Del análisis de datos a la inferencia: Reflexiones sobre la formación del razonamiento estadístico

Resumen

La inferencia estadística es uno de
los temas más enseñados, a la vez, peor comprendido
y aplicado a nivel universitario. Recientemente se incluyen
contenidos de inferencia en el Bachillerato, e incluso la
enseñanza secundaria en algunos países, surgiendo
la necesidad de encontrar una transposición
didáctica de estos temas asequible a los alumnos no
universitarios. En esta conferencia se resumen algunas de las
dificultades frecuentes de comprensión de la inferencia
clásica, sugiriendo la importancia de educar el
razonamiento estadístico en forma progresiva, antes de
abordar el estudio formal de la inferencia. Se describen,
asimismo, algunas aproximaciones alternativas a la
enseñanza de la inferencia que pueden contribuir a
la educación de este razonamiento, preparando al
estudiante para una mejor comprensión y aplicación
de la inferencia en la universidad y trabajo futuro.

Palabras clave: inferencia
estadística, dificultades, enfoques alternativos,
enseñanza no universitaria.

Según Hacking (1990), uno de los
descubrimientos decisivos del siglo XX fue la constatación
de que el mundo no es determinista. No sorprende, por tanto, que
la inferencia estadística sea uno de los temas más
enseñados en la universidad, al ser una herramienta
fundamental en la política y administración y en la
investigación en todas las áreas de conocimiento,
pues permite interpretar la información, obtener
predicciones y conclusiones y tomar decisiones
adecuadas.

Por otro lado, en los últimos
años observamos una tendencia creciente a incluir
contenidos de inferencia estadística en el
currículo de matemáticas de los últimos
años de la escuela secundaria y Bachillerato. Por ejemplo,
los estándares americanos NCTM (2000) sugieren que los
estudiantes en los grados 6-8 deben usar las observaciones sobre
las diferencias entre dos o más muestras para
hacer conjeturas sobre las poblaciones correspondientes. En los
grados 9-12 la simulación se debe usar para
explorar la variabilidad de los estadísticos muestrales
(como la media) y comenzar a comprender lo que es la
distribución muestral. En España la especialidad en
Ciencias Sociales del Bachillerato (MEC, 2007) incluye en el
segundo año (alumnos de 17-18 años), los siguientes
contenidos:

Implicaciones prácticas de los
teoremas: Central del límite, de aproximación de la
binomial a la normal y Ley de los grandes
números.

Problemas relacionados con la
elección de las muestras. Condiciones de
representatividad. Parámetros de una población.
Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones
muestrales.

Intervalo de confianza para el
parámetro p de una distribución binomial y
para la media de una distribución normal de
desviación típica conocida.

Contraste de hipótesis para la proporción
de una distribución binomial y para la media o diferencias
de medias de distribuciones normales con desviación
típica conocida.

Estas directrices plantean un
desafío didáctico, pues la investigación nos
alerta que muchos estudiantes, incluso a nivel universitario,
tienen concepciones que les impiden hacer una adecuada
interpretación de los resultados proporcionados por la
inferencia estadística (Vallecillos, 1999; Batanero, 2000;
Castro, Vanhoof, Noortgate, & Onghena, 2007;
Harradine,

Batanero, & Rossman, en prensa).
Igualmente se ha denunciado el uso e interpretación
incorrecta de la inferencia por parte de investigadores a lo
largo de muchos años (por ejemplo, Morrison & Henkel,
1970; Abelson, 1997; Harlow, Mulaik, & Steiger, 1997; Borges,
San Luis, Sánchez, & Cañadas, 2001). Una de las
posibles razones de esta situación es que la
enseñanza es con frecuencia rutinaria, enfatiza las
fórmulas y definiciones sin prestar toda la
atención que requieren las actividades de
interpretación y contexto de donde se tomaron los datos.
Aunque los estudiantes lleguen a dar las definiciones y usar los
algoritmos con competencia aparente, pueden tener dificultades de
comprensión o de conexión de los conceptos
estadísticos fundamentales y no sabrán
elegir el procedimiento que deben aplicar cuando se enfrenten a
un problema real de análisis de
datos.

En este trabajo comenzamos describiendo algunos de los
errores más denunciados en el uso de la inferencia en su
acepción frecuencial. Analizamos seguidamente algunas
ideas que podrían servir para introducción el tema
de forma progresiva y con una menor formalización.
Finalizamos con algunas reflexiones sobre la enseñanza del
tema.

