Introducción.-
Muchos estudios se basan en el conteo de las veces que
se presenta un evento dentro de un área de
oportunidad dada. El área de oportunidad es una
unidad continua o intervalo de tiempo o espacio (volumen o
área) en donde se puede presentar más de un evento.
Algunos ejemplos serían los defectos en la superficie de
un refrigerador, el número fallas de la red en un
día, o el número de pulgas que tiene un perro.
Cuando se tiene un área de oportunidad como éstas,
se utiliza la distribución de Poisson para
calcular las probabilidades si:
– Le interesa contar las veces que se presenta un evento
en particular dentro de un área de oportunidad
determinada. El área de oportunidad se define por tiempo,
extensión, área, volumen, etc.
– La probabilidad de que un evento se presente en un
área de oportunidad dada es igual para todas las
áreas de oportunidad.
– El número de eventos que ocurren en un
área de oportunidad es independiente del número de
eventos que se presentan en cualquier otra área de
oportunidad.
– La probabilidad de que dos o más eventos se
presenten en un área de oportunidad tiende a cero conforme
esa área se vuelve menor.
Fórmula.-
La distribución de Poisson tiene un
parámetro, llamado 
(letra griega lambda minúscula), que es
la media o el número esperado de eventos por unidad. La
varianza de la distribución de Poisson también es
igual a l , y su desviación estándar es igual a
. El número
de eventos X de la variable aleatoria de Poisson fluctúa
desde 0 hasta infinito.
Donde:
P(X) = Probabilidad de X eventos en un
área de oportunidad
= Número de eventos
esperados
X = Número de eventos
e = Constante matemática base de los
logaritmos naturales aproximadamente igual a
2718281828….
Este número es de gran importancia,
tan sólo comparable a la del número π (pi), por
su gran variedad de aplicaciones. El número e
suele definirse como el límite de la
expresión:
(1 + 1/n)n
Cuando n tiende hacia el infinito. Algunos
valores de esta expresión para determinados valores de la
n se muestran en la tabla siguiente:
Observando la columna de la derecha de la
tabla anterior, se puede ver que a medida que n crece el valor de
la expresión se aproxima, cada vez más, a un valor
límite. Este límite es
2,7182818285….
Ejemplos
ilustrativos
1) Suponga una distribución de
Poisson. Si = 1 ,
calcular P(X= 0)
Solución:
Aplicando la fórmula se
obtiene:
También se puede obtener con lectura
de la tabla de probabilidades de Poisson
El cálculo de P(X = 0)con = 1 en Excel se realizan de
la siguiente manera:
a) Se inserta la función
POISSON
b) Clic en Aceptar. En la ventana de
Argumentos de la función, en X seleccionar B2 en Media
escribir o seleccionar B1 y en Acumulado escribir
Falso.
c) Clic en Aceptar
Los cálculos en Winstats se muestran
en la siguiente figura:
Los cálculos en GeoGebra se muestran
en la siguiente figura:
Nota:
Escoger la opción Poisson[ <
Media >, < Valor de Variable >, < Acumulativa
Booleana > ]
Escribir 1 en < Media >, 0 en <
Valor de Variable >, false en < Acumulativa Booleana
>
Para P(X= n), siendo n el número de
eventos o ensayos, en < Acumulada Booleana > se escribe
false
Para P(X= n), siendo n el número de
eventos o ensayos, en < Acumulada Booleana > se escribe
true
2) Suponga una distribución con
= 5. Determine P(X
= 10)
Solución:
P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9)
P(X ≤ 9) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =
2) + P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = 9)
Aplicando la fórmula o con lectura
en la tabla de la distribución de Poisson se
obtiene:
P(X ≤ 9) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 +
0,1404 + 0,1755 + 0,1755 +0,1462 + 0,1044 +0,0653 +
0,0363
P(X ≤ 9) = 0,9682
Entonces:
P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – 0,9682
= 0,0318
Los cálculos en Excel se muestran en
la siguiente figura:
Los cálculos en Winstats se muestran
en la siguiente figura:
Autor:
Mario Orlando Suárez
Ibujes