinar
los valores de las masas del resorte y del porta
pesas:

Mresorte= 0.198 Kg

Mporta
pesas=0.05 Kg

4.2. Colgamos de la varilla el resorte y
anotamos su posición inicial: 16.5 cm.

4.3. Seguimos aumentando peso y anotamos
cada valor de este y llenamos la siguiente tabla:

TABLA 1

De:
………………donde X=
elongación media

F=m.a donde: a = 9.8m/s2

4.4. Para hallar K utilizamos:

F=KX………………. donde
X= elongación media

4.5. Para hallar K1 aplicamos:

4.6. De nuestra grafica F versus X
……….K2 = 13.04

4.7. Comprando K1 y K2 es evidente que hay
un margen de error muy

elevado……..…………%E = 40.7
%

4.8. El valor más esperado de la
constante elástica es: K= 17.51

C. Determinación del periodo de
Oscilación:

4.9. El periodo de oscilación se
determina mediante la ecuación:

4.10. Colocamos el porta pesas y anotamos
su masa en la tabla 2. La distancia a su anterior posición
de equilibrio es x= 0.03m.

4.11. Desplazamos verticalmente esta pesa
pequeña una distancia pequeña A= 5 cm y la dejamos
oscilar libremente; el tipo de movimiento que describe es como un
vaivén de arriba hacia abajo y viceversa.

4.12. Calibramos el cronometro y tomamos
nota en la siguiente tabla por cada 10 oscilaciones:

TABLA 2

4.13. Hacemos las gráficas
respectivas T vs m y T2 vs m.

4.14. Ambas graficas son rectas?

Si ambas graficas son rectas por su
dependencia, aunque con cierto margen de error pues vemos que lo
puntos no están casi en la recta.

4.15. Determinamos la frecuencia angular
natural de oscilación mediante la
ecuación:

w = 7.43 Hz.

4.16. ¿Influye el cambio de pesas en
el periodo de oscilación?……….Si, pero lo hace en
mínima proporción reemplazando los dato en la
ecuación vemos que precisamente influye de manera
proporcional (poco a poco).

V. AUTOEVALUACION:

5.1. Comparando los resultados obtenidos en
la determinación de la constante K…….K1
= 21.99 es un resultado basado en un promedio
experimental y K2= 13.04 es un resultado aproximado de
mínimos cuadrados.

5.2. Determinamos el error porcentual en el
periodo calculado y el periodo medido:

De la ecuación:

ü Para el primer dato: T= 0.659 y de
la ecuación 1 obtenemos 0.60 con la ecuación 2
obtenemos el porcentaje de error: %E= 8.9%

ü Para el segundo dato: T= 0.763 y de
la ecuación 1 obtenemos 0.75 con la ecuación 2
obtenemos el porcentaje de error: %E= 1.7%

ü Para el tercer dato: T= 0.910 y de
la ecuación 1 obtenemos 0.90 con la ecuación
2

obtenemos el porcentaje de error: %E=
1.09%

ü Para el cuarto dato: T= 1.055 y de
la ecuación 1 obtenemos 0.973 con la ecuación 2
obtenemos el porcentaje de error: %E= 7.2%

5.3. ¿Hay diferencia? ¿A
qué atribuye esta diferencia?……………Hay una
diferencia mínima debido quizás al mal manejo del
cronometro.

VI.
BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple
http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://html.rincondelvago.com/000

135600.png&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/movimiento-armonico-simple-en-un-resorte.html&usg=

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Autor:

Bart