Diferentes
aproximaciones a la inferencia

La enseñanza actual de la inferencia
soslaya la problemática filosófica asociada y las
diversas aportaciones que la estadistica ha proporcionado para
resolver dicha problemática. De este modo, se presenta la
inferencia frecuencial como una metodologia unificada, ocultando
las diferentes aproximaciones y las controversias que dentro de
la misma estadística ha tenido esta metodologia (Batanero,
2000).

Los problemas filosóficos a que
hemos aludido se relacionan con la posibilidad de obtener
conocimiento general (teorías científicas) a partir
de casos particulares (inducción empírica), esto
es, con la posibilidad de justificar el razonamiento inductivo y
sus conclusiones, problema de gran importancia en
las ciencias empiricas. Este problema ha ocupado a los
filósofos y estadísticos por largo
tiempo, sin que se haya obtenido una solución aceptada por
consenso (Rivadulla, 1991, Cabria, 1994).

Popper (1967) propuso que una cierta
teoría puede racionalmente considerarse como cierta frente
a otras con las que se halla en competencia, si, a pesar de
numerosos intentos, no se consigue refutarla. Este autor
sugirió poner a prueba las hipótesis
científicas, mediante experimentos u observaciones y
comparar los patrones deducidos de la teoría con los datos
obtenidos. La teoria seria provisionalmente confirmada si, los
datos recogido siguiesen estos patrones, aunque los datos futuros
podrían contradecirla. En cambio si los datos del
experimento se apartasen del patrón esperado, la
teoría sería refutada, por lo que el rechazo de la
hipotesis tiene mayor fuerza que su
confirmación.

Estas ideas de Popper tuvieron una gran
influencia en el desarrollo de la inferencia estadística,
que fue desarrollada para tratar de apoyar el razonamiento
inductivo, recurriendo a la probabilidad. Ya que mediante un
razonamiento inductivo no es posible llegar a la certidumbre de
una proposición (verdad cierta), diversos autores
intentaron enunciar proposiciones probables (verdad
probable), tratando de calcular la probabilidad de que una
hipótesis fuese cierta (Ridadulla, 1991; Batanero,
2000).

Es importante resaltar que la probabilidad
de una hipótesis no tiene sentido en inferencia
clásica frecuencial, donde la probabilidad se interpreta
como el límite de la frecuencia relativa. Ello es debido a
que una hipótesis será cierta o falsa siempre, no
un porcentaje de veces en una serie de pruebas. Sin embargo, es
posible asignar una probabilidad a las hipótesis dentro
del marco de la inferencia bayesiana, donde la probabilidad se
concibe como un grado de creencia personal (Gingerenzer, 1993;
Lecoutre & Lectoutre, 2001). En este último caso
podremos diferenciar dos usos del concepto de probabilidad de una
hipótesis:

Probabilidad inicial, creencia
inicial en la hipótesis antes de recoger datos de
experimentos donde se trate de poner la hipótesis a
prueba.

Probabilidad final, es decir,
creencia en la hipótesis una vez se han recogido los
datos. Por otro lado, dentro de la inferencia frecuencial hay dos
concepciones sobre los contrastes
estadísticos: (a) las pruebas de significación, que
fueron introducidas por Fisher y (b) los contrastes
como reglas de decisión entre dos hipótesis, que
fue la concepción de Neyman y Pearson. Estas
aproximaciones no se diferencian en lo que concierne a los
cálculos, pero si en la filosofía y objetivos. La
enseñanza ignora estas diferencias y presenta los
contrastes de hipótesis como si se tratase de una
única metodología.

El test de
significación de Fisher

Un test de significación es
para Fisher un procedimiento que permite rechazar una
hipótesis, con un cierto nivel de
significación. En su libro The design of
experiments, publicado en 1935, Fisher introduce su
teoría de las pruebas de significación, que
resumimos en lo que sigue.

Supongamos que se quiere comprobar si una
cierta hipótesis Ho (hipótesis nula) es
cierta. Generalmente la hipótesis se refiere a una
propiedad de la población (por ejemplo, el valor supuesto
de un parámetro) pero no se tiene acceso a toda la
población, sino sólo a una muestra de la misma.
Para poner la hipótesis a prueba se organiza un
experimento aleatorio asociado a Ho y se considera un
cierto suceso S que puede darse o no en este
experimento, y del cual se sabe que tiene muy poca probabilidad,
si Ho es cierta. Realizado el experimento ocurre
precisamente S.

Hay dos posibles conclusiones:

Bien la hipótesis Ho era
cierta y ha ocurrido S, a pesar de su baja probabilidad.
Bien la hipótesis Ho era falsa.

Generalmente el experimento consiste en tomar una
muestra de la población sobre la que se realiza el estudio
y calcular un estadístico, que establece una medida de
discrepancia entre los datos y la hipótesis. En caso de
que se cumpla la hipótesis, el estadístico define
una distribución, al variar los datos aleatoriamente
(Cabriá, 1994; Batanero, 2000). Un test de
significación efectúa una
división entre los posibles valores de este
estadístico en dos clases: resultados
estadísticamente significativos (para los cuales se
rechaza la hipótesis) y no estadísticamente
significativos (Ridavulla, 1991), para los cuáles no se
puede rechazar la hipótesis.

El razonamiento que apoya un test de
significación parte de la suposición de que la
hipótesis nula es cierta. Bajo este supuesto, se calcula
la distribución del estadístico en todas las
posibles muestras de la población. A partir de esta
distribución se calcula la probabilidad del valor
particular del estadístico obtenido en la muestra y se
determina a cual de las dos clases (resultado
estadísticamente significativos y no
estadísticamente significativos) pertenece. Si el valor
obtenido pertenece a la región de rechazo se rechaza la
hipñotesis y en caso contrario no se rechaza. Observamos
que en este enfoque no se identifica una hipótesis
alternativa concreta (Batanero & Díaz, 2006). Tampoco
hay un criterio estándar sobre qué es un "suceso
improbable". El valor de la probabilidad por debajo de la
cuál rechazamos la hipótesis lo fija el
investigador según su juicio subjetivo y su
experiencia.

Los contrastes de
hipótesis de Neyman y Pearson

Neyman y Pearson conceptualizaron el
contraste de hipótesis como un proceso de decisión
que permite elegir entre una hipótesis dada H0 y
otra hipótesis alternativa H1 (Rivadulla,
1991). Por ello contemplan dos posibles decisiones respecto
a H0: rechazar esta hipótesis,
asumiendo que es falsa y aceptando la alternativa, o
abstenerse de esa acción. Al tomar una de
estas decisiones sobre las hipótesis a partir de los
resultados del contraste se consideran dos tipos de
error:

Error tipo I: Rechazar una
hipótesis nula cuando es cierta. Se suele establecer un
criterio de prueba que asegura que la probabilidad de cometer
este tipo de error sea menor que un número preestablecido
o nivel de significación.

Error tipo II: aceptar la
hipótesis nula que de hecho es falsa. Beta ( B) es la
probabilidad de cometer este tipo de error y el complemento de
beta (1 – B) sería la potencia del
contraste. Mientras que alfa es un número preestablecido,
B es variable, porque su valor depende del valor del
parámetro (generalmente desconocido).

Una vez definidas las hipótesis nula
y alternativa y fijada la probabilidad de cometer error tipo I,
se elige el contraste de mayor potencia. Calculado el
estadístico, se toma la decisión de rechazar o no
rechazar la hipótesis nula, comparando el p-valor
con el nivel de significación o, equivalentemente,
comparando el valor del estadístico calculado con el valor
crítico. En este enfoque, el contraste proporciona un
criterio para decidir entre una de las dos hipótesis, se
reconocen los errores tipo II, y las probabilidades de error
tienen una interpretación frecuencial.

Errores usuales
en la interpretación de la inferencia
frecuencial

El contraste de
hipótesis

El mayor numero de errores e
interpretaciones incorrectas en la inferencia estadística
están relacionados con el contraste de hipótesis,
lo que lleva a una situación paradójica, pues, por
un lado, se requiere un resultado significativo para obtener un
artículo publicado en muchas revistas y, por otro lado,
los resultados significativos son malinterpretados en estas
publicaciones (Falk & Greenbaum, 1995).

Un concepto que se suele comprender
erróneamente es el nivel de significación, a, que,
como se ha indicado, es la probabilidad de rechazar la
hipótesis nula, supuesta cierta. La interpretación
más común de este concepto consiste en cambiar los
dos términos de la probabilidad condicionada, es decir,
interpretar el nivel de significación como la probabilidad
de que la hipótesis nula sea cierta, una vez que la
decisión de rechazarla se ha tomado. A este respecto
Birnbaum (1982) informó de que sus alumnos encontraron
razonable la siguiente definición: Un nivel de
significación del 5% significa que, en promedio, 5 de cada
100 veces que rechacemos la hipótesis nula estaremos
equivocados. Falk (1986) informo que la mayoría de sus
estudiantes creían que a era la probabilidad de
equivocarse al rechazar la hipótesis nula. Vallecillos
(1994) confirma estos errores en una investigación
utilizando una amplia muestra de estudiantes de diferentes
especialidades universitarias. Resultados similares fueron
encontrados por Krauss y Wassner (2002) en profesores de
universidad implicados en la enseñanza de métodos
de investigación.

En los contrastes de hipótesis
también se confunden las funciones de las hipótesis
nula y alternativa, así como las hipótesis
estadística alternativa con la hipótesis de
investigación (Chow, 1996). Falk y Greenbaum
(1995) sugieren la existencia de mecanismos psicológicos
que llevan a la creencia de que la obtención de un
resultado significativo supone minimizar la incertidumbre.
Vallecillos (1999) describió cuatro concepciones distintas
sobre el tipo de prueba de que proporciona el contraste de
hipótesis: (a) contraste como una regla en la toma de
decisiones, (b) contraste procedimiento para la obtención
de apoyo empírico a la hipótesis de
investigación; (c) contraste como prueba
probabilística de la hipótesis y (d) contraste como
prueba matemática de la verdad de la hipótesis.
Mientras que las dos primeras concepciones son correctas, muchos
estudiantes en su investigación, entre ellos algunos
profesores en formación, se inclinan por las dos
últimas.

La creencia de que rechazar la
hipótesis nula supone demostrar que es errónea,
también se encontró en la investigación por
Liu y Thompson (2009) al entrevistar a ocho profesores de
secundaria, que parecían no comprender la lógica de
la inferencia estadística. Liu y Thompson observan que las
ideas de probabilidad y atipicidad son fundamentales para
comprender la lógica de la prueba de hipótesis,
donde se rechaza una hipótesis nula cuando una muestra de
esta población se considera lo suficientemente inusual a
la luz de la hipótesis nula: El muestreo es un sistema de
ideas interrelacionadas que implica repetir la selección
al azar, la variabilidad y la distribución. Mientras que
una muestra aleatoria simple es una parte fundamental de la
inferencia estadística, probablemente más
importante es la apreciación de las que podrían
haberse elegido. (Saldahna & Thompson, 2002).

Intervalos de confianza

Para paliar los errores anteriores se
propone complementar o sustituir los contrastes
estadísticos por intervalos de confianza. Sin
embargo, los intervalos de confianza tienen la misma
interpretación frecuencial que los contrastes, ya que el
coeficiente de confianza sólo nos indica la
proporción de intervalos calculados de la misma
población con tamaño de muestra dado que
cubrirían el valor del parámetro, pero no si el
intervalo calculado lo cubre o no (Cumming, Williams, &
Fidler, 2004).

Fidler y Cumming (2005) preguntaron a
estudiantes de licenciatura y postgrado en ciencias su
interpretación de resultados estadísticamente no
significativos en un estudio de baja potencia, dando los datos en
dos formas diferentes (la primera vez usando valores p,
y la segunda mediante intervalos de confianza). Los autores
indican que los estudiantes interpretaron incorrectamente
los valores p más a menudo que los
intervalos de confianza. Concluyen que es preferible la
enseñanza de la inferencia a través de intervalos
de confianza (IC), en lugar de a través del contraste de
hipótesis.

Pasos en la
construcción del razonamiento
inferencial

Dado los errores descritos, así como
el gran número de conceptos cuya comprensión se
requiere para un adecuado uso de la inferencia, es claro que el
desarrollo de un razonamiento estadístico adecuado
requiere un periodo de varios años. El desarrollo del
razonamiento inferencial debe construirse en forma progresiva
desde la educación secundaria y Bachillerato, para poder
abordar en la universidad el estudio de los contrastes de
hipótesis e intervalos de confianza de una forma
más adecuada. En este sentido, las nuevas propuestas
curriculares proporcionan una oportunidad de introducir
gradualmente ideas sobre inferencia, aumentando el nivel de
formalización progresivamente. En lo que sigue,
describimos algunas etapas y alternativas didácticas para
la construcción de este razonamiento.

Muestreo

El alumno debe comprender en primer lugar
el proceso de muestreo. El concepto de muestra nos introduce a la
inferencia y establece un puente entre la estadística y
probabilidad. Es una idea importante, porque todo nuestro
conocimiento y juicios sobre el mundo o las personas están
basados en el muestreo, ya que, usualmente, sólo podemos
estudiar u observar una parcela de la realidad en la que estamos
interesados.

Aunque parezca una idea sencilla, muchas
personas no alcanzan un razonamiento correcto sobre el muestreo y
no siguen las reglas matemáticas normativas que
guían la inferencia científica formal, cuando toman
una decisión bajo incertidumbre (Kahneman, Slovic y
Tversky, 1982). En su lugar, se utilizan
heurísticas que reducen la complejidad de los problemas de
probabilidad, pero que causan errores y son resistentes al
cambio. Por ejemplo, en la heurística de la
representatividad las personas estiman la verosimilitud de
un suceso teniendo sólo en cuenta su representatividad
respecto a la población a la cual pertenece. Un error
asociado es la creencia en la ley de los pequeños
números por la que se espera una convergencia de las
frecuencias relativas en pequeñas muestras (Sedlemeier,
1999; Jones y Thornton, 2005).

Muchos currículos actuales de
secundaria ofrecen la posibilidad de remediar esta
situación al incluir algunos contenidos sobre los
diferentes métodos de muestreo aleatorio. Será
importante que el profesor tenga cuidado con no transmitir la
idea de que una muestra aleatoria es una copia de la
población y proporcione a los estudiantes la posibilidad
de observar la variabilidad del muestreo. Para entender el
propósito de extraer una muestra aleatoria simple en
inferencia es necesario asimilar dos ideas aparentemente
antagónicas: la representatividad y la
variabilidad

(Batanero, Godino, Vallecillos, Green,
& Holmes 1994). El fin de tomar una sola muestra sería
cuantificar el grado de atipicidad en relación con todas
las otras muestras que podrían haber sido extraídas
(Saldahna & Thompson, 2002).

Introducción intuitiva de ideas de
inferencia

Algunos autores sugieren una alternativa
informal a la enseñanza de la inferencia
estadística (por ejemplo, Rubin, Hammerman, & Konold,
2006; Rossman, 2008) que consistiría en la
introducción menos formalizada de un conjunto de ideas
fundamentales que sustentan la comprensión de la
inferencia estadística formal. Rossman (2008) sugiere una
introducción informal siguiendo los pasos siguientes: (a)
Partir de una hipótesis dada acerca de los datos (b) Uso
de la simulación o de cálculos de probabilidad
elemental para concluir que los datos observados son muy poco
probables si el modelo fuera cierto (cálculo intuitivo de
un p-valor), y (c) Rechazar la hipótesis inicial (modelo)
basado en el p-valor muy pequeño, en lugar de creer que un
suceso muy raro ha ocurrido por casualidad. Este proceso de
razonamiento, es muy natural para los estudiantes, y de hecho
sigue la concepción de Fisher de pruebas de
significación. Podemos analizarlo a partir del siguiente
ítem, usado en las investigaciones de Green (1991) con
chicos de 11 a 16 años, que es similar a los utilizados
con adultos en las pruebas sobre percepción de la
aleatoriedad:

Ítem 1. Se pidió a dos niñas
lanzar una moneda equilibrada 150 veces y anotaran los
resultados. Estos son los datos que presentaron al profesor
¿Hicieron trampas Clara o Luisa? ¿Por
qué?

Clara: c+c++cc++cc+c+c++c++c+ccc+++
ccc++c++c+c+c++cc+ccc+c+c+cc+++c c++c+c++cc+c++cc+c++cc+cc+c+++c
++cc++c++c+c+cc+c++cc+c+c++cc
c+cc++c+c++cc+++c+++c+c++ccc++

Luisa:
+cc+++c++++c+cc+++cc+cc+++cc+ccc+++c++++++c+c+c+c++++cccccc+
ccc+c+cc+ccccc+ccc++ccc+c+cccc ccccc++c+ccccccc+++++cccc++c+
c+cc+cc+cc++++++c+cc++ccc++ccc

Una de las estrategias que pueden seguir
los estudiantes para resolver el problema anterior, es contar el
número de caras de cada una de las secuencias y comparar
con el número esperado (75 caras si consideramos que la
moneda está bien equilibrada). Este sería el modelo
o hipótesis nula y habría que comprobar si los
datos observados (las secuencias de Clara y Luisa) se acercan a
los patrones esperados bajo esta hipótesis. Nosotros hemos
realizado este recuento, presentando los resultados en la Tabla
1. Observamos que ningunas de las dos secuencias tiene una
frecuencia de caras y cruces exactamente igual a la esperada
(teórica), pero, de todos modos, si se hubiese obtenido
exactamente la frecuencia teórica, nos hubiese resultado
sospechoso. Esperamos que la frecuencia observada (de Clara y
Luisa) se asemeje a la teórica, pero no demasiado.
Intuitivamente parece que Luisa se aparta demasiado y, por tanto,
hizo trampas.

Tabla 1.

Resultados teóricos y observados
en el ítem 1

Continuando el análisis, analizamos
la frecuencia de resultados posibles cuando contamos los
resultados de dos en dos o tres en tres (Tablas 2 y 3). Ahora se
observa más claramente la mayor diferencia de Clara
respecto a la distribución teórica (por ejemplo,
nunca obtiene tres caras seguidas, cuando teóricamente se
esperarían 6 rachas de este tipo). También podemos
ver que Clara se aparta más que Luisa de lo esperado al
representar gráficamente el número de caras
obtenidas en cada dos o tres lanzamientos en las tres secuencias
(Figura 1). Por tanto, ya que los datos de Clara son muy
improbables, en caso de ser cierta nuestra hipótesis nula,
los rechazamos y decidimos que es ella la que ha hecho
trampas.

Tabla 2.

Frecuencias de posibles sucesos al
contar los resultados 2 a 2

Tabla 3.

Frecuencias de posibles sucesos al
contar los resultados 3 a 3

Este estudio, que hemos hecho en forma
elemental, estaría al alcance de los alumnos de secundaria
y también podría hacerse a nivel más formal,
en la universidad utilizando el contraste chi-cuadrado. En
cualquiera de los dos casos serviría para introducir las
ideas básicas que subyacen en el modelo de test de
significación de Fisher.

Figura 1. Número de caras
en dos y en tres lanzamientos en las secuencias

La
distribución muestral y el Teorema Central del
Limite

Otro punto en el aprendizaje inferencia
estadística es comprender la variación de
un

estadístico dado (por ejemplo, la
media) en diferentes muestras de la misma población
(distribución de muestreo). Al pensar en la inferencia
estadística se debe ser capaz de diferenciar claramente
entre tres distribuciones:

La distribución de probabilidad que
describe los valores de una variable aleatoria de la
población (por ejemplo, el peso al nacer de un
recién nacido). Esta distribución por lo general
depende de algunos parámetros. Por ejemplo, la
distribución normal se especifica mediante y
, la media y la desviación estándar
poblacional.

La distribución de los datos de los
valores de una variable estadística de una sola muestra
tomada al azar de la población (el peso en una muestra de
100 recién nacidos). De esta muestra se pueden utilizar
las estadísticas x y s, la media
muestral y la desviación estándar para estimar los
valores de los parámetros de la
población.

La distribución de probabilidad que
describe los valores de un estadístico en todas las
muestras tomadas al azar de la población (el peso medio en
todas las posibles muestras de 100 recién
nacidos tomadas al azar de la población). El teorema
central del límite asegura que los parámetros de
esta distribución se relacionan con la de la muestra. Por
ejemplo, el

La comprensión de las distribuciones
muestrales requiere que los estudiantes integren los diferentes
niveles descritos, pues cada una de estas distribuciones requiere
conocimientos y técnicas específicas. Cuando se
piensa en la distribución de la población y la
distribución de la muestra aleatoria simple, la unidad de
análisis (caso) es un objeto individual; sin embargo, al
estudiar la distribución de muestreo el caso es una
muestra aleatoria simple (Batanero et al, 1994). Sin
embargo la mayoría de los estudiantes tienen dificultades,
confundiendo los diversos niveles (Saldahna & Thompson,
2002).

Por otro lado, es importante que los
estudiantes comprendan intuitivamente el teorema del central
límite (TCL), que es fundamental en la construcción
de distribuciones de muestreo aproximadas para la media y otros
parámetros. La simulación con ordenador proporciona
una herramienta interesante para observar esta convergencia.
Chance, Delmas y Garfield (2004) informaron sobre una serie de
estudios que investigan el impacto de la interacción de
los estudiantes con el software, específicamente
diseñado para enseñar a las distribuciones de
muestreo, en su comprensión del tema. En los primeros
estudios, y a pesar de las capacidades del software, los
estudiantes tendieron a buscar las reglas, pero no comprendieron
las relaciones subyacentes (el teorema del límite
central), que causaron los patrones visibles en el
muestreo.

En estudios posteriores, los autores
pidieron a los estudiantes a hacer predicciones acerca de las
distribuciones muestrales de las medias y luego enfrentarse a sus
conjeturas, observando los resultados empíricos de la
simulación. Esta estrategia demostró ser
útil para mejorar el razonamiento de los alumnos acerca de
las distribuciones muestrales.

Inferencia
Bayesiana elemental

Como alternativa a la inferencia
clásica se podría realizar una introducción
intuitiva a los métodos bayesianos que, según
algunos autores (por ejemplo, Lecoutre & Lecoutre, 2001)
son más intuitivos que la inferencia
frecuencial para los estudiantes. El teorema de Bayes, permite
transformar las probabilidades a priori (antes de realizar un
experimento), una vez se observan sus consecuencias, en
probabilidades a posteriori, que incorporan la información
de los datos observados. Consideremos el siguiente ejemplo de
diagnóstico médico:

Item 2. La probabilidad de que una mujer
americana de entre 40 y 50 años sin síntomas, tenga
cáncer de pecho es 0,8 %. Si una mujer americana tiene
cáncer de pecho tendrá una mamografía
positiva con probabilidad 90%. También el 7% de mujeres
sanas dan positivo en la mamografía. Supongamos que una
mamografía da positiva, ¿Cuál es la
probabilidad de que la mujer en realidad tenga cáncer de
pecho? (Eddy, 1982).

Si en el ejemplo llamamos "C" al
suceso "tener cáncer" y "+" al suceso "obtener un
diagnóstico positivo", hemos de diferenciar la
probabilidad a priori de tener cáncer antes de
hacerse la prueba P(C)=0.008 y la probabilidad a
posteriori P(C/+) o probabilidad condicional de tener
cáncer una vez que la prueba fue positiva.
P(+/C)=0,8 es la verosimilitud de tener una
prueba positiva si se tiene cáncer. Calculemos la
probabilidad pedida, ayudándonos de un diagrama en
árbol y pensando en términos de frecuencias
absolutas, para lo cual consideraremos un grupo de
100000 mujeres de las características dada (Figura 2). Con
la proporción supuesta de cáncer en la
población, aproximadamente 800 de estas mujeres
estarían enfermas y de ellas 720 serían detectadas
en la mamografía (90%). El 7 % de ellas recibirían
un resultado positivo, aunque estén sanas (falso
positivo), lo que supone un total de 6944 mujeres. En total
tenemos 7664 mamografías positivas en las
100000 mujeres, aproximadamente, la mayor parte de las cuales
son, en realidad de personas sanas. Aplicando la regla de
Laplace, obtenemos que la probabilidad de que la mujer que reciba
el resultado positivo realmente tenga un cáncer es el
cociente 720/7664 que da un valor de 0,0939; es decir, solo el 9%
de las mujeres que obtienen una mamografía positiva en
este grupo de edad realmente están enfermas.

Para el caso general donde Ai
representa un conjunto de posibles sucesos que pueden dar lugar a
unos datos D, y queremos calcular las probabilidades
finales de los sucesos P(Ai/D), conocidas sus
probabilidades iniciales P(Ai) y verosimilitudes de
obtener estos datos según vengan causados por los
diferentes sucesos P(D/Ai), el teorema se puede expresar
con la formula (1):

Figura 2. Partición de la
población supuesta de 100000 mujeres

Como se muestra en el ejemplo, las
probabilidades de los sucesos de interés (estar o no
enfermo) pueden revisarse (pasar de probabilidades a priori a
probabilidades a posteriori) y pierden de este modo el
carácter objetivo que tenían en las concepciones
clásica y frecuencial.

En inferencia clásica un
parámetro 0 (por ejemplo el peso medio de un recién
nacido en una cierta población) se considera constante,
pero desconocido y el objetivo de la inferencia es encontrar una
estimación o aproximación de su verdadero valor, a
partir de los datos. En inferencia bayesiana, por el contrario un
parámetro 0 es una variable aleatoria con una
distribución a priori de probabilidades p( 0),
que indica el conocimiento sobre 0 antes de tomar los datos. En
el ejemplo, se supondría que el peso medio del
recién nacido varía (en el tiempo, o
geográficamente, etc.), pero se tiene una
distribución inicial de probabilidades para dicho valor
medio. El objetivo de la inferencia bayesiana sería usar
los datos de una muestra para actualizar esta distribución
a priori y mejorar nuestro conocimiento del peso medio del
recién nacido. Esta actualización se realiza
mediante el teorema de Bayes. Si representamos por y =
(y1,…, yn) el conjunto de datos, cuya función
de verosimilitud p(y/ 0 ) depende del
parámetro, entonces la distribución a
posteriori de 0 dados los datos observados y viene dada
por (2) (Lee, 2004)

La aplicación sistemática del
teorema de Bayes constituye el método principal de la
inferencia bayesiana, cuyo objetivo básico es obtener la
distribución a posteriori de los parámetros
(O"Hagan y Forster, 2004). La mejor
estimación del parámetro será su valor
esperado (promedio) en la distribución a posteriori, que
minimiza el error cuadrático esperado. Dicha
distribución también permitirá calcular
probabilidades de que los parámetros se encuentren en
intervalos de valores dados (intervalos de credibilidad),
así como calcular probabilidades de que ciertas
hipótesis sean verdaderas o falsas. El teorema de Bayes
podría aplicarse sucesivamente en nuevos experimentos,
tomando como probabilidades iniciales del segundo experimento las
probabilidades finales obtenidas en el primero y así
sucesivamente.

Hay, hoy día, un creciente
número de publicaciones acerca de cómo introducir
los conceptos bayesiano a los estudiantes que provienen de
contextos no científicos (por ejemplo, Albert y Rossman,
2001; Díaz, 2005). Sin embargo, los resultados reportados
de los experimentos o investigaciones que se centran en la
enseñanza de la estadística bayesiana son
aún muy limitados. Por otra parte, algunas de las
experiencias comunicadas indican que los alumnos
pueden cometer errores en la interpretación de sus
resultados (Albert, 2000; Díaz, De la Fuente y Batanero;
2008) por lo que sería necesario realizar una mayor
investigación sobre este tema,

Implicaciones
para la enseñanza y la
investigación

El análisis realizado indica que no
es suficiente enseñar a los estudiantes sobre las reglas y
conceptos con el fin de llegar a la comprensión integral
de la inferencia. A pesar de nuestros esfuerzos, las concepciones
erróneas permanecen después de la
instrucción formal en estadística.
Debiéramos preguntarnos por qué la enseñanza
actual de la estadística no mejora las intuiciones
y qué tendríamos que cambiar para remediar la
situación. Quizás "la estadística debiera
enseñarse a la vez que se muestran materiales sobre
estrategias intuitivas y errores de inferencia"…" esto
tendría la ventaja de aclarar los principios subyacentes
de la estadística y probabilidad y facilitar que se
aprecie su aplicación a situaciones concretas" (Nisbett
& Ross, 1980, p.281).

Numerosos applets interactivos proporcionan
hoy un entorno dinámico y visual en el que los estudiantes
pueden participar en el muestreo al azar y la construcción
de las distribuciones muestrales. La disponibilidad actual de
software y tecnología hace que sea posible dedicar el
tiempo que previamente se invertía en cálculos
laboriosos para propiciar una aproximación menos formal y
más intuitiva a la estadística. "La capacidad
estadística que se requiere no es la tradicional",
"Debemos preguntarnos si la enseñanza tradicional de los
estudiantes es demasiado restringida" Moore (1997, p.
124).